精品解析：2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷

2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州 气温 A 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 杭州 2. 如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，的全球下载量已突破1600万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 6. 如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（　　） A. 28° B. 38° C. 48° D. 88° 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 8. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为（ ） A. 3∶4 B. 9∶16 C. 9∶19 D. 9∶28 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________ 12. 分式方程的解是__________． 13. 从一串字母“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 14. 已知圆锥母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 15. 如图，过外一点作圆切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为___________ 16. 如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．若，且、、三点共线，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中．小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式 ① ② ③ 当时，原式． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 20. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 21. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； （3）如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”． 22. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； （2）求线段对应的函数关系式． （3）已知弹簧测力计在状态③时显示读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 23. 已知函数（为常数）． （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 24. 如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知． （1）如图，求证：． （2）如图，经过圆心，，． ①求的值； ②若，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙江省杭州市滨江区江南实验中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某天，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是（ ） 城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州 气温 A 哈尔滨 B. 广州 C. 武汉 D. 杭州 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，有理数的减法，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义，分别求得各地与北京的温差后选取最小的温差所对应的城市即可． 【详解】解：哈尔滨与北京的温差为， 广州与北京的温差为， 武汉与北京的温差为， 杭州与北京的温差为， 则与北京气温最接近的城市是杭州， 故选：D． 2. 如图，是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形． 故选A． 3. 数据显示，自2025年1月10日正式发布至2025年1月26日，的全球下载量已突破1600万次，这无疑是应用市场上的一次巨大成功，数据1600万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同；据此即可求解． 【详解】解：1600万． 故选：B． 4. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别利用合并同类型法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法分别判断即可． 【详解】解： A、与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 6. 如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数为（　　） A. 28° B. 38° C. 48° D. 88° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠B=68°，由三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】∵AB∥CD， ∴∠1=∠B=68°， ∵∠E=20°， ∴∠D=∠1﹣∠E=48°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的外角的性质，熟练运用性质进行角度转换是关键． 7. 如图，将正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和网格当中的旋转作图．旋转的三要素为旋转中心、旋转方向、旋转角度，作，将绕点D顺时针旋转至，即可得出B点的坐标． 【详解】解：如图，作，将绕点D顺时针旋转至， 则， ∴， ∴， ∴正方形绕点D顺时针旋转后，点B的坐标变为． 故选：B． 8. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： 故选：B． 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大，结合得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，在中，点在边上，，连接交于点，则的面积与四边形的面积之比为（ ） A. 3∶4 B. 9∶16 C. 9∶19 D. 9∶28 【答案】C 【解析】 【分析】由DE：EC=3：1，可得DF：FB=3：4，根据在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比，可得S△EFD：S△BEF=3：4，S△BDE：S△BEC=3：1，可求△DEF的面积与四边形BCEF的面积的比值． 【详解】连接BE ∵DE：EC=3：1 ∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k ∵ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD=4k ∴ ∴S△EFD：S△BEF=3：4 ∵DE：EC=3：1 ∴S△BDE：S△BEC=3：1 设S△BDE=3a，S△BEC=a 则S△EFD=，S△BEF= ∴SBCEF=S△BEC+S△BEF= ∴则△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比9：19 故选C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的性质，关键是运用在高相等的情况下三角形面积比等于底边的比求三角形的面积比值． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 用平方差公式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 分式方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程，然后检验即可得到答案． 【详解】解：方程两边都乘，得出， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 故答案为：． 13. 从一串字母“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率公式，由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种，利用概率公式可得答案． 【详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽中字母的结果有种， 抽中字母的概率为． 故答案为：． 14. 已知圆锥的母线长为，底面半径为，则这个圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 15. 如图，过外一点作圆的切线，，点，为切点，为直径，设，，则m，n的等量关系为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，四边形内角和为，圆周角定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． 连接，由切线的性质得到，由四边形内角和为得到，根据圆周角定理得到，代入上式即可得到结论． 【详解】解：连接， ，是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，矩形中，是边上的动点，连接点与边的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交边于点．若，且、、三点共线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图轴对称变换，角平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 过点作于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 如图，过点作于点， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中．小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 原式 ① ② ③ 当时，原式． 【答案】错误步骤的序号是①，过程见解析 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】解：错误步骤的序号是①． ； 当时，原式． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 19. 如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， ，， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ， 的长为2． 20. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 八年级名学生活动成绩统计表 成绩/分 人数 已知八年级名学生活动成绩的中位数为分． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）样本中，七年级活动成绩为分的学生数是______________，七年级活动成绩的众数为______________分； （2）______________，______________； （3）若认定活动成绩不低于分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图得出七年级活动成绩为分的学生数的占比为，即可得出七年级活动成绩为分的学生数，根据扇形统计图结合众数的定义，即可求解； （2）根据中位数的定义，得出第名学生为分，第名学生为分，进而求得，的值，即可求解； （3）分别求得七年级与八年级的优秀率与平均成绩，即可求解． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图，七年级活动成绩为分的学生数的占比为 ∴样本中，七年级活动成绩为分的学生数是， 根据扇形统计图，七年级活动成绩的众数为 故答案：． 【小问2详解】 ∵八年级名学生活动成绩的中位数为分， 第名学生为分，第名学生为分， ∴， ， 故答案为：． 【小问3详解】 优秀率高的年级不是平均成绩也高，理由如下， 七年级优秀率为，平均成绩为：， 八年级优秀率为，平均成绩为：， ∴优秀率高的年级为八年级，但平均成绩七年级更高， ∴优秀率高的年级不是平均成绩也高 【点睛】本题考查了扇形统计图，统计表，中位数，众数，求一组数据的平均数，从统计图表获取信息是解题的关键． 21. 我们定义：若一条直线既平分一个图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“紫金线”． （1）如图，已知，，，过点能作出的“紫金线”吗？若能，用尺规作图作出；若不能，请说明理由； （2）如图，若是矩形的“紫金线”，则依据图中已有的尺规作图痕迹，可以将用含的代数式表示为______； （3）如图，已知四边形中，，，，．作出四边形的“紫金线”． 【答案】（1）不能，理由见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）设过点能作直线“紫金线”交于点，证出，得出与周长不相等，则可得出结论； （2）由题意得平分，当是矩形的“紫金线”，则是的垂直平分线，证明，得出，则可得出结论； （3）作出的中垂线，记直线与，分别交于点、，连接，证明直线平分该图形周长，也平分该图形面积，则可得出答案． 本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点不能作出的“紫金线”， 理由：设过点能作直线“紫金线”交于点， 如图： 则点为中点，满足平分面积， ， ， 与周长不相等， 故不能平分该图形周长， 不能作出的“紫金线”； 【小问2详解】 解：由题意得平分，当是矩形的“紫金线”， 则是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ，左右两部分梯形面积也一样， 即平分周长也平分面积， 直线是矩形的“紫金线”， ，， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，直线即为所求： 记直线与，分别交于点、，连接，． 直线是的垂直平分线， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ， 直线平分该图形周长， ， ， 直线平分该图形面积， 直线为四边形的“紫金线”． 22. 在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． （1）图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______； （2）求线段对应的函数关系式． （3）已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】（1）②，④，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． （1）根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小”和“弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和”填空即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）当时，求出对应的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度从圆柱体开始下降到刚刚接触水面的高度”计算即可． 【小问1详解】 解：∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小， 图乙中，点对应状态，点对应状态， 弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和， ，． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 设线段对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段对应函数关系式为． 【小问3详解】 当时，得， 解得， ． 答：圆柱体浸入水中的高度为． 23. 已知函数（为常数）． （1）若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； （2）设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； （3）若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】（1）经过，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）把点代入中，即可得到函数表达式，然后根据当时，，即可判断得解； （2）利用顶点坐标公式得到，，然后消去可得到与的关系式． （3）由抛物线不经过第三象限可得的取值范围，分别讨论与时为最大值求解． 【小问1详解】 解：把点代入中， ． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象经过点． 【小问2详解】 解：抛物线函数为常数的顶点坐标是， ，． ， 把代入， ． 关于的函数解析式为． 【小问3详解】 解：由题意，把代入得， 抛物线不经过第三象限， ，即， ， 抛物线顶点， ， 当时，抛物线不经过第三象限， 解得， ，， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 不符合题意，舍去或． 当时， 或不符合题意，舍去． 综上所述，或． 24. 如图，是的外接圆，点位于外一点，连接，，．交于点，连接．已知． （1）如图，求证：． （2）如图，经过圆心，，． ①求的值； ②若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可； （2）①连接，，利用全等三角形判定与性质得到，利用圆的有关性质，等腰三角形的性质和平行线的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用直径所对的圆周角为直角的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论； ②连接，，的延长线交于点，设的半径，则，利用（2）①的结论得到，利用三角形的中位线定理得到，再利用勾股定理列出关于的方程解答即可得出结论． 【小问1详解】 证明：， ． ， ； 【小问2详解】 解：①连接，，如图， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， ， ． 为圆的直径， ， ． ， ； ②连接，，的延长线交于点，如图， 设的半径为，则， 由（2）①知：， ， 由（2）①知：， ， ，， ， 为的中位线， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，连接圆的半径构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $