精品解析：2026年广东深圳市育才教育集团九年级数学考前热身训练

初三考前热身训练 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 点在数轴上的位置如图，则比点表示的数大的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 如图，这是一个积木玩具的示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某校举办社团招新活动，设置了50张体验券，其中书法社20张，绘画社15张，其余为音乐社．学生随机抽取一张体验券，抽到绘画社体验券的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点为上一点，且，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 7. 如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. P为的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 8. 如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的解是，则的值为______． 10. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，点在第四象限，则的取值范围是__________； 11. 如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 12. 小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 13. 如图，在菱形中，，，是上一点，将沿折叠得到，平分交于点，当，，三点共线时，的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 17. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食．某商店在端午节来临之前订购了豆沙粽和肉粽两种进行试销．已知肉粽的进价是豆沙粽进价的2倍，用1500元购进肉粽的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个． （1）求豆沙粽和肉粽的进价分别是多少元？ （2）经市场调研，若肉粽的售价为每个12元时，每天可以售出200个，售价每提高1元，销量会相应减少20个．求当售价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 18. 如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. （1）过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形； （3）若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 19. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 20. 定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”． 【定义感知】：如图1，四边形中，若，，则四边形叫作“求同存异四边形”． 【理解应用】 （1）①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点E，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点E，若，，，直接写出y与x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三考前热身训练 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 点在数轴上的位置如图，则比点表示的数大的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A：，小于点表示的数，排除； B：，小于点表示的数，排除； C：，小于点表示的数，排除； D：，大于，因此大于点表示的数． 2. 如图，这是一个积木玩具的示意图，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的定义：从几何体的左边看所得到的视图，即可得出答案． 【详解】解：从左边看几何体得到的图形是： 故选：D． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是从几何体的左边看所得到的视图，是解题的关键． 3. 某校举办社团招新活动，设置了50张体验券，其中书法社20张，绘画社15张，其余为音乐社．学生随机抽取一张体验券，抽到绘画社体验券的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式，用符合条件的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵所有体验券共50张，其中绘画社体验券有15张，且任意一张被抽到的可能性相等， ∴抽到绘画社体验券的概率为． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则和合并同类项法则，根据初中整式运算的对应规则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故∴ B选项错误． ，故C选项正确． ，故D选项错误． 5. 如图，是的直径，点为上一点，且，，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算出结果即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ∵， ， ， 劣弧的长为． 6. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？若设有人，有辆车，则可列方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题关键．设有人，有辆车，根据如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车可列方程，根据如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行可列方程，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为， 故选：A． 7. 如图一次函数经过点，与轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. P为的中点 C. 方程的解是 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可． 【详解】解：A、根据图象可知，， ∴，原选项不符合题意； B、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∵， ∴为的中点，原选项符合题意； C、方程的解是，原选项不符合题意； D、当时，，原选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，，坝高，将原坡度的迎水坡面改为坡角为的斜坡，此时，河床面的宽减少的长度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，等腰三角形的性质和判定，过点A作于F，过点E作于H，根据坡度的概念求出，根据等腰三角形的性质和判定求出，即可得解． 【详解】解：如图，过点A作于F，过点E作于H，则，，， ∵斜坡的坡度，， ， ，， ， ， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知关于的方程的解是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，把代入方程计算即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的方程的解是， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，点在第四象限，则的取值范围是__________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据第二象限及第四象限内点的坐标特点列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，点在第四象限， ， 解得， 故答案为：． 11. 如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 12. 小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔，光屏在距小孔处，小华测量了蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为______． 【答案】3 【解析】 【分析】如图，先证明，再根据相似三角形对应边的高的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，，， ， ，， ， 又是中边上的高，是中边上的高， ，即， ， 即光屏上火焰所成像的高度为． 13. 如图，在菱形中，，，是上一点，将沿折叠得到，平分交于点，当，，三点共线时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作交延长线于点，由折叠可知，，，由菱形的性质可得，，继而得到，由，，三点共线可得，进而可得，证明得，进而可得，即为中点，根据得，最后根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，连接，过点作交延长线于点， ∴， ∵将沿折叠得到，， ∴，，， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，即 ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，的长为． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再运算除法，化简，得，最后把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 16. 从“河南制造”向“河南智造”跨越，到“智能红利”惠及千万百姓，河南正迎来发展人工智能（）的重要机遇．河南某教育集团举办技术比赛．为了解各校区参赛效果，比赛结束后，该教育集团随机从甲、乙两个校区的比赛成绩中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩用x表示，单位：分），将成绩分成五组：A：；B：；C：；D：；E：，并对成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 甲校区20名学生的成绩：89，77，58，77，89，68，88，69，79，84，77，78，82，87，66，96，94，83，67，92， 其中乙校区学生的成绩在D组的数据为：80，82，83，84，86，87，88，89． 抽取的甲、乙两校区学生成绩的平均数、中位数、众数和方差如下表所示： 校区 平均数 中位数 众数 方差 甲 80 80.5 77 102.3 乙 80 b 79 95.7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：______，______； （2）比赛成绩90分及以上记为优秀，乙校区共有600名学生参加比赛，估计乙校区成绩优秀的学生人数为______人； （3）结合上述数据，分析甲乙两个校区哪个校区技术掌握得更好？（写出一条即可） 【答案】（1）20，82.5 （2）120 （3）乙校区技术掌握得更好，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据样本百分比的计算得到a的值，根据中位数的计算得到b的值； （2）根据样本估算总体数量的计算即可求解； （3）根据平均数，中位数，众数，方差作决策即可． 【小问1详解】 解：甲校区B组的人数为：4人， ∴，即， 乙校区的中位数是第10，11位同学成绩的平均数，即D组中82，83的平均数， ∴； 【小问2详解】 解：（人）， ∴乙校区成绩优秀的学生人数为120人； 【小问3详解】 解：乙校区技术掌握得更好，理由如下， 因为两个校区成绩的平均数相等，乙校区成绩的中位数高于甲校区，乙校区成绩的众数高于甲校区，方差小于甲校区，说明乙校区成绩整体更集中、更稳定，所以乙校区技术掌握得更好． 17. 端午节是我国的传统节日，粽子是端午节的一种美食．某商店在端午节来临之前订购了豆沙粽和肉粽两种进行试销．已知肉粽的进价是豆沙粽进价的2倍，用1500元购进肉粽的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个． （1）求豆沙粽和肉粽的进价分别是多少元？ （2）经市场调研，若肉粽的售价为每个12元时，每天可以售出200个，售价每提高1元，销量会相应减少20个．求当售价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）豆沙粽的进价是每个5元，肉粽的进价是每个10元 （2）当售价定为16元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是720元 【解析】 【分析】（1）设豆沙粽的进价是元，则肉粽的进价是元，根据“用1500元购进肉粽子的数量比用500元购进豆沙粽的数量多50个”列出分式方程求解即可； （2）设肉粽的售价定为元，利润为元，根据题意列出关于的二次函数，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设豆沙粽的进价是每个x元，则肉粽的进价是每个元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：豆沙粽的进价是每个5元，肉粽的进价是每个10元； 【小问2详解】 设肉粽的售价定为a元，每天的利润为W元， 依题意，得：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，W有最大值，最大值为720元， 答：当售价定为16元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是720元． 18. 如图，平行四边形中，，点为的中点，连接. （1）过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形； （3）若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）利用作一个角等于已知角作图即可解题； （2）先根据平行四边形的性质得到，再结合作图得到四边形为平行四边形，然后证明即可得到结论； （3）连接，先利用勾股定理求出长，再证明是平行四边形，求出长，利用菱形的性质求面积即可． 【小问1详解】 如图，即为所作； 【小问2详解】 证明：∵是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，点为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问3详解】 连接， 设， ∵平行四边形的周长为18， ∴，即， ∵，即， 解得， 又∵四边形为菱形， ∴，， 又∵， ∴是平行四边形， ∴， ∴． 19. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 20. 定义：把有一组邻边相等，并且对角也互补的四边形叫作“求同存异四边形”． 【定义感知】：如图1，四边形中，若，，则四边形叫作“求同存异四边形”． 【理解应用】 （1）①在以下四种图形中，一定是“求同存异四边形”的是______； A.平行四边形 B.菱形 C.正方形 D.矩形 ②“求同存异四边形”中，若，则______； （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点E，若垂直平分，且，求证：四边形是“求同存异四边形”； 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，为直径，A，C分别为上的两个动点，使得四边形为“求同存异四边形”，对角线，交于点E，若，，，直接写出y与x的函数关系式． 【答案】（1）①C；② （2）证明：∵垂直平分， ∴，，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“求同存异四边形”． （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质，即可解答； （2）根据全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，结合“求同存异四边形”的定义，即可得证； （3）根据“求同存异四边形”的定义，分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：①平行四边形和菱形的对角相等，不一定互补， 平行四边形和菱形不一定是“求同存异四边形”； 矩形的邻边不一定相等， 矩形不一定是“求同存异四边形”； 正方形中有一组邻边相等，并且对角也互补， 正方形一定是“求同存异四边形”． ②四边形为“求同存异四边形”， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：圆内接四边形为“求同存异四边形”，且圆内接四边形对角互补， 四边形必有一组邻边相等， 当时，如图所示， 则根据垂径定理可得，垂直平分， ． 同理，当时，则． 为直径，垂直平分， ，， ，． ， ． ， ； 当时， ， ． 如图所示，延长至点，使，连接， 四边形是圆内接四边形， ． ， ． 又，， ， ，． 为直径， ， ，为等腰直角三角形， ，， 为等腰直角三角形，， ， ． ，， ， ， ， ， ； 当时，如图所示， 为直径， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $