精品解析：2026年福建省泉州市惠安县初中毕业班质量监测 数学试题 （二模）

2026年惠安县初中学业模拟试卷（二） 数 学 试 题 （试卷满分:150分；考试时间:120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 满足不等式组的解是（ ） A. B. C. D. 4. 小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 10. 如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 立方根是___________． 12. 近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 13. 如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则________． 14. 生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 15. 节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的值是_______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点E是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：． 20. 为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0； 男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： （1）求这20名学生干预前的平均体重； （2）根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ （3）从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 21. 某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． （1）求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； （2）问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 22. 如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． （1）用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． （2）在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 23. 问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． （1）对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ （2）已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 24. 依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． （1）可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； （2）在（1）条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） （3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 25. 如图，已知中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且满足． （1）求当 时，是等边三角形； （2）若点H为的中点，连接，． ①当的面积等于12时，试求线段的长； ②探究线段之和的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年惠安县初中学业模拟试卷（二） 数 学 试 题 （试卷满分:150分；考试时间:120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 满足不等式组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再判断各选项中的数是否在解集范围内，即可得到答案． 【详解】解：由不等式组， ∴不等式组的解集为， 依次判断选项：，，，都不满足解集； 只有满足． 4. 小红、小明都学会了运用“豆包”与“”人工智能软件辅助学习．若两人要选用其中一种软件修订《入团申请书》，假设两人选择每个软件的可能性相同，则两人运用不同软件的概率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单随机事件的概率计算，可通过列举法列出所有等可能的结果，再找出两人选不同软件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“豆包”为软件，“”为软件， 列举两人选择软件所有等可能的结果为：，共种， ∵其中两人选择不同软件的结果有种， ∴所求概率． 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 6. 人字梯为家庭常用工具．如图，梯子两侧长都为，，人字梯顶端离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过人字梯顶端作底边的垂线构造直角三角形，结合已知斜边长和底角，利用正弦三角函数的定义计算得到顶端离地面的高度． 【详解】解：过人字梯顶端作于点， 则就是离地面的高度，是直角三角形， ∵，， ∴根据锐角三角函数的定义：在直角三角形中， ∴． 7. 实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置可得，，结合不等式的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得，， ∴，故A错误， ∵ ∴，故B错误， ∵， ∴， ∴，故C错误， ∵ ∴，故D正确 8. 如图，正方形中，若点是边的中点，连接交对角线于点．已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形性质可知，进而证明，得到线段比，算出对角线后按比例求． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ． 9. 设抛物线的顶点为，与轴分别交于两点，判定的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再求抛物线与轴交点得到的长度，利用抛物线对称性得到为等腰三角形，再根据线段长度关系判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴顶点的坐标为，到轴的距离为 令，得， 解得，， ∴两点在轴上的坐标为和， 可得 ∵抛物线对称轴为，顶点在对称轴上， ∴，是等腰三角形， ∵到的距离为，满足到的距离， 可得， ∴是等腰直角三角形． 10. 如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明为等边三角形，易得，由平移的性质得，，证明，求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：连接， ，半径， ， 又， 为等边三角形， ， ∵， ， 由平移的性质得，， ， ， ， ， ∵，即， ． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 近年来，我国以风电、太阳能发电为主的新能源发电装机规模达到亿千瓦，超过火电装机规模．用科学记数法，将数据表示为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 13. 如图所示，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为该凸透镜的焦点．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】因为过光心的光线传播方向不变，所以主光轴与该光线的夹角，在透镜两侧相等，可得和其对应角相等．利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知角的数值推导的大小． 【详解】解：， ， ， ． 14. 生活中的有些密码，可以用数学的“因式分解”来生成．例如，把多项式，因式分解为，当时，求得各因式的值分别为20、11、11，将这三个数值按从小到大排列，生成六位数密码“”．用上述方法，把多项式进行因式分解，当时，可以生成的密码是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先对多项式进行因式分解，再代入计算各因式的值，将结果按从小到大排列后拼接得到密码． 【详解】对多项式因式分解：， 当时， 计算各因式的值：，，， 将三个因式的值按从小到大排列，拼接得到六位数密码“”． 15. 节约用水已成为每位公民的自觉行动．某市规定，居民生活用水按三档分段计价．第一段：每户每月用水不超过，水价为元/；第二段：每户每月用水超过但不超过，超过部分水价按元/计算；第三段：每户每月用水超过，超过部分按元/计算．已知小明家上月用水并没有超过，缴纳水费元．问的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件判断小明家水费符合第一、第二档的分段计价规则，再根据“总水费第一档水费第二档水费”的等量关系列出关于的一元一次方程，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵小明家上月用水未超过， ∴水费仅涉及第一档和第二档计价： 第一档用水量为， 第二档用水量为， 结合总水费列一元一次方程：， 整理得：， 解得． 16. 如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知，平分，由，，推得，与梯形等高，设高为，得，，可得比值为． 【详解】解：由作图可知，平分，即， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ， ∴， 与梯形等高，设高为， ∴，， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先计算括号内的，再将除法转化为乘法进行计算即可得到最简分式，最后代入x的值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点E是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：． 【答案】证明：在平行四边形中 ， 即 ， 又点是边的中点 ． 在与中 ． 则 ． 又 ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证明得出，进而根据线段的数量关系，即可得证． 【详解】略 20. 为贯彻落实《健康中国行动（2019～2030）》规划，引导青少年养成健康的生活方式．某中学初三年级开展了为期4周的“科学减重”干预计划行动，并对参与学生进行数据追踪． 信息一：从参与学生中随机抽取了20名，统计了他们干预前的体重情况，如果以各组的组中值（每组两个端点值的平均数）代表组内各人的实际体重数据，绘制了如下频数分布表： 体重（） 人数（人） 4 8 6 2 信息二：若男生甲和男生乙干预前的体重均为上表中数据的平均值．在4周干预期内，如实记录了 这两人每周的减重量（单位：），具体数据如下： 男生甲：1.0，1.5，1.5，2.0； 男生乙：0.5，1.0，2.0，2.5． 根据相关信息，解答下列问题： （1）求这20名学生干预前的平均体重； （2）根据医学建议，该年龄段男生干预后的健康体重标准为．试判断甲、乙两位男生是否达到了健康体重标准？ （3）从健康科学的角度出发，若欲从甲、乙两人中推荐一名作为该校“科学减重标杆”，你认为推荐谁较为合适？请说明理由． 【答案】（1） （2）甲、乙两位男生均达到健康体重标准 （3）推荐男生甲；理由：甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义求解即可； （2）分别计算两位同学干预后的体重，再与比较； （3）根据计算甲乙的方差，即可求解． 【小问1详解】 解： 答：这20名学生干预前的平均体重是 【小问2详解】 解：甲干预后的体重为： 乙干预后的体重为： 答：甲、乙两位男生均达到健康体重标准； 【小问3详解】 解：推荐甲，理由如下： ， ， ， ∵ 说明甲的减重过程更平稳、循序渐进，符合健康科学的减重原则，不易反弹且对身体负担更小，更适合作为标杆，故推荐甲． 21. 某村合作社为振兴乡村经济，承包荒山种植百亩特色蜜柚．由于果树生长特性，项目初期需要投入大量的人力物力进行养护与培植，直至果树成熟与创收，所以经历了从亏损到盈利的发展过程．如图是该项目年利润 y（万元）与种植时间 x（年）之间关系的二次函数图象（部分）． （1）求年利润y（万元）与种植时间x（年）之间的函数关系式，并说明从哪一年开始，该合作社扭亏为盈； （2）问该合作社第8年利润比上一年增加了多少万元？ 【答案】（1）利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为，从第五年开始合作社扭亏为盈 （2）275万元 【解析】 【分析】（1）首先明确函数为二次函数，可设二次函数的一般式为，将已知的三点，和代入解析式，联立方程组求解系数、和c，得到函数关系式．扭亏为盈对应年利润，因为函数图象与轴正半轴的交点为盈利起始点，所以求解时的正根，即可得到开始盈利的年份． （2）计算第8年和第7年的利润差值，先将和分别代入已求得的函数关系式，得到对应值后作差，即可得到利润增加量． 【小问1详解】 设二次函数解析式为， 由图象知：，，是对应抛物线上的三点， ∴，解得， 即利润 y与种植时间 x之间的函数关系式为， 令，即， 解得，， ∴到第四年末盈利为0元， 结合图象知，从第五年开始合作社扭亏为盈； 【小问2详解】 由（1）知抛物线解析式为， 当时，， 当时，， ∴第8年利润比上一年增加万元． 22. 如图所示的方格图中的小正方形边长均为，点均是格点．直线与的外接圆相切于点，交射线于点，已知． （1）用无刻度的直尺，按要求在方格图中作图： ①画出的外接圆的圆心； ②画出的切线，交射线于点． （2）在（）的条件下，连结．试证明：是等腰三角形． 【答案】（1）①如图所示点为所作的圆心 ； ②如图所示为所作的的切线； （2）如图，由等腰、切线与切线的轴对称性质， 可得， 则， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， 即， ∵， 且， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， ∴，即， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（）①找格点，使，找出圆与格线的交点，使，和的交点就是圆心；②连接并延长，交于点，连接并延长，交直线于点，就是所求作的切线． （）借助切线垂直半径、图形轴对称得出等腰，通过内角和、圆心角性质等量代换，推导出，证出为等腰三角形． 【小问1详解】 解：①如图 ∵ ∴是圆的直径， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴圆心在直线上， ∴与的交点就是圆心； ②作切线： 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵直线与的外接圆相切于点， ∴， ∴， ∵是半径， ∴就是所求切线； 【小问2详解】 略 23. 问题探究 定义：对于一个函数，若存在自变量，对应的函数值也等于，则称点为该函数图象上的一个“不动点”．例如：对于一次函数，当时，，则点为该函数图象上的一个“不动点”．请你尝试探究下面问题． （1）对于反比例函数，求当满足什么条件时，该函数图象上存在“不动点”？ （2）已知二次函数（m为常数）． ①求证：无论m取何实数，该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②若点和点是该二次函数图象上的两个“不动点”．问线段的长是否与m的取值有关？ 【答案】（1）当k满足时，该函数图象上存在“不动点” （2）①设是二次函数图象上的点， 则， 即， ∵， ∴以上方程有两个不等实根， 即该二次函数的图象上总有两个“不动点”； ②线段的长与m的取值无关 【解析】 【分析】（1）设反比例函数图象上存在“不动点”，可得出，问题得解； （2）①设是二次函数图象上的点，将其代入二次函数解析式，即可得到关于的一元二次方程，再根据方程的判别式判断根的情况，问题得解； ②由①得方程的两根，，根据根与系数的关系，可以列出、的式子，再根据勾股定理表示出，再代入、的式子，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的图象上存在“不动点”，即， 则，即， ∴当k满足时，该函数图象上存在“不动点”； 【小问2详解】 ①略 ②由①得方程的两根，满足， ∴ ， 即线段的长与m的取值无关． 24. 依据下面的素材，完成表格中的任务． 提出问题 柑橘采购后，从生产地运到市场的过程中，会有损坏；在市场进行一次性批量销售时，销售单价又会因采购量的不同而发生波动．多重因素影响下，要获得一定数量的利润，该如何定价？ 调研项目 调查：“柑橘完好率”调查 采购的总质量m（） 完好柑橘的质量n（） 柑橘完好的频率 调查：①柑橘在生产地的采购价为元/；②在市场进行一次性批量销售时，柑橘的售价（元/）与采购的总质量（）之间的关系满足． （1）可以估计柑橘完好的概率约为 （精确到）； （2）在（1）的条件下，用元采购的柑橘量，进入市场后，可获得的利润是多少？（注：损坏的柑橘不得销售） （3）若希望在市场进行一次性批量销售时，能够获得元的总利润，则应采购多少的柑橘？售价应定为多少元/？ 【答案】（1） （2）元 （3）要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/ 【解析】 【分析】（1）由橘子完好的频率估计概率即可，注意精确到； （2）先求出采购总质量，根据柑橘完好率求出实际销售柑橘质量，再根据：利润总售价－成本； （3）由之间的关系及柑橘完好率列出一元二次方程，解方程即可，注意． 【小问1详解】 解：随着采购量增大，柑橘完好的频率逐渐稳定在附近， 柑橘完好的概率； 【小问2详解】 解：依题意得元采购的柑橘的总质量（）， ∴，即售价， 又实际销售柑橘质量为（）， ∴可获得的利润是元 【小问3详解】 根据题意得 将代入上式得： 即 解得， 把代入 ∵在范围内 ∴符合题意 ∴要获得元的利润，应采购的柑橘，售价应定为元/． 25. 如图，已知中，，，，点P，Q分别是边，上的动点，且满足． （1）求当 时，是等边三角形； （2）若点H为的中点，连接，． ①当的面积等于12时，试求线段的长； ②探究线段之和的最小值． 【答案】（1）2 （2）① ②方法一：探究动点轨迹、化斜为直 设，则，过点H作，交于点E，过点Q作，交于点F，连接，则， ∴ 又 ∴， ∵ ∴，即， ∴ ， ∴， 当C、H、A三点共线时，即最小，为线段长 过点C作，交延长线于点O ∵ ， ∴， ∴， 则 ∴， 即的最小值是； 方法二：倍长中线、化斜为直 延长至E，使得， 连接、、， ∵，， ∴， 则，，， ∴， 则， 又， ∴， 取中点K， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 则 ∴， 当C、H、A三点共线时，即最小为线段， 过点C作，交延长线于点O ∵， ∴， ∴， 则 ∴ 即BH+CH的最小值是． 【解析】 【分析】（1）等边三角形三条边相等，根据列等式进行求解； （2）①过点H作，过点P作，根据三角函数列等式进行求解； ②方法一：构造直角三角形，过点H作，过点Q作，根据三角函数求出，三点共线时值最小，利用三角函数求值； 方法二：倍长中线，延长至E，使得，三角形全等得出，利用平行线性质和直角三角形斜边定理进而求出，三点共线时值最小，利用三角函数求值． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①如图，过点H作，分别交、于点E、F 过点P作，交于点G，则， 又∵点H为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即， 又，且， ∴， 过点B作， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， 答：线段的长为； ②略 【点睛】利用三角函数构造直角三角形，求之和的值最小，化斜为直，三点共线时值最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $