精品解析：北京市朝阳区陈经纶中学2025-2026学年八年级下学限期时训练数学试卷（5月份）

2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）限时训练数学试卷（5月份） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（　　） A. a＜b+c B. a＞b﹣c C. a＝b＝c D. a2＝b2﹣c2 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：当a2＝b2﹣c2，可得：a2+c2＝b2， 所以三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形，其中a，c为直角边，b为斜边． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x， 已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm， 根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分， 即可知（4x）2+（3x）2=25， 解得x=1， 故菱形的对角线分别为8cm和6cm， 所以菱形的面积=×8×6=24cm2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义和二次根式有意义的条件，逐一计算判断选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误； B、，故本选项计算正确； C、，故本选项计算错误； D、被开方数，无意义，故本选项错误． 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质求出，再根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴． 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（　　）. A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60°，由三角形内角和求出∠AEO＝90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90°， 又∵∠ABO＝60°， ∴△ABO为等边三角形， ∴∠BAO＝60°， ∴∠OAE＝30°， ∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60°， ∴∠AEO＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴四边形ABFE为矩形， ∴AB＝EF＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 6. 已知为数轴原点，如图， （1）在数轴上截取线段； （2）过点作直线垂直于； （3）在直线上截取线段； （4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点. 根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求得，进而得，再判断结论的正误． 【详解】根据题意得，， ， 故正确； ， ， ∵， ∴， 正确，错误； ， 故错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，无理数的估算，关键是由勾股定理求得． 7. 如果，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质由得出，进而判断出一次函数中与的符号，从而确定图象经过的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴一次函数的图象过一、二、四象限． 故选：C． 8. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( ) A. 7 B. 9 C. 16 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】连接AC，与BD交于点O，根据题意可得，在与中，利用勾股定理可得，在与中，继续利用勾股定理可得，求解即可得． 【详解】解：如图所示：连接AC，与BD交于点O， ∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练运用勾股定理是解题关键． 二、填空题（每题3分，共39分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是_______ 【答案】x≤3且x≠2 【解析】 【分析】由函数表达式中：有意义可得函数自变量的取值范围． 【详解】解：由有意义， 所以： 所以：且 故答案为：且 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，考查了二次根式与分式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键． 10. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积y随半径x的变化而变化．其中y与x的函数关系是正比例函数的是_____（只需填写序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】根据题意分别写出三个问题中与的函数关系式，结合正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】解：①根据题意可得y与x的函数关系式为，即，它是一次函数，不是正比例函数． ②根据题意可得y与x的函数关系式为，它是正比例函数． ③根据题意可得y与x的函数关系式为，它不是正比例函数． 综上所述，y与x的函数关系是正比例函数的是②． 11. 如图，将矩形沿折叠，使点B落在边上的点M处，点C落在点N处，已知，连接，则的度数为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形是矩形，得，根据折叠的性质得，而，即知，即，可得，故． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，得到，推导得，结合可得关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：正比例函数的图象上有一点， ， ． ， ∴， ， 解得． 13. 利用下面表格中的规律计算：已知，，，则______．（用含的代数式表示） 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件将a+b化为，利用二次根式的乘法法则的逆运算以及求一个数的算术平方根，即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴ = = =0.1k+10k =10.1k， 故答案为：． 【点睛】此题考查多项式的求值计算，二次根式的乘法法则的逆运算，求一个数的算术平方根，将a+b化为是解题的关键． 14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是________． 【答案】1＜n＜7 【解析】 【分析】直线y=2x+3向下平移n个单位长度可得：y=2x+3-n，求出直线y=2x+3-n与直线y=-x+2的交点，再由此点在第一象限可得出n的取值范围． 【详解】解：直线y=2x+3向下平移n个单位后可得：y=2x+3-n， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为（，）， ∵交点在第一象限， ∴， 解得：1＜n＜7． 故答案为：1＜n＜7． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0． 15. 若，，化简____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，结合，的条件去掉绝对值，化简后合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的有________ ． ①两人前行过程中的速度为180米/分； ②m的值是15，n的值是2700； ③爸爸返回时的速度为90米/分； ④运动18分钟或31分钟时，两人相距810米． 【答案】 ①②③ 【解析】 【详解】解：∵（米/分）， ∴①正确，符合题意； 由题意得，， ∴②正确，符合题意； （米/分），则爸爸返回时的速度为90米/分， ∴③正确，符合题意； ∵当运动18分钟时，爸爸离家的距离为（米），东东离家的距离为（米）， ∴运动18分钟时两人相距（米）； ∵返程过程中东东分钟走了3600米， ∴东东返程速度为（米/分）， ∴运动31分钟时东东离家的距离为（米），爸爸离家的距离为（米）， ∴运动31分钟两人相距（米）， ∴④错误，不符合题意； 综上，正确的结论有①②③． 17. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】先找出一次函数经过点，再根据题意将分成面积为的两个部分，求出E、F两点的坐标，用待定系数法代入一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数，当时，， ∴一次函数过定点，即过点A． 如图，直线或将分成面积为的两个部分， ∵B、C两点的坐标分别为，， ∴， ∴此时两三角形的高相等，面积之比等于底之比， 即或， ∴或， ∴，， 将代入得，，解得； 将代入得，，解得； 综上所述，或． 18. （1）计算：_________________； （2）计算：________________； （3）计算：____________________； （4）计算：__________________． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【详解】解：（1）． （2） ． （3）． （4） ． 三、解答题（本题共45分，第19-20题每题6分，第21，23每题5分，第22题4分，23题-24题每题6分，第25题7分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴方程的解为，． 【小问2详解】 解：， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 20. 阅读下面材料，并回答问题． 在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的一种证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化． 已知：如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接． 求证：，且． 证明：延长到点F，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形（依据a）． ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形（依据b）． ∴，（依据c）． 又， ∴，且． 写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容： 依据a： ； 依据b： ； 依据c： ． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对边平行且相等 【解析】 【分析】根据证明思路，结合平行四边形的判定及性质解答即可． 【详解】证明：延长到点F，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． ∴，（平行四边形的对边平行且相等）． 又， ∴，且． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，过点作，交于点M，交于点．求证：． 【答案】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，，再证四边形是平行四边形，，得，然后证，则，即可得出结论． 【详解】略 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像由函数的图像平移得到， ∴． ∵一次函数的图像经过点， ∴． ∴． ∴这个一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，得：时直线在直线的下方， 如图：当直线在之间时，满足题意： 当与平行时，， 当过点时：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 23. 如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，连接BE，直接写出BE的长 ． 【答案】（1）证明：， 是等腰三角形， 平分， ， ， ， 平分，平分， ， 又， 四边形中，， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1利用等腰三角形的顶角平分线得到，再由邻补角的平分线互相垂直得到，结合已知，三个角均为直角即证矩形． （2）矩形得，从而，等腰为等边三角形，，用勾股定理在中求，再在中求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ， 在上，在上， ， 在中，， ，是等腰三角形， 又， 是等边三角形， ， 在中，， ， ， （负值已舍去）， 由（1）知为中点， ， 在中，，由勾股定理： ， （负值已舍去）． 24. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱/辆） 租金（元/辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 【答案】（1）（，且为整数） （2）最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元 【解析】 【分析】（1）租用大货车x辆，则小货车辆，结合两种货车的租金，即可列出函数关系式； （2）根据“8辆货车可一次将购进的340箱水果全部运回”列出不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴y与x的函数关系式为（，且为整数）． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得， ∵，且为整数， ∴， ∵对于函数，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值，为， 此时， ∴最节省费用的租车方案是租用大货车6辆，小货车2辆，最低费用是3040元． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整 （1）函数的自变量的取值范围是 （2）下表是与的几组对应值 … … … … 求的值 （3）如图，在坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （4）进一步探究发现该函数的性质：当 时，随的增大而增大 【答案】（1）全体实数 （2）1 （3）图像见解析 （4）＞2 【解析】 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以得到x的取值范围； （2）将x=4代入函数解析式，即可得到y的值； （3）根据表格中的数据，可以画出相应的函数图象； （4）根据函数图象，可以写出当x为何值时，y随x的增大而增大． 【小问1详解】 函数的自变量x的取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数； 【小问2详解】 当x=4时，， 即m的值是1； 【小问3详解】 如下图所示， 【小问4详解】 由图象可得， 当x＞2时，y随x的增大而增大， 故答案为：＞2． 【点睛】本题考用描点法画函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26. 已知菱形，，直线不经过点A，D，点A关于直线的对称点为E，交直线于点P，连接． （1）如图1，当直线经过点C时，点E恰好在的延长线上，点P与点C重合，则 ，线段与之间的数量关系为 ； （2）当直线不经过点C，且在菱形外部，时，如图2， ①依题意补全图2； ②（1）中的结论是否发生改变？若不改变，请证明；若改变，说明理由． 【答案】（1）60，．理由见解析 （2）①画图如下， ； ②不改变． 理由：如图，连接延长交于点Q． ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点A关和点E关于直线对称， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形即可作答； （2）①依据要求作图即可；②连接延长交于点Q．证明是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分线段， ∴， ∵A，E关于对称， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北京市朝阳区陈经纶中学八年级（下）限时训练数学试卷（5月份） 一、选择题（每题2分，共16分） 1. 满足下列关系的三条线段a，b，c组成的三角形一定是直角三角形的是（　　） A. a＜b+c B. a＞b﹣c C. a＝b＝c D. a2＝b2﹣c2 2. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ） A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 不确定 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60°时，EF的长为（　　）. A. 1 B. C. 2 D. 4 6. 已知为数轴原点，如图， （1）在数轴上截取线段； （2）过点作直线垂直于； （3）在直线上截取线段； （4）以为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点. 根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①；②；③；④上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 7. 如果，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于( ) A. 7 B. 9 C. 16 D. 25 二、填空题（每题3分，共39分） 9. 函数y=中自变量x的取值范围是_______ 10. 下列问题，①某登山队大本营所在地气温为，海拔每升高气温下降，登山队员由大本营向上登高，他们所在位置的气温是；②铜的密度为，铜块的质量随它的体积的变化而变化；③圆的面积y随半径x的变化而变化．其中y与x的函数关系是正比例函数的是_____（只需填写序号）． 11. 如图，将矩形沿折叠，使点B落在边上的点M处，点C落在点N处，已知，连接，则的度数为________ ． 12. 若正比例函数的图象上有一点，且，则k的取值范围是____________________． 13. 利用下面表格中的规律计算：已知，，，则______．（用含的代数式表示） 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 14. 在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2x＋3向下平移n个单位长度后，与直线y＝﹣x＋2的交点在第一象限，则n的取值范围是________． 15. 若，，化简____________________． 16. 东东和爸爸一起出去运动，两人同时从家出发，沿相同路线前行，途中爸爸有事返回，东东继续前行，5分钟后也原路返回，两人恰好同时到家．东东和爸爸在整个运动过程中离家的路程（米），（米）与运动时间x（分）之间的函数关系如图所示，下列结论中正确的有________ ． ①两人前行过程中的速度为180米/分； ②m的值是15，n的值是2700； ③爸爸返回时的速度为90米/分； ④运动18分钟或31分钟时，两人相距810米． 17. 在平面直角坐标系中，已知A，B，C三点的坐标分别为，，，若一次函数的图象将分成面积为的两个部分，则k的值为____________________． 18. （1）计算：_________________； （2）计算：________________； （3）计算：____________________； （4）计算：__________________． 三、解答题（本题共45分，第19-20题每题6分，第21，23每题5分，第22题4分，23题-24题每题6分，第25题7分，）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 阅读下面材料，并回答问题． 在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的一种证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化． 已知：如图，在中，D，E分别是边，的中点，连接． 求证：，且． 证明：延长到点F，使，连接，，． ∵，， ∴四边形是平行四边形（依据a）． ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形（依据b）． ∴，（依据c）． 又， ∴，且． 写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容： 依据a： ； 依据b： ； 依据c： ． 21. 如图，在菱形中，E为边上一点，过点作，交于点M，交于点．求证：． 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 如图，在中，D是上一点，，平分交于点E，平分交于点F，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，连接BE，直接写出BE的长 ． 24. 某水果商从外地购进某种水果若干箱，需要租赁货车运回．经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其运力和租金如表： 运力（箱/辆） 租金（元/辆） 大货车 45 400 小货车 35 320 （1）若该水果商计划租用大、小货车共8辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式； （2）在（1）的条件下，若这批水果共340箱，所租用的8辆货车可一次将购进的水果全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用． 25. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究：下面是小明的探究过程，请补充完整 （1）函数的自变量的取值范围是 （2）下表是与的几组对应值 … … … … 求的值 （3）如图，在坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （4）进一步探究发现该函数的性质：当 时，随的增大而增大 26. 已知菱形，，直线不经过点A，D，点A关于直线的对称点为E，交直线于点P，连接． （1）如图1，当直线经过点C时，点E恰好在的延长线上，点P与点C重合，则 ，线段与之间的数量关系为 ； （2）当直线不经过点C，且在菱形外部，时，如图2， ①依题意补全图2； ②（1）中的结论是否发生改变？若不改变，请证明；若改变，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $