浙江省杭州市杭州中学2026年中考前测试 数学试卷

2026年杭州中学中考适应性考试 数学问卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分； 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置； 3．不得使用计算器；如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑； 4．务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题纸上与试卷题号对应区域规范作答，注意不要错位，在本试题卷上作答一律不得分． 试题卷 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．的倒数是（ ） A． B． C． D．2 2．截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台．将1.64亿用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 3．如图，下面几何体的俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．某学校九年级女生仰卧起坐的测试成绩频数分布直方图如图所示，其中不低于35次的人数为（ ） A．60 B．84 C．96 D．144 6．古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，请问能算士，鸦树多少数．若设鸦只，树棵，由题意则可得方程组（ ） A． B． C． D． 7．如图，点是正八边形的边上一点，一束光线从点出发，经过两次反射后到达边上一点，若，则（ ） A． B． C． D． 8．点，，在反比例函数的图象上，，则下列判断正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，．点从出发，沿向终点运动，过作于点，连结．设点的运动路径长为，的面积为，的面积为，，关于的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是（ ） A． B．的最大值为4 C．点在函数图象上 D．当时， 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11．分解因式：__________． 12．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________________． 13．如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底点的处，用测角仪测得塔顶部的仰角为，则该古塔的高度约为__________．（结果保留整数，参考数据：，，） 14．已知反比例函数，当时，则的取值范围为_____________． 15．【数学阅读】17世纪数学家莱布尼茨发现可以用级数表达： 【数学应用】应用莱布尼茨的级数表达公式，估算：当时，的近似值为__________．（结果保留一位小数） 16．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为，过点作于点，当矩形也是黄金矩形（）时，则__________． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分8分）计算：． 18．（本小题满分8分）解不等式组：． 19．（本小题满分8分）丢番图曾提出这样一个问题：将一给定的平方数，分为两个正有理数的平方和．例如给定的平方数为16． 设其中一个正有理数的平方为，则另一个正有理数的平方为． 令，其中为整数． 取，则， 于是， 解得（舍去），． 所以，， 即． （1）上面的解决过程中，为何将舍去？请说明理由． （2）请你将平方数9分为两个正有理数的平方和． 20．（本小题满分8分）为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查一部分同学实验操作的得分．根据获取的样本数据，制作了如下的不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）抽查的人数为_____；6分所在的扇形的圆心角的大小是____度；请补全条形统计图； （2）求出样本数据的平均数、众数、中位数； （3）若该校九年级共有1200名学生，估计该校理化实验操作得满分（10分）有多少人． 21．（本小题满分8分）探究角度与线段比例之间的关系 如图，在中，，点在边上，且，连接并延长至点，使得，作交延长线于点，连接交于点．记，． 【图形认识】求证：． 【引元关联】设，求关于的函数表达式． 22．（本小题满分10分）如图，正方形中，点是边上的一点（点不与点，点重合以为一边向正方形外作正方形，联结交的延长线于点． （1）求证：； （2）若正方形的边长为2，当点为中点时，求的长． 23．（本小题满分10分）已知二次函数（为常数，且）． （1）求二次函数的对称轴； （2）若，当时，函数的最大值为1，求的值； （3）在（2）的条件下，如果，在二次函数的图象上，其中，求的最大值． 24．（本小题满分12分）如图1，为外接圆，点、分别为，中点，连结、、，分别与、交于点、．已知． （1）求证：． （2）如图2，连结交于点，连结交于点，连结、．若，求证：是等边三角形． （3）在（2）的基础上，若，求． 学科网（北京）股份有限公司 $