精品解析：福建省三明市三元区2025——2026学年初中结业学科第二次模拟练习 九年级数学

2025-2026学年初中结业学科第二次模拟练习九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简每个选项中的数，再根据负数的定义判断即可得到结果． 【详解】解：A选项：，，A不是负数； B选项：，，B不是负数； C选项：，，C不是负数； D选项：，，D是负数． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选D． 3. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将0.000014用科学记数法表示应为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 4. 榫卯结构在中国已有上千年的应用和发展历史，距今年前的河姆渡文明时期就已经出现了榫卯结构的木构件．榫卯结构不仅应用于建筑领域，如唐代的佛光寺大殿、辽代的应县木塔、山西悬空寺等都是榫卯结构应用的典型案例，还应用于家具制作，明代榫卯家具把中国传统家具推向发展顶峰．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：主视图是从正面看得到的图形，结合图形可得，该图形的主视图如图： ． 5. 小明报名参加年学校春季运动会“米跑”比赛项目．为了获得好成绩，小明利用课余时间刻苦训练．训练初期，小明五次“米跑”训练成绩平均数与方差分别为（单位：）和（单位：）．于是他向体育教师余老师请教了科学训练方法．两周后，小明再次进行了五次“米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】50米跑速度更快意味着平均用时更短，成绩更稳定意味着方差更小，据此判断选项即可． 【详解】解：∵训练后小明比原来更快，50米跑用时越短速度越快 ∴训练后成绩的平均数小于原平均数，即平均数 ∵训练后小明成绩更稳定，方差越小数据越稳定 ∴训练后成绩的方差小于原方差，即方差 逐一判断选项： 选项A：，，符合要求； 选项B：，不满足更快的要求，排除； 选项C：，不满足更稳定的要求，排除； 选项D：，，都不满足要求，排除． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算法则；运用合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选：D． 7. 工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，求出邻补角的定义，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“长度总价单价”表示出两种布的长度，再根据总长度列方程. 【详解】解：∵设每尺绫布值文，绫布和罗布各1尺共值钱120文， ∴每尺罗布值文， ∵绫布总价为896文，罗布总价为896文， ∴绫布总长度为尺，罗布总长度为尺， 又∵绫布和罗布总长度共丈尺，总长度等于两种布长度之和， ∴列方程得. 9. 如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等弧转化与的关系，结合题干条件把用表示，再根据圆周角定理得到与的关系式，最后利用求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ∵是⊙的直径，， ， ∴． 10. 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，将方程转化为与的交点问题，画出函数图象得到的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：画出的图象如图： ∵方程有四个不等实数根， ∴， 故的值可能是1. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式，利用不等式的性质求出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 【答案】55 【解析】 【分析】由线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴． 13. 为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度为，设，则，根据勾股定理可得，解方程求出的值，再根据求出结果． 【详解】解：坡度为， ， 设，则， ，， ， 解得：或（负值舍去）， 米． 14. 一个不透明的盒子里有个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样，小明从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则盒子里的白球有_____个． 实验次数 摸到红球的频率 【答案】14 【解析】 【分析】观察表格可知，随着试验次数增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸到红球的概率为，再利用概率公式列方程求解白球个数． 【详解】解：观察表格可得，随着试验总次数的增加，摸到红球的频率逐渐稳定在附近，因此估计摸出一个球是红球的概率为， 设盒子里的白球有个，根据题意得，解得， 经检验是原方程的解， 因此盒子里白球有个． 15. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到以及，将用含和的式子表示后代入已知等式整理，即可求出的值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 将代入得， 解得. 16. 如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】延长交轴于点，由题意得，，由题意可设，，则，，然后证明，则，再根据平行线的性质得到，则，再结合互余关系证明点为的中点，结合已知可得，则为等腰直角三角形，即可求解，再由勾股定理得到，最后根据反证法即可判断不成立． 【详解】解：延长交轴于点，由题意得， 由题意可设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确， ∵，若，则，则，与矛盾，故不成立，故①错误， ∴正确的有②③④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 18. 如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 【答案】证明：、是、四等分点， ，． ， ，． ， ∴， ． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质并结合题意可得，，再利用证明即可得证． 【详解】略 19. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 当时， 原式． 20. 扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． （1）如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； （2）游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 【答案】（1） （2）游戏公平， 说明：抽取两张牌时，画树状图如图所示， ∴共有种等可能结果，、、、、、，其中为小明赢，为小红赢， ∴小明赢的概率为，小红赢的概率为， ， ∴游戏公平． 【解析】 【分析】（1）概率等于所求情况数与总情况数之比； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总共有张牌，其中“黑桃”有张，故小明再随机抽一次，抽到的是“黑桃”的概率为； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，． （1）用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作中的外角的平分线交延长线于点D，以为圆心，为半径的圆，与直线相切； （2）过点作于点；由余弦函数关系可求得，进而由勾股定理求得，证明，得，证明，求得，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点； ， ，，， ． ∵在中，由勾股定理，得， 与直线相切于点， ， ． ，，， ， ． ，，， ， ，． ，． ， ， ， ，，， ∴在中，由勾股定理得． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． （1）若比长米，求、的长； （2）若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 【答案】（1）长米，长米 （2）花园可以围出的最大面积是 【解析】 【分析】（1）设长米，依据比长6米表示出的代数式，再结合栅栏总长米列一元一次方程，解方程得到长后算出长度； （2）先设为米，用总长表示，根据树木位置列出的取值不等式确定取值范围，列出面积二次函数，根据函数性质即可求出最大面积． 小问1详解】 解：设长米，则长米， 根据题意，得：， 解得； ∴； 答：长米，长米； 【小问2详解】 解：设长米，则长米， 由题意得， 解得， ∵花园面积 ， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，花园的面积取得最大值， ， 答：花园可以围出的最大面积是． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； （2）若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；理由如下： 抛物线的对称轴为， ，抛物线开口向上 又∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线，即， ． （2）不存在，理由如下： ∵抛物线经过点、． ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵抛物线与直线在第一象限内交于点， ∴联立，得． 解得（不符题意，舍去）或， ∴， ． ，， ， ， ． 设，且在第四象限， ，． ∵直线的解析式为，点到直线的距离为， ． 化简：． ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在这样的点． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的解析式得其对称轴为直线，另一方面，由题意得抛物线的对称轴为直线，由此即可得与关系； （2）由待定系数法可求得抛物线的解析式为，从而可求出抛物线与直线在第一象限内交于点的坐标，与的面积；设，且在第四象限， 从而可表示的面积，这样得到关于t的一元二次方程，判断方程是否有解即可判断点D是否存在． 【小问1详解】 解：；理由略； 【小问2详解】 解：不存在；理由略． 24. 综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合． 在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图完成拼接． （1）请判断图中，的数量关系，并说明理由； （2）如图，如果宽木条的宽度为，窄木条的宽度为，宽木条裁剪后的锐角是，求的值； （3）如图，当若地面的转角为，对宽度比为的两根长方形木条和切割后拼接铺入该转角处，求的值． 【答案】（1）结论： ，， ． ，，， ，． 同理可得， ， ， 由平移得， ． ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质以及平行线的性质，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）延长交于点，两根木条的宽度比即为所求； （3）过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，则四边形为矩形，两根木条的宽度比为，即，根据，得出，进而求得，得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长交于点， ，， ， ， ，， ； 【小问3详解】 如图，过点作于点，于点，过点作交的延长线于点，交于点，则四边形为矩形， 两根木条的宽度比为，即， 设，则， ，， ， ． ， ， ， ． 25. 如图，在中，，直线上方有一点（不与点重合），且满足，作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当平分时，求证：、、三点共线； （3）若，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：， ． ， ． ， ， ． （2）证明：平分， ． ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点三点共线． （3）解：存在；． 【解析】 【分析】（1）由得到，进一步求出，即可求证； （2）由角平分线的定义得到，利用相似的性质进一步得到，接着求出后即可求证； （3）先利用相似三角形的性质得到，再构造，利用圆周角定理等知识构造，最后得出，结合圆内最大的弦是直径以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在， ， ． ， ， ， ， ． 点在以为弦，圆心角为的圆周上 连接，作关于的对称线，此时点在此条射线上，与交于点，连接 ， ． ， ， ． ， ． ， ， ． ，取最大值即取最大，取最大即取最大，当为直径时最大 ． 在中，，即，解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，涉及到了线段的最值问题，解题关键是相等角的转化与圆的构造． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初中结业学科第二次模拟练习九年级数学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡规定位置填写本人考试座位号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上的“考试座位号、姓名”与考生本人考试座位号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将答题卡交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现14纳米量产，14纳米等于0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）． A. B. C. D. 4. 榫卯结构在中国已有上千年的应用和发展历史，距今年前的河姆渡文明时期就已经出现了榫卯结构的木构件．榫卯结构不仅应用于建筑领域，如唐代的佛光寺大殿、辽代的应县木塔、山西悬空寺等都是榫卯结构应用的典型案例，还应用于家具制作，明代榫卯家具把中国传统家具推向发展顶峰．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 小明报名参加年学校春季运动会“米跑”比赛项目．为了获得好成绩，小明利用课余时间刻苦训练．训练初期，小明五次“米跑”训练成绩的平均数与方差分别为（单位：）和（单位：）．于是他向体育教师余老师请教了科学训练方法．两周后，小明再次进行了五次“米跑”测试，发现比原来更快更稳定了，则训练后成绩的平均数（单位：）与方差（单位：）可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入文，绫布和罗布各出售尺共收入文．问两种布每尺各多少钱？若设每尺绫布值文，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程的根，他发现方程有四个不等实数根，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 不等式的解集为________． 12. 如图，点在线段的垂直平分线上，若，则_____°． 13. 为响应年植树节“履行植树义务，共建美丽中国”主题活动，某校团支部于年月日组织部分入团积极分子参与植树造林．小民在坡度为的山坡上种植了两棵树（如图），斜坡上相邻两树间的坡面距离为米，则相邻两树间的水平距离为_____米．（结果保留准确数） 14. 一个不透明的盒子里有个红球，若干个白球，这些球除了颜色不一样，其他完全一样，小明从盒子里摸出一个球，记下颜色后放回，试验记录如表所示，则盒子里的白球有_____个． 实验次数 摸到红球的频率 15. 已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 16. 如图，、是反比例函数图象上两点，且，过点、分别作轴、轴的平行线，交于点，连接，交于点，若，给出以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，等腰中，，、分别是、的四等分点，连接、．求证：． 19. 先化简再求值：，其中． 20. 扑克牌是风靡全球的娱乐工具，方寸之间藏着历史、数学与文化的巧妙融合．从花色象征到牌面设计，从民间游戏到竞技赛事，它既是休闲消遣的载体，也蕴含着严谨的组合与概率规律．小明和小红玩扑克牌游戏，共有张牌，现将这张牌数字朝下，抽到每张牌的可能性是相同的．小明和小红各抽一次，小明抽到了“方块”，小红抽到“梅花”．剩下三张牌如图所示． （1）如果小明再随机抽一次，求抽到的是“黑桃”的概率； （2）游戏规定：小明和小红从剩下的牌堆中再各抽一张牌，牌堆中只剩一张牌．如果抽到的牌和第一次的数字相同（不计花色），则成为“对子”，抽到“对子”的人赢得游戏（如果两人都抽到“对子”，算平局）．如果小明先抽，这个游戏是否公平？请用概率相关知识说明． 21. 如图，在中，． （1）用无刻度的直尺和圆规，在的延长线上确定点，使得以为圆心，为半径的圆，与直线相切，画出⊙，并标出切点；（不写画法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，⊙与直线的另一交点为，连接，若，且，求的长． 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用米长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边）． （1）若比长米，求、的长； （2）若在墙角处有一棵树与墙、的距离分别是米和米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），花园可以围出的最大面积是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； （2）若抛物线经过点，，且与直线在第一象限内交于点；为抛物线在第四象限的图象上一点，是否存在这样的点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 综合与实践 木工中蕴含着丰富的数学知识．如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题． 如图，现有宽度不同的两根木条（宽木条中，窄木条中，），当遇到转角为直角（）的地面时，发现拼接后点与点不能重合． 在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接． 第一步：如图，画出的延长线，交于点，连接； 第二步：如图，沿着射线方向，平移窄木条，得到，使点与点重合，延长，交窄木条的边于点，连接； 第三步：沿着、切割，切口恰好可以完全重合，如图完成拼接． （1）请判断图中，的数量关系，并说明理由； （2）如图，如果宽木条的宽度为，窄木条的宽度为，宽木条裁剪后的锐角是，求的值； （3）如图，当若地面的转角为，对宽度比为的两根长方形木条和切割后拼接铺入该转角处，求的值． 25. 如图，在中，，直线上方有一点（不与点重合），且满足，作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当平分时，求证：、、三点共线； （3）若，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $