精品解析：辽宁省辽阳市宏伟区2025-2026学年下学期九年级第二次综合模拟数学试题

九年级第二次综合模拟 数学 试卷 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，比0小的是（ ） A. B. C. D. 的倒数 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 7. 某校机器人编程团队参加全省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 8. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 10. 如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 13. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 14. 如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 15. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 18. 深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域．某中学数学小组在某个周末随机选取100名游客进行满意度调查．调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分．数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息： 信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组． 如图是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如表： 项目统计量 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利 平均分 方差 结合以上信息解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全； （2）据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万．请估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数； （3）请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． （1）求n的值，以及直线对应的函数表达式． （2）若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 20. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 21. 某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． （1）如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． （2）如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． （3）若点落在直线上，请直接写出的长． 23. 抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． （1）当，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）若点，且，求的值； （3）若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第二次综合模拟 数学 试卷 （考试时间：120分钟；试卷满分：120分） 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数中，比0小的是（ ） A. B. C. D. 的倒数 【答案】D 【解析】 【分析】计算每个选项的结果，将结果与0比较大小，即可得到正确选项． 【详解】解：逐一计算各选项结果并比较大小： A选项 ， A不符合要求 B选项 ， B不符合要求 C选项 ， C不符合要求 D选项 的倒数是， D符合要求． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法． 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从几何体的左面看，是一个带着圆心的圆，右边的圆柱底面从左边看不到，是一个用虚线表示的圆．只有C选项符合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】根据幂的运算法则和合并同类项法则对各选项逐一判断： 选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 选项B：∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变， ∴，B错误； 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 4. 如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 6. 如图，将沿折痕折叠，使点B落在边上的点E处，若，则的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称图形的性质得到，，从而，从而即可解答． 【详解】解：由折叠可得，， ∴， ∴． 故选：D． 7. 某校机器人编程团队参加全省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，95，95，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：， ∵这组数据共个，个数为奇数， ∴中位数为第个数，即． ∵数据中出现的次数最多（共出现次）， ∴众数为． 8. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可． 【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了基本作图-作已知角的平分线，一般是结合几何图形的性质．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理及逆定理． 利用作法得平分，根据“等角对等边”得出，由已知条件及勾股定理的逆定理证明是直角三角形，所以根据平行四边形的性质得到是直角，再由勾股定理即可求得的长度． 【详解】解：由作法得平分， ， ∵四边形为平行四边形， ，， ， ， ， , ， ， 是直角三角形，即, , ． 故选：C． 10. 如图，菱形中，点是的中点，，垂足为，交于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半． 先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，进而由菱形对角线求出边长，由解三角形即可求出，． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题 （共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解； 先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1． 13. 随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单事件的概率计算. 根据概率公式计算即可. 【详解】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种， ∴小赵选择“豆包”的概率为. 14. 如图所示，某同学练习排球扣球，已知排球网高为2.24米，扣球点距离地面的高度为2.8米，且垂直于地面．排球从点扣出的飞行路线近似为射线，当该射线与水平方向所成的夹角为时，球恰好擦网而过．此时，起跳点到球网底部的水平距离为___________米．（结果保留一位小数，参考数据： ） 【答案】1.9 【解析】 【分析】过点作于点，构造矩形和直角三角形，利用矩形的性质求出的长，再在中利用锐角三角函数求出的长，即可得到的长. 【详解】解： 过点作于点， 由题意可知，，， ，  四边形为矩形， ， ， ， 在中，，  ， ， . 15. 如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质． 连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解． 【详解】解：连接，如图， 正方形的边长为4，点是对角线上一点， ，，，， 线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， 点为中点， 为的中位线， ， ， ， ． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． （1）分别求七巧板和数独棋的单价． （2）若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 【答案】（1）七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． （2）数独棋最多能购买20副． 【解析】 【分析】 【小问1详解】 解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元 根据题意得， 解得：， 答：七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． 【小问2详解】 解：设数独棋购买的数量为副， 根据题意得：， 解得， 的最大值为20． 答：数独棋最多能购买20副． 18. 深圳大运天地是一个集商业街区、生态湖景、公园绿地及专业级体育场馆于一体的综合性区域．某中学数学小组在某个周末随机选取100名游客进行满意度调查．调查内容为“购物体验、空间设计、自然景观、旅游产品、交通便利”五项指标，并对各项指标进行评分，每项20分，共100分．数学小组将各项评分进行整理，得到以下部分信息： 信息1：每名游客对五个项目的评分之和记为满意度分数，满意度分数用表示，将满意度分数数据分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组． 如图是满意度分数的频数分布直方图和扇形统计图的部分信息． 信息2：100名游客对深圳大运天地五个项目评分的平均分和方差如表： 项目统计量 购物体验 空间设计 自然景观 旅游产品 交通便利 平均分 方差 结合以上信息解决下列问题： （1）将频数分布直方图补全； （2）据统计，调查当天深圳大运天地游客人数累计达到8万．请估计这8万人中满意度分数不低于80分的人数； （3）请结合信息2，写出一条合理建议供主管部门参考以提升服务质量． 【答案】（1） （2）万人 （3）交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作．（言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）利用统计图计算出第2组和第4组的人数，再补全频数分布直方图即可； （2）计算出样本中满意度分数不低于80分的人数的占比，乘以当天游客总人数即可； （3）根据各项目的平均数和方差，结合生活经验，提出建议即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，第2组占比为， ∴第2组的人数为（人）， ∴第4组的人数为（人）， 频数分布直方图略； 【小问2详解】 解： （万人）， 答：这8万人中满意度分数不低于80分的人数约为万人； 【小问3详解】 解：交通便利评分的方差最大，建议做好交通疏导工作．（言之有理即可） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． （1）求n的值，以及直线对应的函数表达式． （2）若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 【答案】（1）， （2）4 【解析】 【分析】（1）先将点代入反比例函数，求出的值，利用待定系数法即可求出直线的函数表达式； （2）设，求出，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得， 设直线的函数表达式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴点M的横坐标为． 20. 如图，与相切于点B，交于点F，延长交于点C，连接，点D为上一点， 且F为弧 的中点， 连接． （1）求证： 是的切线； （2）若，，求的半径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定， 等弧所对的圆心角相等，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）如图所示，连接，由切线的性质得到，再由得到，证明，得到，据此可证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴ ， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 21. 某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件9元，为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）设新工人小强第天生产的产品数量为件，与满足的关系式为：．设小强第天创造的利润为元．求小强第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）小强第天创造的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）由图象分两种情况分别求与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况分别求出w的函数解析式，根据函数的形式作答即可． 【小问1详解】 解：由图象得，当时，； 当时，设， 由题意可得， 解得：，． 综上可得，与之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， 可知当时，有最大值，最大值为（元）， 综上可知，第天时，利润最大，最大值为元， 小强第天创造的利润最大，最大利润是元． 22. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． （1）如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． （2）如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． （3）若点落在直线上，请直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）①见解析；② （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，进而证明，即可得出； （2）①过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可得，进而得，得，由旋转可知，因此，进而证明，即可得出结论； ②过点作于点，根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，先证明，得，由①得，，即，求出即可； （3）分两种情况进行讨论，第一种情况，过点作于点，过点作于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长； 第二种情况，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 ，理由如下： 矩形中，，是对角线，，， ， ， 由旋转的性质可得，，，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， 又，， ， 由旋转可知，， ， ，， ， ； ②如图所示，过点作于点， 根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度， 由旋转的性质可得，，， ， ， 又，， ， ， ， 由①得，， ； 【小问3详解】 分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ； 第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ， 综上所述，的长为或 ． 【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键． 23. 抛物线（，，为常数，）的顶点为，且，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴交轴于点，为坐标原点． （1）当，时，求该抛物线顶点的坐标； （2）若点，且，求的值； （3）若点在对称轴上，，当的最小值等于时，求点的坐标和的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）先根据，求出，再将抛物线解析式写成顶点式，即可得顶点的坐标； （2）先由得，则抛物线对称轴为直线，再将代入抛物线解析式得出，则，再用表示出、的坐标，再根据列方程求解； （3）由（2）知，且对称轴为直线，则点，如图，过点作，过点作，垂足为，连接，则，再根据抛物线的对称性得，则，得点，，共线，即时，有最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 又∵， ， 该抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图①，， ，且， ，且对称轴为直线， ∵， ∴， ， 即， ，， 又∵， ， 即， 又∵， ； 【小问3详解】 解：如图②，，由（2）知，且对称轴为直线， ， 又∵点在对称轴上， 点， 如图，过点作，过点作，垂足为，连接， ， 又∵， ， 点，，共线，即时，有最小值， 又的最小值等于， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 又∵， ， ， ， 又∵， ，， ，， ， ，即， 又过， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $