湖南长沙市湖南师范大学附属中学等校2026年 初中学业水平考试模拟试卷 数学A

A 2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学参考答案 一、单选题（共30分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D C c B A C 二、填空题（共18分） 11.3(x+2)x-2）12.a-113. 28元 14.615. 三、解答题（共72分） 17.(6分)【解析】解： 周+1--245--314 =3+v2-1-2x 2 ………（2分) =3+√2-1+√2-1 (4分) (6分) 18.(6分)【解析】解： a-小。2a -[a-小a =a-l (3分) a=-x-33-1=2 故原式=2-1=1. …(6分) 19.(6分)【解析】解：如图，连接AC,交MN于点H.设直线1交MN于点Q. :M是AC的中点，点E在MN上， :∠AEM=∠CEM=∠AEC=33. 在△AEC中，.EA=EC,∠AEH=∠CEH, ∴.EH⊥AC,AH=CH. ,直线1是对称轴， ∴.AB⊥I,CD⊥I,MN⊥I, AB∥CD∥MN, ∴.AC⊥AB, .AC=42.9,AH=CH= 429 （2分) 20 429 在Rta4E日中，sin∠AEH=4H,即是_20 AE 20 AE 则AE=39. (3分) 429 :tan∠AEH= AH 印13 20 HE 20 EH 则EH=33 .MH=6. ,该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm, H0=1A8=15, 2 .(5分) .MQ=MH+HQ=6+15=21. .MN=42(cm. (6分) C D 20.(8分)【解析】(1)解：20÷10%=200（人）， D类的人数为：200-40-20-60-30=50（人)，…（只写答案即给1分） 补全图形如下，… …(2分) (2)解：3000× 60 200 =900(人），…(3分） .该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数约为900人；…(4分) (3)解：3个男生分别用男1，男2，男3表示，用列表法把所有等可能结果表示如下，…(5分) 女 男1 男2 男3 女 (女，男1) (女，男2) (女，男3) 男1 (男1，女) (男1，男2) (男1，男3) 男2 (男2，女) (男2，男1) (男2，男3) 男3 (男3，女) (男3，男1) (男3，男2) 共有12种等可能结果，其中一男一女的结果有6种，…（7分) “抽到的学生恰好是一男一女的概率为。=} 122 …(8分) 个人数 70 60 50 50 40 40 30 20 10 00 A B C D E等级 21.(8分)【解析】(1)证明：：MN∥BC, ∴.∠OEC=∠BCE, 又CE是∠ACB的平分线， ∴.∠OCE=∠BCE, ∴.∠OEC=∠OCE, ∴.OE=OC, 同理，可得OF=OC, .OE=OF;… …（4分) (2)解：当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，…(5分) 理由：当点O为AC的中点时，OA=OC, 又由(1)，得OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形， .CE是∠ACB的平分线，CF是∠ACD的平分线， .∠OCE=∠ACB,∠OCF=∠ACD, ECF=∠0CE+∠0CF∠ACB+∠ACD=90a .四边形AEC℉是矩形.…(8分) 22.(9分)【解析】(1)解：设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘2x千克的蔬菜. 500500=10, x 2x 解得x=25. 经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，…(1分) .2x=2X25=50,… …(2分) 答：甲组每分钟采摘50千克的蔬菜，乙组每分钟采摘25千克的蔬菜；…(3分) (2)解：A类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 300 A类蔬菜的单位面积产量为： (千克)， 200 200 B类蔬菜的单位面积产量为： (千克)， a2a-2-a）aa-2 300200300(a-2-200a100a-600 a2aa-2 a2(a-2) a2(a-2 100(a-6 …(4分) a2(a-2 .a>6, .∴.a-6>0 又.a2>0,a-2>0, 100(a-6 >0, a2(a-2) .300 200 ->0, aa-2 300.200 a> a(a-2 答：A类蔬菜的单位面积产量大；…(6分) (3)解：设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍(n为正整数)，由题意得： 2a-2+14)a+a=n2a-2)a, 解得：n=2a+12=2+14 ，…（7分) a-1 a-1 .a>6,a为整数，且n为正整数，…(8分) [a-8=8「a-15=1 或 n-4=4n-3=3 .a的值为8或15.…(9分) 23.(9分)【解析】(1)证明：：∠CAD=∠ABD,∠CAD=∠CBD, ∴.∠ABD=∠CBD, .BD平分∠ABC. :BD平分∠ADC, ∴.∠ADB=∠CDB .四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°， .2(∠ABD+∠ADB)=180°， ∴.∠ABD+∠ADB=90°， .∠BAD=180°-90°=90°；…(4分) (2)解：由(1)知：∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD, :BD是圆的直径，AD=CD, ∠BCD=90°，AD=CD. AC=AD, ∴△ACD是等边三角形， ∴.∠ADC=60°. 又：DB平分∠ADC, 1 .∠BDC=。∠ADC=30°， 2 BC=BD=r=8 :CF∥AD, ∠F+∠BAD=180°， .∠F=90° ,四边形ABCD是圆内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180° .∠FBC+∠ABC=180°， ∴.∠FBC=∠ADC=60°. .∠F=90°，∠FBC=60°， ∴.∠FCB=30°， BF=BC=4.…(9分) 24.(10分)【解析】(1)解：如下图，将线段AB绕A点逆时针旋转，使点B落到直线y=-1上的 B'点，过B'点作B'D⊥AB于D, A DB y=-1 A1,0,B(3,0), .AB'=AB=3-1=2,B'D=1, .B'D=5AB'. 2 在Rt△AB'D中，∠B'AD=30°，即若直线y=-1是线段AB的一联络图形，O最小取值为30°， 如图，将线段AB绕AB中点顺时针旋转90°，此时点B刚好落到直线y=-1上的B′点， Ay B 即若直线y=-1是线段AB的o一联络图形，最大取值为90°， .30°≤a≤90°. 故答案为：②③；…（只写答案即给2分) (2)设直线y=5 +V5与x轴和y轴的交点分别为C点和D点，在直线y=5 3 x+V3中，当x=0 3 时，y=√5，当y=0时，x=-3, .C(0,V3),D(-3,0), .0C=√3，OD=3. 在Rt△OCD中，tan∠OcD=OD-5, OC ∴.∠OCD=60°. ①若B点在A点左侧，连接AC,如下图， y D A1,0), ∴.OA=1. 在Rt△OCA中，tanZOCA=-O4-V3 OC 3 ∴.∠OCA=30°，AC=2OA=2 :∠ACD=∠OCD+∠OCA=60°+30°=90°， 故AC⊥CD, 直线y3x土B是线段AB的60°秩络图形 .AB2AC,即AB22, ∴.t≤-1；…(4分) ②若B点在A点下侧，在CD上取一点E,使∠EAB=60°，如下图， D B 由①知∠CDA=30°， ∴.∠CEA=∠EAB-∠CDA=30°， :AE=AD =4. 直线v三+B足线盟AB的60°-联路图吸 ,AB2AE,即AB24, .t≥5 综上，t的取值范围为t≤-1或t≥5；…(6分) (3)由题可知，B点在以A为圆心半径为2的圆上，且在第一象限， 当B点在x轴上时，绕B点旋转AB顺时针旋转90°得到A'B,交PQ于Q点， y A :P(m,0),e(m-1,3), BP=1, .OP=OA+AB+AP=1+2+1=4;…（8分) 当点B在y轴上时，如下图，绕B点旋转AB顺时针旋转90°得到A'B,交PQ于A'点，延长BA'交x 轴于T, 0 8 T P O 在Rt△AOB中，coS∠OAB= OA 1 AB 2 .∠OAB=60°， .∠ATB=30°， AT=4,BT=23, .A'T=BT-BA'=23-2, TP=4'7÷cos30°=4-4V3 3 .OP=AT-OA-TP=4-1- 4-45）45-1,即此时m=1-4 3 3 3 :B点在第一象限， m的取值范围为1-4V <m<4.…(10分) 3 效（0分)【所】样：设：=2水+4片+-当+-4=0时4 x2=2,即点A-4,0),B(2,0), 当x<4成>2脂，方+-4>0，当45x52时方+x-450 0当-5ss4时，=-2+4利-分+x-4-x-l12---空，当=-5附， 2 11 2’x=-4时，2=0. Z= ②当4≤xs2时，=2x4到-后+4+412=-+空当x=1时.取 25 最大值，z= 2 -5≤x≤2 关于x的不等式组 k≤2x+4+ 有解，即k≤z, 5x2+x-4到 k的最大值为2 …(3分) 12 (2)x=0时，y=二x2+x-4=-4, 2 .C(0,-4) .∴.OA=OC, .∠OAC=∠OCA=45°. PF⊥AC, ∴.∠PDC=90°-∠AC0=45°」 如下图，过点P作PI⊥y轴，过点E作EI⊥x轴，EI、PI交于点I O(N) ∴.∠IPE=∠IEP=45°， PI=IE· 又.PE=8, :PI=1B=5x8=4N2. 2 段E坐标行4-小则-4点，r+4-4同 代入解析式得： 2x-422+(x-42)-4=)x2+x-4-4N2, 解得x=2√， 点E坐标为(2√2,2V2),点P坐标为(-22，-2②)， 设直线AP的解析式为yp=x+b,将A-4,0,P22,-2V2),代入解析式中得 -4k+b=0 k=-V2-1 -2V2k+b=-2V2'解得 b=-42-4 ∴直线AP解析式为yp=-(V2+1x-4V2+1, 同法可求：yc=(2+1x-4, 联立直线AP、EC得： 水-ird y=(2+1x-4 y=-4-22 .点G-4+2W2,-4-22), 如下图，过点G作GK⊥y轴，垂足为K,连接MK, O(N) D 人K .点M,N分别为AC、EP的中点， 即：点M(-2,-2),N(0,0), 2 So=Sx+Saww-Samo=4-22列x(4+22-2+4+22)x2-4+22]x(4-22)=4w …(6分) (3):PC∥x轴，C(0,-4),当x2+x-4=-4时，x=0,,=-2, .点P坐标为-2，-4). 由(2)可知：∠PDC=45°，△PDC是等腰直角三角形， ∴.CD=PC=2,即D(0,-2),PD=2V2, .直线PD解析式为y=x-2 又PF⊥AC, .DF-PF-.F2F 如图2-1，把△DFC绕顶点F逆时针旋转45°，得到△D'FC, 图2-1 .C(-1+2,-3,D(-1,-3+2) 再把△DF'C沿直线PD平移至△D"F"C",连接D"D',C"C'，,显然OC"≥√2+1>2=C"D” ∴.以O、C”、D”、K为顶点的四边形为菱形，OC”不可能为边，只能以OD”、C"D”"为邻边构成菱形 ∴.OD"=C"D”=OK=2, :OK∥C"D"∥C'D', 点O响右2个单位，向下V2个单位，可得K(2,-V②.…(8分) 如图2-2，把△DFC绕顶点F顺时针旋转45°，得到△D'FC', 图2-2 .C-1,-3-2,D(-1+2,-3 把△D'FC'沿直线PD平移至△D"F'C”，,连接D'D”,C'C", 显然，C"D"∥PD，OK⊥PD,易求0K=2(2+1=2V2+2,∠KOC=45°， 0C"≥V2+1>2=C"D”,0D"≥V2+1>2=C"D", .以O,C”,D”,K为顶点的四边形为菱形，C"D”只能为对角线， ∴点O向右(V2+2个单位，向下(V2+2个单位，得K2(2+V2,-2-V2) 综上所述，点K的坐标为：K(V2,-√②)，K2(2+2,-2-V2).…(10分) A 2026年长沙市初中学业水平考试模拟试卷 数学 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）如果零上记作，那么零下记作（ ） A． B． C． D． 2．（本题3分）2025年12月12日7时，我国在海南商业航天发射场使用长征十二号运载火箭，成功将卫星互联网低轨16组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．此次执行任务的运载火箭是我国首款4米级单芯级运载火箭，它高度近62米，起飞质量433吨，起飞推力约5100000牛，其中5100000用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，点A，B的坐标分别为，，若将线段平移至的位置，点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，直线，点B、D均在直线a上，点A在直线a的上方，连接、，延长交直线b于点C，若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知一个等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，那么它的周长为（ ） A．13 B．13或17 C．17 D．12或16 7．（本题3分）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若的周长是24，，则的长为（ ） A．24 B．20 C．17 D．25 8．（本题3分）如图，在中，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（本题3分）某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，在四边形中，，，，P为BC边上一点（不与点B，C重合），连接，，，且，，M为的中点，连接，．则下列结论错误的是（ ） A．若，则 B．若，则四边形的周长为33.6 C．的面积最大为25 D．的面积恒为12 二、填空题（共18分） 11．（本题3分）分解因式：____________． 12．（本题3分）若，则____________． 13．（本题3分）若圆锥的母线长为7，底面圆的半径为4，则圆锥的侧面积是________．（结果保留） 14．（本题3分）如图，反比例函数的图象经过长方形的顶点，，分别在轴上与轴上，则长方形的面积为____________． 15．（本题3分）已知，则的值为____________． 16．（本题3分）小乙、小巴、小如、小意四位同学一起预测某次数学竞赛成绩．小乙对小巴说：“别担心，你的成绩不是最差的．”小巴对小如说：“你的成绩最好．”赛后发现，四人的成绩均不相同并取得了前4名，且成绩好的人对成绩差的人所说的话正确，成绩差的人对成绩好的人所说的话错误，则这四人中成绩最好的是____________． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）计算：． 18．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 19．（本题6分）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30 cm，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算． 参考数据：，，，，，． 20．（本题8分）每年的11月9日是“119消防宣传日”，本月5日，某校采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成A，B，C，D，E五个等级进行统计，绘制了如下两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： （1）接受测评的学生共有________人，并补全条形统计图． （2）若该校共有学生3000人，请估计该校学生对消防安全知识掌握程度为C级的人数． （3）测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，请你用树状图或列表的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 21．（本题8分）如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． （1）求证：； （2）当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 22．（本题9分）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． （1）去年实践基地收获500 kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ （2）今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300 kg，B类蔬菜200 kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． （3）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加14 m，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 23．（本题9分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． （1）求证：平分；并求的大小； （2）过点C作交的延长线于点F，若，圆的半径长为8，求的长． 24．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知线段和图形，如果对于给定的角，存在线段上一点，使得将线段绕点顺时针旋转角之后，所得到的线段与图形有公共点，则称图形是线段的－联络图形． 例如，如图中的正方形即为线段的－联络图形．已知点， （1）若点的坐标为，直线是线段的－联络图形，则可能是下列选项中的____（填序号） ①，②，③ （2）若点的坐标为，直线是线段的－联络图形，求的取值范围； （3）若第一象限内的点满足，点，，若存在某个点，以及某个，使得线段是线段的－联络图形，直接写出的取值范围． 25．（本题10分）如图，抛物线与轴交于，（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． （1）关于的不等式组有解，求的最大值； （2）直线与直线交于点，，分别为，的中点，若长为，求的面积； （3）当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $