精品解析：湖南省长沙市岳麓区长沙市湖南师大附中博才集团中考考前保温练习数学试卷

湖南省长沙市岳麓区长沙市湖南师大附中博才集团中考考前保温练习数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如果零上记为，那么零下可记为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 6. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 8. 如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. 10. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　） A. 4 B. 2．5 C. 3 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）小巴同学分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则他所选金属能置换出氢气的概率是___________． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 14. 分式方程的解为__________________． 15. 如图，在中，，平分，则的面积是________． 16. 某数学老师在数学活动课上拿了两枚骰子来玩游戏，甲、乙、丙三位同学负责在黑板上记录数据．甲同学记录一次抛掷两枚骰子的点数所能组成的最大两位数，记为数A；乙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数组成的最小两位数，记为数B；丙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数之和的平方，记为数C．经过很多次投掷后，数学老师发现了一种有趣的情形：．请你确定，产生这种有趣的情形时两枚骰子掷出的点数的平方和为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的__________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）在（1）所作的图中，求的度数． 20. 某校为了解学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______． （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 21. 如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长． 22. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 23. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 24. 【定义阅读】在平面直角坐标系中，对于二次函数（，，为常数，），我们称直线为其“镜像关联线”． 【问题解决】已知关于的二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为点． （1）若二次函数的顶点坐标为，且其“镜像关联线”经过点，求二次函数的解析式； （2）对于任意实数，，点与点始终在二次函数的图象上．点为轴上方一定点，且点到其“镜像关联线”的距离的最大值为．该二次函数的图象是否经过定点？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点作轴交其“镜像关联线”于点，交轴于点．若点恰好是线段的中点，且以为底边、点为顶点的是顶角为的等腰直角三角形．当时，求的最大值． 25. 如图，四边形内接于⊙，E在上，且． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，连接，交于点M，若，，，求． （3）如图3，记，，，，且有，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市岳麓区长沙市湖南师大附中博才集团中考考前保温练习数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据“负数的绝对值等于它的相反数”即可求解． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，又， ∴． 2. 如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在左视图中． 【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，即它的左视图为： 3. 如果零上记为，那么零下可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵零上与零下是一对具有相反意义的量，题目规定零上记为，即零上记为正， ∴零下应记为负，因此零下可记为． 4. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂除法，积的乘方，完全平方公式逐一计算，即可判断正确选项． 【详解】解：对选项A， ，  A错误． 对选项B，，  B错误． 对选项C，，  C正确． 对选项D， ，  D错误． 5. 对于反比例函数，下列结论正确的是（ ） A. 点在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 6. 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，同位角相等，求出，再根据平角的定义，即可． 【详解】解：如图 ∵直尺两边互相平行， ∴， ∴． 7. 国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检测．下列说法正确的是（ ） A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 样本容量是200 C. 200个芯片是抽取的一个样本 D. 1200个新型芯片是总体 【答案】B 【解析】 【分析】只需根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵该调查从1200个芯片中抽取200个进行检测，只调查了部分个体，∴是抽样调查，不是全面调查，A错误． ∵样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了200个芯片，∴样本容量是200，B正确． ∵样本是被抽取的200个芯片的运行效率，不是200个芯片本身，∴C错误． ∵总体是1200个新型芯片的运行效率，不是1200个新型芯片本身，∴D错误． 8. 如图，与相切于点，连接，与交于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由切线的性质可得，结合圆周角定理可得即可求解． 【详解】解：与相切于点， ，又， ， ． 9. 已知不等式组其解集在数轴上表示正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此， ． 不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．故选D． 10. 如图，在中，，是的高线，是的中线，连接．若．则为（　　） A. 4 B. 2．5 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，先由三线合一定理得到，再由勾股定理得到，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，，是的高线， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴点D为的中点， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴，解得：． 12. 化学实验课上，张老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气）小巴同学分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则他所选金属能置换出氢气的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式计算概率，根据、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气可知一共4中金属，能置换出氢气的有3种，然后根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵、、可以置换出氢气，而不能置换出氢气． ∴他所选金属能置换出氢气的概率是， 故答案为：． 13. 某圆锥的母线为4cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积=底面周长×母线长计算． 【详解】解：由题意得：圆锥侧面积=cm2． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积及扇形面积表达公式． 14. 分式方程的解为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查解分式方程，熟练掌握求解方法是解题关键． 通过去分母，将分式方程转化为整式方程求解，然后检验解是否使分母为零即可． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母 ，得 ， 解整式方程：， 移项得 ， 即 ， 所以 ， 经检验，当 时，分母 且 ， 因此 是原方程的解， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，则的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作，得出即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵平分， ∴ ∵， ∴的面积， 故答案为： 16. 某数学老师在数学活动课上拿了两枚骰子来玩游戏，甲、乙、丙三位同学负责在黑板上记录数据．甲同学记录一次抛掷两枚骰子的点数所能组成的最大两位数，记为数A；乙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数组成的最小两位数，记为数B；丙同学记录一次抛掷两枚骰子的点数之和的平方，记为数C．经过很多次投掷后，数学老师发现了一种有趣的情形：．请你确定，产生这种有趣的情形时两枚骰子掷出的点数的平方和为______． 【答案】61 【解析】 【分析】设两枚骰子的点数为（都是的正整数）且，表示出，由，求出，结合都是的正整数且，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：设两枚骰子的点数为（都是的正整数）且， 根据题意得，最小两位数，点数和的平方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵都是的正整数，且， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式先计算特殊角三角函数值、零指数幂、绝对值以及算术平方根，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【详解】解： ； 当，时，原式． 19. 如图，在中，，． （1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的__________；（填序号） ①高线 ②角平分线 ③垂直平分线 ④中线 （2）在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】（1）③；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据作图过程进行分析，得出直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，即可作答． （2）先运用三角形内角和性质，得，再结合垂直平分线的性质，以及角平分线的定义进行分析，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；② 【小问2详解】 解：， ， 由（1）得是的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得平分 ∴． 20. 某校为了解学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，并补全频数分布直方图； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______． （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）； （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）用等级的人数除以其所占百分比即可求出抽取的人数，用抽取的人数减去其它等级的人数可求出等级人数，补全频数分布直方图即可； （2）先确定、两个等级的人数，再结合等级的数据，得出第、位的数据，根据中位数的定义求解即可； （3）用乘以等级的人数所占百分比即可得出答案． 【小问1详解】 解：等级有人，占抽取总人数的， 本次调查的学生共有（人）， 等级有（人）， 补全频数分布直方图略． 【小问2详解】 解：由统计图可知，、两个等级的人数为（人）， 等级的数据为：，，，，，，，，，，，， 抽取的学生成绩的第、位的数据为，， 所抽取的学生成绩的中位数为（分）． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计成绩为等级的人数为人． 21. 如图，已知□ABCD，延长AB到E使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）连接AC，若AD=4，CD= 2，求AC的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵BE=AB， ∴BE=CD． ∴四边形BECD是平行四边形． ∵AD=BC，AD =DE， ∴BC=DE． ∴平行四边形BECD是矩形． （2） 【解析】 【详解】分析： （1）由已知条件易得四边形BECD是平行四边形及AD=BC，结合ED=AD可得BC=ED，由此可得平行四边形BECD是矩形； （2）如下图，连接AC，由已知条件和（1）中结论易得BC=AD=4，BE=CD=AB=2，∠AEC=90°，由此在Rt△BCE中，可得CE=，这样在Rt△ACE中，由勾股定理可得AC=. 详解： （1）略 （2）如下图，连接AC， ∵AD=4，CD=2，四边形ABCD是平行四边形，四边形BECD是矩形， ∴AB=BE=CD=2,BC=AD=4，∠AEC=90°， ∴AE=AB+BE=4，在Rt△BCE中，CE=， ∴在Rt△ACE中，AC=. 点睛：熟悉“平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法”是正确解答本题的关键. 22. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． （1）求、两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购型和型机器人共15台，且总费用不超过1000万元．最多能买型机器人多少台？ 【答案】（1）种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元 （2）最多能买型机器人台 【解析】 【分析】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为万元； 【小问2详解】 解：设最多能买型机器人台，则最多能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 23. 如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解即可求解； （2）延长交于点，证明是等边三角形，解，根据即可求解． 【小问1详解】 在中， 【小问2详解】 如图，延长交于点， 中， 是等边三角形 答：灯管支架的长度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 24. 【定义阅读】在平面直角坐标系中，对于二次函数（，，为常数，），我们称直线为其“镜像关联线”． 【问题解决】已知关于的二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为点． （1）若二次函数的顶点坐标为，且其“镜像关联线”经过点，求二次函数的解析式； （2）对于任意实数，，点与点始终在二次函数的图象上．点为轴上方一定点，且点到其“镜像关联线”的距离的最大值为．该二次函数的图象是否经过定点？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过点作轴交其“镜像关联线”于点，交轴于点．若点恰好是线段的中点，且以为底边、点为顶点的是顶角为的等腰直角三角形．当时，求的最大值． 【答案】（1） （2）存在，经过定点， （3）最大值12 【解析】 【分析】（1）设的解析式为，可得对称轴为直线，把代入可得，根据“镜像关联线”的定义得出，把点代入可得，即可求出，，，可得答案； （2）根据点与点始终在的图象上得出对称轴为直线，进而可得，得出过定点，根据点到其“镜像关联线”的距离的最大值为得出，得出，即可得出经过定点，； （3）根据题意可得，，根据点在上，得出，，，，根据等腰直角三角形的性质得出，根据中点坐标公式得出，即可得出，，，根据，可得，原式变形可得，利用二次根式的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：设的解析式为， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴． 把代入得，， ∴， ∴ ∵， ∴其“镜像关联线” ∵过， ∴， 解得：， ∴，， ∴的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点与点始终在二次函数的图象上， ∴对称轴为直线， ∴，， ∴， ∵无论取何值，时，， ∴过定点， ∵点到其“镜像关联线”的距离的最大值为， ∴， ∴ ∵， ∴，则， ∴， ∵无论取何值，或时，， ∴经过定点，． 【小问3详解】 解：∵二次函数的顶点为点，轴交其“镜像关联线”于点，交轴于点， ∴，， ∵点在上， ∴当时，，， ∵，的图象与轴交于，两点， ∴，， ∵点恰好是线段的中点， ∴， ∴，则， ∵以为底边、点为顶点的是顶角为的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 将代入得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴． ∴当时有最大值12． 25. 如图，四边形内接于⊙，E在上，且． （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，连接，交于点M，若，，，求． （3）如图3，记，，，，且有，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先推导出，得到，进而求出，根据三角形的内角和求出，则，即可解答； （2）过点A作于点N，过点E作，分别交于点G，H，设，，得到，由（1）同理可得，，推导出是的角平分线，得到，求出，进而推导出，求出，则，即可解答； （3）根据，求出，推导出，得到，进而推导出，得到，推导出，得到，继而求出当时，取得最小值，为，即的最小值为，得到最大值为，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴弧弧， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过点A作于点N，过点E作，分别交于点G，H，如图 设，，则， 同理可得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 整理可得， ∴， 解得或， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴ ∴， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，取得最小值，为， 即的最小值为， ∴最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $