精品解析：2026年辽宁省阜新市海州区二模数学试题

2025-2026学年度（下）素质测评（二） 九年级数学试卷 2026.5 本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分，千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是( ) A. B. C. D. 3. 下列多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 梯形 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形，中间正方形对角线的交点，也是中间正方形，右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 15 8. 如图，已知正六边形的一边在轴上，点在轴上，点坐标，反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. 24 D. 48 9. 甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点在边上，连接，．若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为计数方便，某果园以每筐水果30 kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“”表示的实际千克数是________千克． 12. 某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 13. 如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 14. 如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 15. 如图，已知，，，将沿所在直线翻折得到（和在同一平面内），延长交于点，则的长是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 17. 在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费2400元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？ （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过920元，则最多可购买多少个篮球？ 18. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题： （1）参与这次学校调查的学生家长共_________人； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？ 19. 如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 20. 阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． （1）求出每件饰品的成本； （2）三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 21. 如图，为的直径，为弦延长线上一点，且满足，连接，并过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求线段的长． 22. 综合实践 （1）如图，已知，，点、分别在边、上（不与线段、端点重合），连接、，若使需要再添加一个条件，则以下条件能符合的是________； ；；； （2）如图，已知菱形，点是边上一点（不与点、重合），连接，以点为圆心，线段的长为半径作弧交延长线于点，求证：； （3）如图，已知，，，点是边中点，连接，于点，点在线段上，，当时， 求线段的长； 直接写出的面积． 23. 平面直角坐标系中，抛物线C：： （1）如图当抛物线经过点，点是抛物线上一点时： ①求的值； ②过点作直线交直线于点，作直线交直线于点，求面积的最小值并直接写出此时点的坐标； ③将抛物线部分记作，将沿直线翻折得到图像，、组成的新图像记作，若新图像与直线有交点，直接写出的取值范围． （2）抛物线：，当时，始终有成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（下）素质测评（二） 九年级数学试卷 2026.5 本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟 Hi，各位同学请注意：务必将试题答案写在答题卡对应的位置上，否则不得分，千万记住哟！ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）， ∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 2. 下列几何体中，主视图是三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可． 【详解】解：A、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； B、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误； C、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； D、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图． 3. 下列多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项即可得到答案． 轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形；中心对称图形的定义：绕图形中心旋转后能与原图形重合的图形是中心对称图形． 【详解】解：A．选项平行四边形，绕对角线交点旋转后与原图形重合，但不存在一条直线使对折后两侧完全重合，因此它是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合要求； B．选项等边三角形，沿高线所在直线对折后两侧重合，是轴对称图形，但绕中心旋转后不与原图形重合，不是中心对称图形，不符合要求； C．选项矩形，沿对边中点连线所在直线对折后两侧重合，绕对角线交点旋转后与原图形重合，因此既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合要求； D．选项梯形，只有等腰梯形是轴对称图形，所有梯形都不是中心对称图形，不符合要求． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，去括号法则，负整数指数幂的性质，单项式除以单项式法则，则逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：，A错误． 选项B：，B错误． 选项C：根据负整数指数幂的运算法则，可得，符合运算法则，C正确． 选项D：，D错误． 5. 把同一个正方形木板平均分割成下图各区域，假设飞镖击中正方形木板的每一处是等可能的（击中正方形边界或没有击中正方形，则重投一次），任意投掷飞镖一次，则飞镖击中正方形木板中阴影部分的概率最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出四个选项中击中阴影部分的概率，比较即可得到答案． 【详解】解：A．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； B．图中平均分成了4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； C．图中平均分成了8份，阴影部分占了3份，故击中阴影部分的概率为； D．图中平均分成4份，阴影部分占了1份，故击中阴影部分的概率为； ∵， ∴命中阴影部分的概率最大的是C． 6. 将个面积均为的正方形按如图所示摆放，点，分别是左侧正方形，中间正方形对角线的交点，也是中间正方形，右侧正方形的顶点，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵由正方形性质可得：， ∴， ∴， ∴， 同理，右边空白四边形的面积也是， ∴图中阴影部分的面积是：． 7. 如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（ ） A. 6 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】因为是的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点到、的距离相等，即和的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底和的长度比，结合已知与的比例，可得到和的面积比；因为的面积是和的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出的面积． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， 即​， ∴， ∴， 又∵的总面积， ∴， ∴， 解得． 8. 如图，已知正六边形的一边在轴上，点在轴上，点坐标，反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，由条件可知，，则，，，易证四边形是矩形，根据勾股定理求出的长，即可得到点的坐标，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 由条件可知，， ，，， ， ，， ， ． ， ∴四边形是矩形， ， ∴． 在中，， ∴，解得（负值舍去）， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ． 9. 甲、乙两人分别加工300个零件，甲每天比乙多加工10个，结果甲提前5天完成．设乙每天加工x个零件，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件表示出甲的工作效率，再结合“工作时间工作总量工作效率”得到甲、乙两人的工作时间，最后根据甲提前5天完成的等量关系列方程即可． 【详解】∵设乙每天加工个零件，甲每天比乙多加工10个， ∴甲每天加工个零件， 乙加工300个零件的总时间为天， 甲加工300个零件的总时间为天， ∵甲提前5天完成，即乙的总时间比甲多5天， ∴， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，点在边上，连接，．若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，交于点，根据题意得到，，，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，， 过点作，交于点， ∴四边形是矩形， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 为计数方便，某果园以每筐水果30 kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．则“”表示的实际千克数是________千克． 【答案】27 【解析】 【分析】根据题意，以每筐为准，超过记为正，不足记为负，负数表示实际重量低于标准重量，据此计算实际重量即可． 【详解】解：由题意可得，“”表示实际重量比标准重量少， 因此实际千克数为 （千克）． 12. 某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是__________分． 【答案】8.2 【解析】 【详解】解：根据题意，计算五次得分的总和：， 由平均数计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的个数，得：． 13. 如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 【答案】##162度 【解析】 【分析】作直线，由题得；再说明可得，即，最后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：作直线，由题得， ，， ． ， ． ， ． ． 14. 如图，一个秋千的摆长为3m，当点A绕着点O摆动到同样高度的点B时，，则的长度为________m．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】1.4 【解析】 【分析】过点O作于点T，结合等腰三角形的“三线合一”，在中运用角的正弦解答即可． 【详解】解：过点O作于点T，如图， 根据旋转的性质有：， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 15. 如图，已知，，，将沿所在直线翻折得到（和在同一平面内），延长交于点，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件和所在的图形可证明，进而利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：， 和关于对称， ． 在和中， ， ． 设，则有，，代入，得 解得 ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 计算与化简 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解： ． 17. 在运动会前夕，育红中学都会购买篮球、足球作为奖品．若购买10个篮球和15个足球共花费2400元，且购买一个篮球比购买一个足球多花40元． （1）求购买一个篮球，一个足球各需多少元？ （2）今年学校计划购买这种篮球和足球共10个，恰逢商场在搞促销活动，篮球打九折，足球打八五折，若此次购买两种球的总费用不超过920元，则最多可购买多少个篮球？ 【答案】（1）购买一个篮球，一个足球各需120元，80元 （2）最多可购买6个篮球 【解析】 【分析】（1）设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元，根据题意列方程组解答； （2）设购买a个篮球，根据购买两种球的总费用不超过920元列不等式解答． 【小问1详解】 解：设购买一个篮球需x元，购买一个足球需y元， 根据题意可得， 解得， 答：购买一个篮球，一个足球各需120元，80元； 【小问2详解】 解：设购买a个篮球， 根据题意可得， 解得， 答：最多可购买6个篮球． 18. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题： （1）参与这次学校调查的学生家长共_________人； （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？ 【答案】（1）150 ；（2）见解析；（3）1120人 【解析】 【分析】（1）观察两幅统计图中A分别是30人，其所占的百分比为20%，则可求得参与这次学校调查的学生家长总人数； （2）在求得了参与调查的学生家长总人数的情况下，根据A、B、D的人数，即可求得C的人数，从而可把条形统计图补充完整； （3）可求得该校参与调查的学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，用此百分比作为该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，其与2000的积便是所求的结果． 【详解】解：（1）由条形统计图知，A所占的人数为30人，由扇形统计图知，A所占的百分比为20%，所以参与这次学校调查的学生家长共有：30÷20%=150（人）． 故答案为：150 ； （2）C选项人数为 ：（人） 补充条形统计图如下图所示． （3）（人） 所以估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有1120人． 【点睛】本题综合考查了两种统计图：条形统计图和扇形统计图，用样本的百分比估计总体的百分比，关键是读懂两个统计图，并能从统计图中获取有用的信息． 19. 如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求点的坐标； （2）求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 【答案】（1） （2），抛物线上的最高点到水面的距离为 【解析】 【分析】（1）作于点，根据题意，，利用三角函数计算出，从而得到点的坐标； （2）利用三角函数求出，从而得到点，使用待定系数法求出抛物线的表达式，再化为顶点式求出顶点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最高点到水面的距离为． 20. 阜新盛产玛瑙，有着“世界玛瑙之都”的美誉．玛瑙制品也成为阜新文旅的消费爆款．某门店主营玛瑙饰品，现购进一批成本固定的玛瑙饰品，分为线上和线下两种销售方式，以单件元（含元，元）的价格出售，且销售单价为整数．调查发现：线下月销量（件）关于销售单价（元）满足一次函数关系：，当售价为元时，线下月利润为元．现规定线上、线下售价一致，三月份线上月销量为件，线上每件饰品商家需多付元快递费． （1）求出每件饰品的成本； （2）三月份线上、线下的月利润共可达到元，求三月份每件饰品的售价． 【答案】（1）每件产品的成本为元 （2）三月份每件饰品的售价为元 【解析】 【分析】（1）首先求出当售价为元时，线下月销量为件，设每件产品的成本为元，根据线下月利润为元，列方程求解即可； （2）设三月份每件产品的售价为元，用含的代数式表示出三月份的线上利润和线下利润，根据三月份的总利润为元，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当售价为元时，线下月销量（件）， 设每件产品的成本为元， 则， 解得：， 答：每件产品的成本为元； 【小问2详解】 解：设三月份每件产品的售价为元， 则线下月销量为：（件）， 则线下月利润为：（元）， 线上月利润为（元）， 可得：， 解得：或， ， （舍去）， 答：三月份每件饰品的售价为元． 21. 如图，为的直径，为弦延长线上一点，且满足，连接，并过点作的垂线，与交于点，与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为3，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可得是的中位线，即，根据平行线性质即可解答； （2）求得，证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 为的直径， ． ， 是的中位线， ， ， 是半径， 为的切线， 【小问2详解】 解：由（1）可知，则 ，， ， ，， ， ． 22. 综合实践 （1）如图，已知，，点、分别在边、上（不与线段、端点重合），连接、，若使需要再添加一个条件，则以下条件能符合的是________； ；；； （2）如图，已知菱形，点是边上一点（不与点、重合），连接，以点为圆心，线段的长为半径作弧交延长线于点，求证：； （3）如图，已知，，，点是边中点，连接，于点，点在线段上，，当时， 求线段的长； 直接写出的面积． 【答案】（1）； （2）证明：在边上取点，使，连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）；． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐一判断即可； 在边上取点，使，由四边形是菱形，则有，证明，所以，，然后通过等边对等角即可求证； 作于，由直角三角形性质可得，然后证明，所以，，则有，由，则，设，则，由勾股定理得，则，所以在中，，即，求出的值即可； 由得，，，所以，根据全等三角形的性质得，，所以，即有，再通过即可求解． 【小问1详解】 解：添加，不能判定； 添加：在和中， ， ∴； 添加：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 故选：； 【小问2详解】 略， 小问3详解】 解：作于， ∵，是中点，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 解得， ∴； 由得，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 23. 平面直角坐标系中，抛物线C：： （1）如图当抛物线经过点，点是抛物线上一点时： ①求的值； ②过点作直线交直线于点，作直线交直线于点，求面积的最小值并直接写出此时点的坐标； ③将抛物线部分记作，将沿直线翻折得到图像，、组成的新图像记作，若新图像与直线有交点，直接写出的取值范围． （2）抛物线：，当时，始终有成立，求的取值范围． 【答案】（1）①∵ 抛物线C：经过点， ∴， 整理得：， 解得：； ②由①知， ∴ 抛物线C的解析式为：， ∵点抛物线上一点， ∴， 根据题意可得：，， 如图所示： ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， 将代入得：， ， 二次函数， 面积的最小值为， 此时，， ∴面积的最小值为，此时点的坐标为； ③ （2）∵当时，始终有成立， ∴， 整理得：， 令， 第一种情况：当时，开口向上，当时，最大值端点， ， 解得：， 所以， 第二种情况：当时，开口向下，当时，最大值在端点， ， 解得：， 所以， 所以， 综上所述，的取值范围为或． 【解析】 【分析】（1）①点代入抛物线即可求出a的值； ②先求出点、点N坐标，根据图象列出三角形的面积，将二次函数化为顶点式求解即可； ③两个函数图象有交点，联立两个函数，即可，重点一定要判断原抛物线图象与一次函数图象否有交点； （2）抛物线一般式化为顶点式，分类讨论，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 【小问1详解】 解：①略 ②略 ③， ：的抛物线，是关于的翻折， 翻折变化：上的点经过翻折后坐标为，设，则坐标为， ∴， 原抛物线与直线联立得：， 整理得： ， ∴， 原抛物线与直线图象无交点， 新图像与直线有交点， 只能是的图象与直线有交点， ∴， 整理得： ， ， 解得：， 即， 解得：． 【小问2详解】 略 【点睛】抛物线一般式，化为顶点式为，牢记抛物线图象的增减性，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，当时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $