精品解析：2026年湖南省长沙市长郡集团部分学校考前测试数学试题

2026年九年级适应性训练数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 2. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义，对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形同时也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：不是轴对称图形也不是中心对称图形； 3. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵亿， ∴亿． 4. 乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， A错误； ， B错误； ， C错误； ， D正确． 6. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记小明一次随机试验能打开门为事件A，根据列举法得出第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种，根据概率公式即可求解． 【详解】记小明一次随机试验能打开门为事件A． 根据题意，每个数字为0~9中任意一个， 小明记得前五个数字，第六个数字必须为偶数，可以为0，2，4，6，8共5种， 而正确的只有其中一个，所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 某社区便利店销售家用洗衣液，店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，以便合理进货．下列关于洗衣液容量规格的统计量中，最有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题需结合店主的实际需求，根据不同统计量的意义，选出符合要求的统计量，店主的核心需求是找出最畅销，也就是出现次数最多的洗衣液容量规格． 【详解】解：∵店主需要确定最畅销的洗衣液容量规格，本质是找出出现次数最多的容量规格， 又∵众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数反映数据的中间位置水平，平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动程度，只有众数符合店主需求， ∴最有参考意义的统计量是众数． 8. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 9. 已知一次函数，下表是与的几组对应值，则该一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先利用表格中的对应值求出一次函数的解析式，再根据一次项系数和常数项的符号，结合一次函数的性质判断图象经过的象限． 【详解】解：一次函数解析式为，由表格可知，当时，，代入得， 取，代入解析式得 ， 解得， 一次函数解析式为， ，， 函数图象经过第一、二、四象限． 10. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（ ） A. 6 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据求出的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】x≤3且x≠0 【解析】 【分析】由二次根式及分式有意义的条件，即可得到答案． 【详解】解：要使代数式有意义，则有： ，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 12. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 13. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 14. 如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 【答案】40 【解析】 【分析】根据圆周角的性质得到，由为劣弧的中点，得到，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为劣弧的中点， ∴， ∴． 15. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 合格的头盔数 合格头盔的频率 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：头盔的合格频率稳定在附近， 抽查一个头盔，合格的概率约为． 故答案为：． 16. 程序框图的算法思路源自于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，已知某同学输入后经过了两次操作停止，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．根据运行程序，第一次运算结果小于或等于37，第二次运算结果大于37列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， 故答案为． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】 解：原式 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先通分运算括号内的分式，再利用因式分解进行化简运算，再把，代入运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 19. 游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西方向上，且A与B之间距离6千米． （1）由题意知：______度，______度； （2）求灯塔A到航线的距离（答案保留根号）． 【答案】（1）， （2）千米． 【解析】 【分析】（1）根据方向角的定义，正北与正东方向夹角为90度，因为灯塔A在O处北偏东，所以可计算的度数；因为灯塔A在B处北偏西，所以可计算的度数． （2）先作于H，即为所求距离．结合已知的长度，在中，利用锐角三角函数的定义，结合角度关系列关系式，求出的长度． 【小问1详解】 解：O点处，为正北方向，灯塔A在北偏东方向，因此与正北方向的夹角； B点处，为正北方向，灯塔A在北偏西方向，因此与正北方向的夹角． 【小问2详解】 过作于，即为所求距离． 在中，，千米， ， ∴ ​千米． 答：灯塔A到航线的距离为​千米． 20. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： ，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为______； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数； （4）学校准备从七年级等级学生中推荐甲、乙、丙三名同学中的两人去参加全区的消防安全知识竞赛，请用画树状图或列表法，求出甲，乙两名同学同时被选中的概率． 【答案】（1）人 （2）分 （3）人 （4） 【解析】 【分析】本题考查了统计与概率的综合应用，涉及频数分布、中位数计算、用样本估计总体以及概率求解，熟练掌握统计量计算方法和概率模型是解题关键． （1）先通过等级的频数和占比求出总人数，再用总人数减去其他等级人数得到等级人数； （2）将所有成绩排序后，根据中位数定义（中间位置数的平均数）计算中位数； （3）利用样本中等级的占比，估算全年级等级的人数； （4）通过树状图或列表法列出所有可能结果，再计算甲、乙同时被选中的概率． 【小问1详解】 解：所抽取的学生人数为：（人）， ∴所抽取的学生成绩为等级的人数为（人）； 【小问2详解】 解：将名学生的成绩按从小到大的顺序排列，第个、个数据的平均数就是所抽取的学生成绩的中位数， （分）； 【小问3详解】 解：由题意可知，（人）， 答：估计成绩为等级的人数为人； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲，乙两名同学同时被选中的结果有种， 甲，乙两名同学同时被选中的概率为． 21. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由作图知，平分，证明，即可得答案； （2）先证，则有，利用勾股定理求得，设，在中，列出方程，解答即可． 【小问1详解】 解：如下图， 由作图知，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 则， ， ． 22. 某超市计划购进甲、乙两种型号的台灯台，这两种型号台灯的进价、售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲种 乙种 （1）如果超市的进货款为元，那么可计划购进甲、乙两种型号的台灯各多少台？ （2）为确保乙种型号的台灯销售更快，超市决定对乙种型号的台灯打折销售，且保证乙种型号台灯的利润率为，问乙种型号台灯需打几折？ 【答案】（1） 计划购进甲、乙两种型号的台灯分别为40台和60台 （2） 乙种型号台灯需打9折 【解析】 【分析】（1）设购进甲种台灯数量为台，根据总台数得到乙的数量，再根据总进货款的等量关系列方程求解； （2）设乙种型号台灯需打折，根据利润率的等量关系列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设超市计划购进甲种型号的台灯为台，则购进乙种型号的台灯为台， 根据题意可得， 解得， ∴乙种台灯数量为（台）， ∴计划购进甲、乙两种型号的台灯分别为台和台． 【小问2详解】 解：设乙种型号台灯需打折， 根据题意可得， 解得， ∴乙种型号台灯需打折． 23. 如图，的顶点在上，边与交于点，边与相切于点，为的直径交于点．已知，，，． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角性质得到，再由切线的性质得到，即可得到结论； （2）证明，得到，求出，求出的长，即可通过运算求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ∴四边形DOBM为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 24. 定义：对于关于的二次函数与，若满足且，则称是的“协同函数”． （1）已知二次函数与，其中是的“协同函数”，求的值； （2）已知二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，且满足不等式．二次函数是的“协同函数”，当时，的最小值为，判断二次函数的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由． （3）若开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，且满足，它的“协同函数”的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点，当是直角三角形时，求出外接圆面积的取值范围． 【答案】（1）， （2）定点和 （3） 【解析】 【分析】（1）根据协同函数的定义得到，或，由此代入计算即可求解； （2）先确定对称轴为直线，则，由二次函数是的“协同函数”，得到，可知开口向下，可得对称轴为直线，由，得到，那么当时，的最小值为，可得当时，取最小值，代入得到，则的解析式为，即可求解定点； （3）可得二次函数的“协同函数”为，设，则，由为直角三角形，且，且抛物线看开口向上，则，点在轴负半轴，点在轴正半轴，由相似得到，则，则，而，那么，由开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，得到，那么，则． 【小问1详解】 解：已知且， ∴， ∴， ∵二次函数与，其中是的“协同函数”， ∴，； 【小问2详解】 解：∵二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数是的“协同函数”， ∴，即， ∵， ∴开口向下，可得对称轴为直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴当时，取最小值， 故， 化简得：， ∴的解析式为：， ∴当，即或， ∴经过定点和； 【小问3详解】 解：∵， ∴二次函数的“协同函数”为， 设， 当时， 则， ∵为直角三角形，且，且抛物线开口向上， ∴，点在轴负半轴，点在轴正半轴， 如图： 此时只能， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，难度大，涉及二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，外接圆的概念，一元二次方程根与系数的关系等知识点． 25. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． （1）填空：①______（填写“”“”或“”）；②______； （2）证明：； （3）①记四边形，，，，的面积依次为S，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 【答案】（1）；90 （2）证明：连接， ， ， 在和中， ， ，，， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ； （3）①；②2 【解析】 【分析】（1）证明，利用全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，先证明，得出，，继而证得 ，即可由勾股定理得出结论； （3）①先证明，，得出；然后过作于点，证明，得出，即可求解； ②过点作于点，连接，先证明，得，再证明，得到，即可代入计算求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①∵， ，， ， 同理，， ∴， 可化为， 即， ，， ； 过作于点， 故， ， 又由（2）知， ， 在等腰中，由， ∴ ∴， ； ②如图，过点作于点，连接， 由（2）知， 平分，， ， 又是的中垂线， ， ， ， 平分，，， ∴，且， ∴， ， ， 又由（2）知， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级适应性训练数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 注意安全 B. 急救中心 C. 水深危险 D. 禁止攀爬 3. 灵巧手是人形机器人的重要部件．有关部门预测，2035年全球灵巧手市场容量预计为743.8万只，对应的市场规模约967亿元．其中数据“967亿”用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 现代电子技术飞速发展，许多家庭都用起了密码锁，只要正确输入密码即可打开门．小明家的密码锁密码由六个数字组成，每个数字都是从中任选的，小明记得前五个数字，第六个数字只记得是偶数，他一次随机试验就能打开门的概率为(　　) A. B. C. D. 7. 某社区便利店销售家用洗衣液，店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销，以便合理进货．下列关于洗衣液容量规格的统计量中，最有参考意义的是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 方差 8. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数，下表是与的几组对应值，则该一次函数的图象经过（ ） A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 10. 数学家欧拉最先把关于x的多项式用符号表示，并把当时的多项式的值用表示．对于多项式，若，则的值等于（ ） A. 6 B. C. 7 D. 二、填空题（共6题，每题3分，共18分） 11. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 12. 在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 13. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 14. 如图，内接于，点在上，且点为劣弧的中点，连接、．若，则的度数为______． 15. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数 合格的头盔数 合格头盔的频率 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为______． 16. 程序框图的算法思路源自于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，根据如图的程序进行计算，规定从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，已知某同学输入后经过了两次操作停止，则的取值范围为________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 游艇在湖面上向正东方向航行，在O处，看到灯塔A在游艇北偏东方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西方向上，且A与B之间距离6千米． （1）由题意知：______度，______度； （2）求灯塔A到航线的距离（答案保留根号）． 20. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为分，学生测试成绩均为不小于的整数，分为四个等级：，，，），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： ，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）所抽取的学生成绩为等级的人数为______； （2）所抽取的学生成绩的中位数为______； （3）该校七年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为等级的人数； （4）学校准备从七年级等级学生中推荐甲、乙、丙三名同学中的两人去参加全区的消防安全知识竞赛，请用画树状图或列表法，求出甲，乙两名同学同时被选中的概率． 21. 如图，中，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线； ②以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交的延长线于点；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点． 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题； （1）求证； （2）过点作交的延长线于点，若，求的长． 22. 某超市计划购进甲、乙两种型号台灯台，这两种型号台灯的进价、售价如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 甲种 乙种 （1）如果超市的进货款为元，那么可计划购进甲、乙两种型号的台灯各多少台？ （2）为确保乙种型号的台灯销售更快，超市决定对乙种型号的台灯打折销售，且保证乙种型号台灯的利润率为，问乙种型号台灯需打几折？ 23. 如图，的顶点在上，边与交于点，边与相切于点，为的直径交于点．已知，，，． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 24. 定义：对于关于的二次函数与，若满足且，则称是的“协同函数”． （1）已知二次函数与，其中是的“协同函数”，求的值； （2）已知二次函数，对于任意的实数，当时和时的函数值相等，且满足不等式．二次函数是的“协同函数”，当时，的最小值为，判断二次函数的图象是否总经过某定点，若经过某定点，求出该定点坐标；否则，请说明理由． （3）若开口向上的二次函数的对称轴在轴左侧，且满足，它的“协同函数”的图象与轴交于两点（在左侧），与轴交于点，当是直角三角形时，求出外接圆面积的取值范围． 25. 如图1，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，连接，交于点，，垂足为，的延长线交于点． （1）填空：①______（填写“”“”或“”）；②______； （2）证明：； （3）①记四边形，，，，的面积依次为S，，，，，若满足，，求的值； ②在线段上取一点，连接，，如图2，当平分时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $