精品解析：陕西西安市碑林区翱翔中学2025-2026学年度第二学期八年级第二次学情自测数学试题

八年级数学大练习（二） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：∵不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故B正确； 对于选项C：∵不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故C错误； 对于选项D：举例，当时，，故D错误． 3. 菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等， ∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形， 又∵对角线相等的菱形是正方形， ∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形． 4. 如图，是面积为10的内任意一点，若的面积记为，的面积记为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ， ，， ． ，， ． 5. 如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点B，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象，不等式的解集即为直线在直线下方时对应的��的取值范围． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象位于直线的图象下方， ∴关于x的不等式的解集是． 6. 如图，坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴于，过点作交延长线于，证明，利用全等三角形对应边相等求出和的长，进而得出点坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作交的延长线于， 则，  ，   四边形是正方形，  ，，  ，  ， 在和中，  ，  ，  ，，   点的坐标是，  ，，  ，，  点的横坐标为，纵坐标为，   点的坐标是． 7. 若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（　　） A. 6＜a＜7 B. 7＜a＜8 C. 6≤a＜7 D. 6≤a＜8 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定不等式的解集，用含有a的式子表示，然后根据题意中正整数解的情况，可以得到关于a的不等式组，从而求解． 【详解】解：2x-a≤0，得x≤， ∵正整数解是1、2、3， ∴3≤＜4 解得：6≤a＜8 故选：D． 【点睛】本题考查了解不等式的方法，根据整数解，就可以确定的取值范围． 8. 已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证得三角形全等是解题的关键．连接，利用矩形的性质，则可证得，进一步可证得，得，，设，则，在中，利用勾股定理，可求得，可求得矩形的面积． 【详解】解：连接，如图， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， 在和中， ， ∴． ，， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式的值为，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子为零对应的的值，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为，则需同时满足： ， 解方程，得， 由不等式，得， 故舍去，可得． 10. 若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，则________． 【答案】11 【解析】 【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n-3，列方程求解． 【详解】解：设多边形有n条边， 则n-3=8，解得n=11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n-3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n-2）个三角形． 11. 关于x的方程有增根，则m的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根得到增根的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：原方程变形为 ， 方程两边同乘去分母得：， ∵原分式方程有增根， ∴，解得， 将代入上述整式方程得：， 整理得， 解得． 12. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，根据等边对等角得到，利用平行线的性质求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 14. 如图，正方形中，，，分别是边，上的点，满足，连接，交于点，以、为边作，连接，是的中点，连接，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，由正方形的性质容易证明，进而可证明．由平行四边形的性质可得点是的中点，则，利用勾股定理计算出，从而得到，结合平方数的非负性求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，设， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是平行四边形， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴的最小值为． 三、解答题（共9小题，计58分．解答题应写出过程） 15. 因式分解 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提取公因式即可完成分解； （2）先运用完全平方公式分解，再运用平方差公式继续分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母将分式方程转化为一元一次方程求解，最后检验所得根是否使分母不为零，得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为  ， 方程两边同时乘以得 ，   去括号得，   整理得 ， 解得 ， 检验∶ 当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 如图，矩形，是对角线．请用尺规作菱形，使得顶点、分别在矩形的边、上．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】菱形如图所示： 【解析】 【分析】作的垂直平分线，与、的交点即为点、，连接与即可． 【详解】解：如图，设与交于点， 由垂直平分线的性质可得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 19. 先化简再求值：，其中为整数且，选取一个适合的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先利用通分和因式分解化简分式，然后根据分母不为筛选可取整数，再代入计算． 【详解】解： ， 为整数且，则或或， 若，原式的分母为，不可取， 若，原式中的除式为，不可取， 故，． 20. 在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键． （1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵，， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴． 21. 奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ （2）若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） 10元 （2） 旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元 【解析】 【分析】（1）设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元，利用数量=总价÷单价，结合旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设可获得的总利润为元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是元，则旺季前每千克芋泥原料的进价是元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是10元． 【小问2详解】 解：设可获得的总利润为元， ， ， 随的增大而增大． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为元． 答：旺季前采购300千克时总利润最大，最大利润为7600元． 22. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为__________，直线的表达式为__________． （2）为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先将点代入，求出直线的表达式，进而求出点的坐标，利用勾股定理求出，结合求出点的坐标，最后使用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）以点的对角顶点分三类讨论，结合平行四边形的性质和中点公式，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴直线的表达式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∴点在轴负半轴， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：假设存在，设点的坐标为，点的坐标为， ①当为对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为； ②当为对角线时， 同理可得， 解得， ∴点的坐标为； ③当为对角线时， 同理可得， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，假设成立，点的坐标为或． 23. 完成下列题目 （1）如图1，等边中，点是边上的一点（不与端点重合）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则__________； （2）如图2，中，，点是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，当时，求面积的最大值； （3）如图3，菱形中，，，连接对角线，点是对角线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到平面内，得，连接，请问是否存，同时满足最小，最大；若存在，求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，的面积为 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质容易证明，则，因此； （2）设，，仿照（1）的解法容易证明，则，，从而得到，因此，结合平方的非负性求出最大值即可； （3）连接交于点，作直线交于点，容易证明和都是等边三角形，仿照（1）的解法可得，则，从而得到，因此点在过点，且垂直的定直线上，结合垂线段最短可知，点在边上时，最小．利用勾股定理可计算出，，由折叠的性质可得，，根据线段公理，，因此当点在线段上时，取得最大值．利用等积变形求出的面积，再根据同高的三角形面积的比例关系，求出的面积． 【小问1详解】 解：由旋转的性质可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，， 由旋转的性质可得，，， ∵中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，此时取得最大值； 【小问3详解】 解：假设存在，如图，连接交于点，作直线交于点 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在过点，且垂直的定直线上， ∵， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 当点在边上时，如图，连接， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴假设成立，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学大练习（二） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ） A. 对角线平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直平分 D. 四条边相等 4. 如图，是面积为10的内任意一点，若的面积记为，的面积记为，则（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 不确定 5. 如图，直线与直线相交于点，与x轴交于点B，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标是，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式2x﹣a≤0的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是（　　） A. 6＜a＜7 B. 7＜a＜8 C. 6≤a＜7 D. 6≤a＜8 8. 已知，如图，在矩形中，是上的一点，且，于点若，，则矩形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若分式的值为，则的值为__________． 10. 若从一个边形的一个顶点出发，最多可以引条对角线，则________． 11. 关于x的方程有增根，则m的值是__________． 12. 如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，点E，F分别在边，上，连接交对角线于点P．若，，则______． 13. 如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 14. 如图，正方形中，，，分别是边，上的点，满足，连接，交于点，以、为边作，连接，是的中点，连接，则的最小值是__________． 三、解答题（共9小题，计58分．解答题应写出过程） 15. 因式分解 （1）； （2）． 16. 解不等式组：． 17. 解方程：． 18. 如图，矩形，是对角线．请用尺规作菱形，使得顶点、分别在矩形的边、上．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 先化简再求值：，其中为整数且，选取一个适合的数代入求值． 20. 在菱形中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，，求的长． 21. 奶茶店旺季要到了，某奶茶店预测芋泥会大卖，打算提前采购芋泥原料．根据采购计划：每千克芋泥原料旺季前的进价比旺季后贵2元；旺季前用480元采购的芋泥重量，是旺季后用200元采购重量的2倍．根据以上信息，解答下列问题： （1）该奶茶店旺季后每千克芋泥原料的进价是多少元？ （2）若该奶茶店在旺季前和旺季后一共采购了400千克芋泥原料，旺季前采购了千克（），旺季前做奶茶卖每千克能赚20元，旺季后做奶茶卖每千克能赚16元．那么该奶茶店旺季前采购多少千克芋泥，能让总利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为__________，直线的表达式为__________． （2）为直线上一动点，在轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 完成下列题目 （1）如图1，等边中，点是边上的一点（不与端点重合）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则__________； （2）如图2，中，，点是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，当时，求面积的最大值； （3）如图3，菱形中，，，连接对角线，点是对角线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到平面内，得，连接，请问是否存，同时满足最小，最大；若存在，求此时的面积；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $