精品解析：2026年江西初中学业水平考试数学考前冲刺试题卷（二）

江西省2026年初中学业水平考试 数学考前冲刺试题卷（二） 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 在实数0，，，中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某帐篷撑起后如图1，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（ ） A. 压强与受力面积的关系式为 B. 压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C. 若压强不超过，则受力面积至少要 D. 若受力面积最大是，则压强最小为 6. 如图（1）在正方形纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得，沿着裁剪，得到的六边形，再沿对角线剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形沿的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将与重合（A与重合，C与重合）得如图（4）六边形，连接，则之间的关系是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 随着航天技术的发展，人类对宇宙的探索更加深入，天文学家发现一年里火星与太阳之间的距离也在变化，火星与太阳之间的平均距离约为．数据可用科学记数法表示为_________． 8. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 9. 若，是一元二次方程（）的两个根，那么的值是______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是_________． 11. 甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于_________． 12. 已知内接于，点，边在x轴负半轴上，边在y轴正半轴上，为的直径，，，点P在上．若以P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，则位于x轴上方的点P的坐标为_________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 14. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 15. 如图，在的方格中，点A，B，C均为格点．请仅用无刻度直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，在的内部作格点P，使为直角； （2）如图2，在（1）的基础上，作边上的点，使． 16. 某市文旅局打造“城市微度假”系列活动，丰富居民周末休闲生活，建议居民从“四地（郊野徒步道、文创潮玩街区、星空露营基地、森系温泉营地）选二”规划周末行程．工作人员将四地设计成宣传卡片，正面分别绘有这四个打卡地的图案，除此之外卡片完全相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“星空露营基地”的概率为_________； （2）从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“郊野徒步道”和“文创潮玩街区”的概率． 17. 小明逛玩具超市时发现一种类似蜗牛的休闲玩具拖拉车（如图1），图2是其侧面示意图，其中D，A，B在同一直线上，点E，B，C在同一水平线上，圆形货物恰好与相切于点B，连接，，，，． （1）求证：． （2）若，，点D到点B的水平距离为，求绳子的长度． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在春节期间是热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，若能完整背诵王勃的《滕王阁序》，则可免门票．某学校组织600名师生前往参观，其中有200人凭借流利背诵《滕王阁序》享受免票优惠，最终此次参观累计花费10250元门票费用． （1）在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的．若要控制实际购票费用不超过8500元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需要多少名学生背出《滕王阁序》？ 19. 图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知，，，垂足分别为，，，，．（参考数据：，，） （1）求的长； （2）碓工作时，从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时，求点C的运动路径长（结果保留）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； （2）请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： （3）每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 22. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数：当时，；当时，，即．将变化后的函数称为原函数的分叉函数．例如：二次函数的分叉函数为． （1）若点在反比例函数的分叉函数的图象上，求的值． （2）已知二次函数和一次函数，点在的分叉函数的图象上，过点作轴，与的分叉函数的图象交于点，设点的横坐标为，的长为，当时，求关于的函数解析式． （3）当时，二次函数的分叉函数的最大值为，最小值为，是否存在的情况？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 观察发现 （1）已知的半径为3，点是上的动点． ①若是上的任意一点，则的最大值是_________； ②若，则的最大值是_________． 类比思考 （2）已知的半径为3，点是上的动点． ①在图1中，，在中，，，连接，是的中点，求的最大值； ②在图2中，，在中，，，连接，求的最大值． 拓展延伸 （3）如图3，在四边形中，，点是上方的动点，且，，，用含的式子表示线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026年初中学业水平考试 数学考前冲刺试题卷（二） 说明：1．本试题卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 在实数0，，，中，最大的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据负数小于零，正数大于零，比较即可． 【详解】解：， 则最大的数为：， 故选：D 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的运算法则，积的乘方，幂的乘方，依次计算各个选项，即可进行解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B计算错误，符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法运算法则，积的乘方，幂的乘方，解题的关键是掌握：同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；积的乘方，把每个因式分别乘方；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 4. 某帐篷撑起后如图1，为更好地将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳索，从正面看如图2所示，测得，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】解：，， ， ， ， ， ． 故选：D． 5. 如图，学校数学小组进行野外考察时，利用铺垫木板的方式通过一片湿地．根据物理知识，当人和木板对湿地地面的压力一定时，湿地地面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 湿地地面所受压强 400 500 600 800 受力面积 1.5 1.2 1 0.75 以下结论中不正确的是（ ） A. 压强与受力面积的关系式为 B. 压强与受力面积的函数图象分布在第一、三象限 C. 若压强不超过，则受力面积至少要 D. 若受力面积最大是，则压强最小为 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格数据求出与的函数关系式，再结合反比例函数的性质及实际意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：由表格数据可知：，，，， 与成反比例关系，且， 即，故A选项正确； 表示受力面积， ， 函数图象只分布在第一象限，故B选项不正确； 当时，， 解得，故C选项正确； 当时，， 在第一象限内随的增大而减小， 当时，， 即压强最小为， 故D选项正确． 6. 如图（1）在正方形纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得，沿着裁剪，得到的六边形，再沿对角线剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形沿的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将与重合（A与重合，C与重合）得如图（4）六边形，连接，则之间的关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得图4中，，在图4的中，由勾股定理可得，，在图1的和图4的中，证明，则，得到图4中的图1中的，在图4中的中，由勾股定理可得，，得到，即可得到结论． 【详解】解：图1中，∵四边形是正方形， ∴， ∵图4中，是由和拼成的， ∴图4中，， 在图4的中，由勾股定理可得， ， 在图1中，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在图1的和图4的中， ∵， ∴， ∴， ∴图4中的图1中的， 在图4中的中，由勾股定理可得， ， ∴， 即， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称等知识，弄清楚剪拼过程中的不变关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 随着航天技术的发展，人类对宇宙的探索更加深入，天文学家发现一年里火星与太阳之间的距离也在变化，火星与太阳之间的平均距离约为．数据可用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中的虚线相互平行，若点A在数轴上表示的数是，则点B在数轴上表示的数是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是数轴，熟练掌握两点间的距离公式和平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意，设点在数轴上表示的数为，再根据平行线分线段成比例定理，可得，即，求解即可． 【详解】解：由图可知，点在直尺的0刻度上，点在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的虚线相互平行， 点在数轴上表示的数是， 设点在数轴上表示的数为， ，即， 解得：， 即点在数轴上表示的数为4， 故答案为：4． 9. 若，是一元二次方程（）的两个根，那么的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及方程根的概念． 10. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形对角线的中点，轴，，．将菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上，则旋转后点对应点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和判定为等边三角形，求出对角线的长，进而利用勾股定理求出的长；根据旋转的性质及点与点的相对位置关系，确定旋转后点落在轴负半轴，从而得出坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由图可知，旋转前点在第一象限，点在第四象限，且， 即点在点的顺时针方向， 当菱形绕点顺时针旋转，使点落在轴的正半轴上时， 点落在轴的负半轴上， ∴旋转后点对应点的坐标是． 11. 甲、乙、丙三只袋中分别装有球个、个、个．先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据操作步骤表示出三只袋最终的球数，结合最终个数相同得到与的值，即可求出，找准数量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，总球数为（个）. 调整后三只袋中球的个数相同，因此每袋球数为（个）， 分别表示调整后各袋的球数：甲袋：个， 乙袋：个，丙袋：个， 令丙袋球数等于，得，解得，即， 令乙袋球数等于，得，解得，即， 验证甲袋：（个），符合题意， 因此． 12. 已知内接于，点，边在x轴负半轴上，边在y轴正半轴上，为的直径，，，点P在上．若以P，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，则位于x轴上方的点P的坐标为_________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质、直径所对的圆周角为直角、同弧所对圆周角相等、垂直平分线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识点，先根据已知条件求得和，根据等腰三角形性质分，，三种情况讨论：当点在的垂直平分线上，连接交x轴于点H，分别利用垂直平分线的性质判定，得，解得，利用，即可求得；当，过点作，交x轴于点E，利用同弧所对圆周角相等和等腰三角形的性质得，利用解直角三角形得和，即可得；当，过点作，交x轴于点F，此时，同理可得，利用解直角三角形得和，即可解得． 【详解】解：是的直径， ， ，， ，， ，在轴负半轴，在轴正半轴， ，， 分三种情况讨论： 情况1： 此时点在的垂直平分线上， ∵在轴上， ∴中点横坐标为， 连接交x轴于点H，如图， 则， ∵点在的垂直平分线上，为的直径， ∴点O、点H和点三点共线， ∴， 则， ∴，即，解得， 则， ； 情况2：，过点作，交x轴于点E，如上图，此时， ∵，， ∴， ∴， 则 ， ， ； 情况3：，过点作，交x轴于点F，如上图，此时， 同理可得， ∴ ， ， ， 综上，位于轴上方的点的坐标为或或， 故答案为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算及解方程： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原方程移项得： ， 方程两边同时乘得： ， 解得：， 检验：当时， 因此原方程的解为． 14. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：， 在数轴上表示：略． 15. 如图，在的方格中，点A，B，C均为格点．请仅用无刻度直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，在的内部作格点P，使为直角； （2）如图2，在（1）的基础上，作边上的点，使． 【答案】（1）如图1：点P即为所求． （2）如图2：点E即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理逆定理作出直角三角形即可解答； （2）如图：延长到F，使得，即，再取格点D、G，使得四边形是正方形，连接与的交点即为所求点E． 【小问1详解】 解：如图1：点P即为所求． 由勾股定理可得：， ∴， ∴为直角三角形，且为直角， ∴点P即为所求． 【小问2详解】 解：如图：延长到F，使得， ∵为直角， ∴， ∵正方形，连接与的交点即为所求点E， ∴， ∴，即点E即为所求． 16. 某市文旅局打造“城市微度假”系列活动，丰富居民周末休闲生活，建议居民从“四地（郊野徒步道、文创潮玩街区、星空露营基地、森系温泉营地）选二”规划周末行程．工作人员将四地设计成宣传卡片，正面分别绘有这四个打卡地的图案，除此之外卡片完全相同．将这四张卡片背面朝上，洗匀． （1）从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“星空露营基地”的概率为_________； （2）从中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“郊野徒步道”和“文创潮玩街区”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型，直接用符合条件的结果数除以总结果数计算概率； （2）用列举法列出所有等可能结果，再找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总共有4张等概率被抽取的卡片，其中“星空露营基地”卡片共1张，因此抽取到该卡片的概率为． 【小问2详解】 解：将四个打卡地分别记为：A(郊野徒步道)， B(文创潮玩街区)， C(星空露营基地)， D(森系温泉营地)，列表如下： A B C D A - (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) - (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) - (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) - 由表可得，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片恰好是“郊野徒步道”和“文创潮玩街区”的结果有2种， 因此所求概率为． 17. 小明逛玩具超市时发现一种类似蜗牛的休闲玩具拖拉车（如图1），图2是其侧面示意图，其中D，A，B在同一直线上，点E，B，C在同一水平线上，圆形货物恰好与相切于点B，连接，，，，． （1）求证：． （2）若，，点D到点B的水平距离为，求绳子的长度． 【答案】（1）证明：， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ． （2）绳子的长度为 【解析】 【分析】（1）因为，，所以四边形是平行四边形，所以． （2）过点D作延长线于点F，根据圆的切线性质和勾股定理求出，得，证明，得，得，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作延长线于点F， 则． ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 绳子的长度为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 南昌著名地标建筑——滕王阁，在春节期间是热门的旅游打卡景点．已知滕王阁的门票价格为成人票价50元/人，学生票价25元/人，若能完整背诵王勃的《滕王阁序》，则可免门票．某学校组织600名师生前往参观，其中有200人凭借流利背诵《滕王阁序》享受免票优惠，最终此次参观累计花费10250元门票费用． （1）在需要购票的师生中，学生和老师的人数各有多少？ （2）已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观滕王阁老师人数的．若要控制实际购票费用不超过8500元，在所有老师都要背出《滕王阁序》的前提下，至少还需要多少名学生背出《滕王阁序》？ 【答案】（1）需要购票的学生390人，老师10人 （2）至少还需要50名学生． 【解析】 【分析】（1）先得到需要购票的总人数，根据总门票费用的等量关系列方程求解； （2）先确定总老师人数，再根据购票费用不超过限额的不等关系列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，总师生共600名，免票200名， 因此需要购票的总人数为（人）， 设在需要购票的师生中，学生人数为人，则老师人数为人， 根据总门票花费为10250元，得， ， 解得， ， 此在需要购票的师生中，学生390人，老师10人． 【小问2详解】 解：设还需要名学生背出《滕王阁序》享受免票优惠， 已知能背出《滕王阁序》的老师人数占所有参观老师人数的， 由(1)得购票老师人数为10人，因此原免票老师人数为10人，总老师人数为20人， 现要求所有老师都免票，原购票的10名老师不再购票，仅剩余名学生需要购票， 根据购票费用不超过8500元，得 ， 解得， 答：至少还需要50名学生背出《滕王阁序》． 19. 图1为《天工开物》记载的用于舂（）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其侧面示意图，此时点A和点C在同一水平线上，已知，，，垂足分别为，，，，．（参考数据：，，） （1）求的长； （2）碓工作时，从图2的位置逆时针旋转到最高处（如图3所示），此时，求点C的运动路径长（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，然后在中，解直角三角形即可； （2）如图：过A作，则，易得，点C的运动路径长为以A为圆心，以为半径，圆心角为圆弧的长，最后运用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴． 【小问2详解】 解：如图：过A作，则， 由（1）可得， ∵ ∴， ∴点C的运动路径长为以A为圆心，以为半径，圆心角为圆弧的长，即． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的边在一次函数图象上．且点在反比例函数的图象上．轴，点． （1）求一次函数及反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，点恰好落在图象上，求的值． 【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数的解析式为 （2）a的值为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，平移的性质，掌握一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据平行四边形的性质，得到点A的纵坐标为2，再根据点在一次函数图象上，求出点的横坐标，从而得到点，设点向下平移的距离为a，则平移后的点，再利用反比例函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：点在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ，解得， 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ， 轴， 轴， 点， 点A的纵坐标为2， 当时，， ， ， 点， 向下平移，当点C落在图象上， 设点向下平移的距离为a，则平移后的点， ， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： （1）求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； （2）请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： （3）每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 【答案】（1）100，， 补全统计图如下： （2） 从中位数看，阳光中学的中位数大于区市的中位数 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； 从优良率看，阳光中学的优良率大于区市的优良 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； （3）知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图，中位数和加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）首先根据阳光中学的优秀率求出参赛人数，然后求出良好的人数，然后除以总人数即可求出优良率a的值，然后补全统计图即可； （2）从中位数和优良率分析判断即可； （3）设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为，根据加权平均数列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵阳光中学的优秀率 ∴阳光中学参赛人数为（人） ∴∴阳光中学良好的人数为 ∴阳光中学的优良率； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为 根据题意得， 解得， ∴知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 22. 定义：在平面直角坐标系中，是自变量的函数，下面构建一个新函数：当时，；当时，，即．将变化后的函数称为原函数的分叉函数．例如：二次函数的分叉函数为． （1）若点在反比例函数的分叉函数的图象上，求的值． （2）已知二次函数和一次函数，点在的分叉函数的图象上，过点作轴，与的分叉函数的图象交于点，设点的横坐标为，的长为，当时，求关于的函数解析式． （3）当时，二次函数的分叉函数的最大值为，最小值为，是否存在的情况？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为或 （2） （3）存在，的值为． 【解析】 【分析】（1）根据分叉函数的定义得出，再根据n的正负代入分叉函数求解即可求出n的值． （2）根据分叉函数的定义得出和，根据点t的取值范围，分别得出点P和点Q的纵坐标，然后相减即可得出关于的函数解析式． （3）根据分叉函数的定义得出，然后根据t的取值范围分类，得出，然后利用二次函数的图像和性质求出m和n，然后相加得出10，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，， ∴， 当时，将点代入，可得，解得． 当时，将点代入，可得，解得． 故的值为或． 【小问2详解】 解：根据分叉函数的定义得出二次函数的分叉函数为， 一次函数的分叉函数为， 当时，点P的纵坐标为 点Q的纵坐标为， 则， 当时，点P的纵坐标为， 点Q的纵坐标为， 则， ∴ 【小问3详解】 解：根据分叉函数的定义得出， 当时，即，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，随着x的增大而增大， ∴，， ∴， 令，即， 则， ∴方程无解． 当，即时，则, 当时，取的最小值， 当时，取的最大值， ∴， 解得（舍去） 当时，， ∵， ∴抛物线开口向上， 在上，随着x的增大而增大， ∴，， 则， 即， 解得或（舍去）． 六、解答题（本大题共12分） 23. 观察发现 （1）已知的半径为3，点是上的动点． ①若是上的任意一点，则的最大值是_________； ②若，则的最大值是_________． 类比思考 （2）已知的半径为3，点是上的动点． ①在图1中，，在中，，，连接，是的中点，求的最大值； ②在图2中，，在中，，，连接，求的最大值． 拓展延伸 （3）如图3，在四边形中，，点是上方的动点，且，，，用含的式子表示线段的最大值． 【答案】（1）①，② （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）①为圆的直径时有最大值；②当点B在射线的延长线上时，有最大值； （2）①取的中点M，连接、，根据，当且仅当点E、M、C三点共线时取等号，即可作答；②将绕A点逆时针旋转，使得与重合，此时得到，先证明是等腰直角三角形，再根据，当且仅当点O、D、C三点共线时取等号，即可作答； （3）在上方作线段，且使得（），证明，可表示出，再使用勾股定理表示出；最后根据，当且仅当点O、A、C三点共线时取等号，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的半径为3，点是上的动点， ∴， ①∵是上的任意一点， ∴为圆的直径时有最大值，最大值为， ②∵， ∴当点B在射线的延长线上时，有最大值，最大值为； 【小问2详解】 ①取的中点M，连接、，如图， ∵在中，，，点M为的中点，， ∴，， ∵点M为的中点，是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径为3， ∴， ∵，当且仅当点E、M、C三点共线时取等号， ∴， ∴的最大值为; ②将绕A点逆时针旋转，使得与重合，此时得到，如图， 根据旋转有：， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，当且仅当点O、D、C三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为：， 【小问3详解】 解：在上方作线段，且使得（）， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，当且仅当点O、A、C三点共线时取等号， ∴， ∴的最大值为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理以及圆的相关知识，本题的难点在第三小问，作辅助线构造相似三角形，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $