期末复习卷2025-2026学年七年级数学下学期北师大版

**基本信息** 以新能源汽车、AI赋能课堂等真实情境为载体，覆盖轴对称图形、随机事件、函数图像等核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，培养几何直观、推理能力与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、随机事件、函数图像|新能源车标考轴对称（几何直观），火车过隧道图像分析函数关系（模型意识）| |填空题|6/18|幂的运算、概率估计、平行线性质|AI课堂调查数据估计概率（数据意识），动点最短路径问题（空间观念）| |解答题|8/72|整式运算、三角形证明、规律探究|平方差公式几何验证（推理能力），平行线与角平分线综合题（创新意识）|

2026学年七年级数学下学期期末复习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分) 1.新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，是轴对称图形的是( A. B C D 2.下列是随机事件的是() A.太阳从东方升起 B.两个负数相乘，积是正数 C.13个人中至少有2人生肖相同D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 3.如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道 内的长度y之间的关系用图象描述大致是() 口女 火车隧道 4.已知(x-2026)2+(x-2024)}2=10,则计算x-2026x-2024的结果是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E.若 ∠A=40,则∠DBC的度数为() D A.40° B.30° C.70 D.25° 6.由三条线段a、b、c可以组成一个三角形，其中a=3cm,b=5cm,那么c的长度可以是( A.1cm B.2cm C.7cm D.8cm 7.长方形的周长是36Cm,其中一边长为x(x>0)cm,面积为ycm,则y与x的关系可以 写为() A.y=x2 B.y=(18-x}C.y=(18-x)小xD.y=2(18-x) 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD, CE若BD=6,CE=4,则DE=（） E A.8 B.10 C.12 D.20 9.仔细观察，探究规律：x-1川x+1=x2-1,x-1x2+x+1=x3-1, x-1川x3+x2+x+1=x-1'x-1x+x2+X2+x+1=x-1则算式 2°+2+22+22+24+…+2024+22025值的个位数字为（) A.1 B.3 C.5 D.7 10.如图，在四边形ABDC中，AB‖CD,点E在CA的延长线上，连接DE交AB于点F, ∠E4=55,点pQ在CD上，连接FpFQ,已知∠PFD=10,∠FQP=∠QFP: ∠BDE=∠AEF,下列结论：①∠FEA与∠ECD互为同位角：②CE‖BD:③FQ平分∠AFP; ④∠FQD=50°.其中正确的结论是（) A.②③ B.①②③ C.①④ D.①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11.已知32×9"×27=321，求m= 12.AI赋能数学课堂是指将人工智能技术融入数学教学过程，提升教学效果和学生学习体验. 为了解学生对A赋能数学课堂的喜爱程度，在全校进行了随机抽测，结果如下表，根据抽测 结果，估计学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为 (结果精确到01) 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 喜欢AI赋能数学课堂的学 0.75 0.80 0.83 0.80 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.80 生数与n的比值 13.如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=60°，则∠4的度数为 时，AB‖CD. B 4 14.已知将x3+mx+nx2-3x+4展开的结果不含x2和x项，则m= 15.如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC上的动点，且AE=CD, 连接BD,CE.当CE+BD取最小值时，S△BDC+S△Ac=: 16.如图，AB‖CD,点M在直线AB,CD之间，GH是∠AGM的平分线，连接GM,HM, 在MH的关长线上取点水连接GN,若∠N=∠BGM,∠M=号∠N+∠HGN,则∠MHG的 度数为■ G B H 三、解答题（本大题共8小题，满分72分) 17.(6分)计算 (1D-2X-xx+-3x2: (2)1x+2y2-|2x-yx+2y-6y 18.(6分)如图，已知直线AB,CD相交于点O,∠COE=90°. E D (1)若∠AOC=35°，求∠B0E的度数： (2)若∠BOD:∠BOC=2:7,求∠AOE的度数. 19.(8分)如图，AD=BC,∠ADC=∠BCD. B (1)求证：△ADC≌△BCD. (2)求证：∠BAC=∠ABD. 20.(8分)我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用请运 用幂的运算法则的逆用解决下列问题： 2025 ×42026= (2)已知a=2,b=3,c=73,请把a,b,c用“<”连接起来： (3)若4=2,4=3，求430+26-1的值； 21.(10分)小明和小亮两位同学做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次 试验，结果如下： 朝上的点 123456 数 出现的次 151425201313 数 (1)计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； (2)小明说：“根据试验，一次试验中出现了3点朝上的频率最大”，小亮说：“若投掷1000 次，则出现4点朝上的次数正好是200次”小明和小亮的说法正确吗？为什么？ (3)小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率. 22.(10分)如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段 CE的中点，BE=AC: (1)求证：AD L BC; (2)若∠B=35°，求∠C的度数. 23.（12分)【探究】如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将 阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形 a 60 b 图① 图② (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：一（用字母表示） (3)【应用】请应用这个公式完成下列各题 ①已知16m2-9n2=120,4m+3n=40,则4m-3n的值为 ②计算：2a+b-cl2a-b+c (4)【拓展】①2+12+1川2+12+122+1+1结果的个位数字为 ②计算：1002-992+982-97+..+42-32+22-12 24.(12分)如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的 一点，∠HAB+∠BCG=∠ABC A -D H- H D B B B R G 一E -E G -E C 图1 图2 图3 (1)求证：HD‖≥； (2)如图2，作∠BCF=∠BCG=a,CF与∠BAH的角平分线交于点F,并记∠BAF=B,若 &+B=40,求∠B+∠F的度数； (3)如图3，CR平分∠BCG,BN平分∠ABC,BM‖CR,∠BAH=50°，则∠NBM= (直接写出结果). 参者答案 一、选择题 1.C 解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C是轴对称图形，故本选项符合题意； D不是轴对称图形，故本选项不符合题意 2.D 解：A.太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B.两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C.生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D.抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件， D符合题意. 3.B 解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大， 并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小.另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变 化，故图象呈直线型，排除选项C. 故选：B. 4.C 解：设a=x-2026,b=x-2024 b-a=x-2024-x-2026=2,且a2+b2=10 又b-a2=a2-2ab+b2 ∴.2=10-2ab 即4=10-2ab 移项得2ab=10-4=6 ∴.ab=3 即x-2026川x-2024=3 故选：C 5.B 解：AB=AC,∠A=40°， .∠ABC=∠C=1×180°-40=70°， :MN是AB的垂直平分线， .∴DA=DB' ∴.∠A=∠ABD=40°， .∴.∠DBC=∠ABC-∠ABD=30· 6.C 解：：三角形三边满足：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知 a=3cm'b=5cm ∴.b-a<c<a+b 即5-3<c<5+3 化简得2cm<c<8cm 观察选项，只有7cm在此范围内， 故选C. 7.C 解：，长方形周长为36cm,其中一边长为xCm, 长方形的另一边长为36-x=18-xcm, ,长方形面积等于两邻边的乘积，面积为ycm, ∴y=x(18-x),即y=(18-x)小x. 8.B 解：.∠BAC=90°， ∴.∠BAD+∠CAE=90, BD⊥DE, ∴.∠BDA=90° ..∠BAD+∠DBA=90°， .∴.∠DBA=∠CAE' .CE⊥DE, .∠E=90°， 在△BDA和△AEC中， ∠ABD=∠CAE ∠D=∠E AB=CA .∴.△BDA≌△AEC AAS ∴.DA=EC=4,AE=BD=6, .∴ED=DA+AE=10 9.B 解：根据规律，x-1x+x-1+…+x+1=x*1-1, X+X0-1++x+1=X1-1 X-1, 令x=2,n=2025,则： 2+2+2++20-2861=2s-1 2-1 ,2”的个位数字循环为：2,4,8,6（周期为4)， 计算2026÷4=506余2， .2026的个位数字与2相同，为4， .22026-1的个位数字为4-1=3. 故算式值的个位数字为3. 故选B. 10.A 解：①∠FEA与∠ECD互为同旁内角，故①错误，不符合题意； ②.∠BDE=∠AEF, .CE‖BD,故②正确，符合题意； ③.AB‖CD, ∴.∠FQP=∠AFQ, ∠FQP=∠QFP, ∴.∠AFQ=∠QFP, ∴.FQ平分∠AFP,故③正确，符合题意； ④.'∠EFm=55°，∠PFD=10°. .AFP=180°-∠EFA-∠PFD=115°， 21QD-∠APP=575,故④错误，不袋合题意： 综上所述，正确的有②③， 故选：A. 二、填空题 11.8 解：32×9×27=321， 即32×2m×33=321, .2+2m+3=21, 解得m=8, 故答案为：8. 12.0.8 解：由表可知，当累计抽测学生数n=1000时，喜欢AI赋能数学课堂的学生数与n的比值为 0.80:且其他数值如n=200400、600时比值均为0.80，表明频率稳定在0.80附近，因此估计 学生喜爱AI赋能数学课堂的概率约为0.8. 故答案为：0.8. 13.60° 解：如图， A、 以5 B 人4 -刀 当∠4=60°时，AB‖EF 理由如下：，∠3=60°，∠4=60°， .∠3=∠4， ..CD EF, ,∠1=120°，∠1+∠5=180°， ∴.∠5=60°， .∠2=60°， ∴.∠2=5， ∴.AB‖EF, .AB‖CD, 故答案为：60°. 14.-4 解：x3+mx+nx2-3x+4 =x5-3x4+4x3+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n =x-3x4+4+mx3+n-3mx2+4m-3nx+4n' …展开的结果不含x和2项， .4+m=0’n-3m=0’ .∴.m=-4 15.18 解：如图，在AC下方作CF⊥AC,且使得AC=CF=6,则∠BAC=∠DCF=90°，AB‖CF, D八 又AE=CD, .△ACE≌△CFD|SAS,则S△Ac=S&DCF, ∴.CE=FD,则CE+BD=FD+BD≥BF, 即，当点D在BF上时，CE+BD取得最小值， 此时，Sx+5aa=S,e+Se=Sr号CFAC=号×6×6=18， 故答案为：18. 16.45° 解：过M作MF‖AB,过H作HE‖GN,如图： B D 设∠BGM=2a,∠MHD=β，则∠N=∠BGM=2a, .∴.∠AGM=180°-2a' GH平分∠AGM, 、∠MGH=号∠AGM=90°-a, .∠BGH=∠BGM+∠MGH=90°+a, .AB‖CD, ∴.MF‖AB‖CD' .∴.∠GMF=∠BGM,∠FMH=∠MHD' .∴.∠GMH=∠GMF+∠FMH=∠BGM+∠MHD=2a+B, ·GMH=3∠N+∠HGN, .2a+B=3x2a+∠HGN, 2 ∴.∠HGN=B-a .HE CN, ∴.∠GHE=∠HGN=B-a,∠EHM=∠N=2a' ∴.∠GHD=∠GHE+∠EHM+∠MHD=(β-a)+2a+B=2B+a' AB CD' .∴.∠BGH+∠GHD=180, ∴.90°+a+(2B+a)=180°， .a+B=45o, ∴.∠MHG=∠GHE+∠EHM=(B-a)+2a=a+B=45, 故答案为：45° 三、解答题 17.(1)解：原式=-8x-x+9x =09 (2)解：原式=x2+4xy+4y2-2x2+4xy-xy-2y1-6y =x2+4xy+4y2-2x2-4xy+y+2y2-6y =-x2+xy+6y2-6y 18.(1)解：：∠A0C=35°，∠C0E=90°， .∴.∠BOE=180°-∠AOC-∠C0E' =180°-35°-90 =55； (2)解：.'∠BOD+∠BOC=180°，且∠BOD:∠BOC=2:7, .∴.∠BOD=40, .∴.∠AOC=∠BOD=40, .∠COE=90, .∴.∠AOE=∠AOC+∠COE=130· 19.(1)证明：在△ADC与△BCD中， AD=BC ∠ADC=∠BCD DC=DC .△ADC≌△BCD|SAS: (2)证明：.△ADC≌△BCD. ∴.AC=BD, 在△ABC与△BAD中， AB=BA AC=BD BC=AD ∴.△ABC≌△BAD SSS, ∴.∠BAC=∠ABD 12025 20. )解：原式×4×4=-1×4=-4 故答案为：-4； (2）a=2=23=82,b=3=32=93,c=73, 9>8>7, ∴.C<a<b; 故答案为：C<a<b. (3).4°=2,4=3， ∴43a*2b-1=4.40÷4=23×32÷4=8×9×1=18. 21.(1)解：“1点朝上”的频率为15÷100=0.15： “6点朝上”的频率为13÷100=0.13： (2)两位同学的说法均错误； 小明的说法错误，因为实验100次的次数较少，只有当试验的次数足够大时，该事件发生的频 率稳定在事件发生的概率附近； 小亮的判断是错误，因为事件发生具有随机性，若投掷1000次，则出现4点朝上的次数不一 定正好是200次； (3),点数不小于4的可能性有3种，所有可能性有6种， 31 ∴.P(朝上的点数不小于4)厂62· 22.（1)证明：连接AE, B 由题意得：BE=AE, ..AC=BE, ∴.AC=AE, ,D为线段CE的中点， .AD⊥BC. (2)解：.BE=AE, .∠B=∠BAE=35°， ∴.∠AEC=2∠B=70, ..AE=AC, ∴.∠C=∠AEC=2∠B=70°. 23.(1)解：图①中阴影部分的面积为a-b,图②中阴影部分的面积为a+ba-b: (2)解：由题意得两个图形中阴影部分的面积相等， 则a2-b2=a+bja-b: (3)解：①由(2)中结论可得4m+3n4m-3n=16m2-9n2, .16m2-9n2=120,4m+3n=40, .4m-3n=16m2-9n÷4m+3n=120÷40=3: ②2a+b-c|2a-b+c =2a+b-cl川2a-b-cl =4a2-b-c2 =4a2-b2-2bc+c2 =4a2-b2+2bc-c2; (4)解：①2+1川2+12+128+122+1+1 =2-112+122+124+1j28+1.232+1+1 =22-122+1川24+1川28+1..22+1+1 =24-124+128+1小.22+1+1 =28-128+1..232+1+1 =216-1.232+1+1 =264-1+1 二264， 2=2,22=4,23=8,2=16,25=32,25=64,…; .2的正整数次方的尾数为2,4,8,6循环， .64÷4=16, ,24尾数为6，即2+12+124+12+1…22+1+1结果的个位数字为6： ②原式=1002-992+982-972+..+42-32+22-12 =100+99100-99+98+9798-97+..+4+34-3+2+12-1 =100+99+98+97+..+4+3+2+1 =100+99+98+97+..+4+3+2+1 100+1×100 2 =5050 24.(1)证明：如图，过点B作BP‖HD, A H B G E ∴.∠HAB=∠ABP, .'∠HAB+∠BCG=∠ABC,∠ABP+∠CBP=∠ABC, .∠HAB+∠BCG=∠ABP+∠CBP, ∴∠CBP=∠BCG, .HD≥i: (2)解：，∠BCF=∠BCG,CF与∠BAH的角平分线交于点F, ∴.∠BCF=∠BCG=Q,∠FAB=∠FAH=阝， ∴.∠HAB=2β，∠GCF=2a, 由(1)可知：∠B=∠HAB+∠BCG=2B+a,∠F=∠AH+∠GCF=B+2a, ∴.∠B+∠F=2B+a+B+2a=3a+B=3×40°=120° (3)解：设∠GCR=a,∠ABN=B, .CR平分∠BCG,BN平分∠ABC, ∴.∠GCR=∠RCB=&,∠GCB=2∠GCR=2Q,∠ABN=∠NBC=β，∠ABC=2∠ABN=2β， BM‖CR, .∠MBC=∠RCB=a, ∴.∠NBM=∠NBC-∠MBC=B-&, 由(1)可知：∠ABC=∠BAH+∠GCB, 又∠BAH=50°， .2β=50°+2ax, .β-a=25°， .∴∠NBM=β-a=25°