精品解析：陕西咸阳市秦都区2025～2026学年第二学期第二次阶段性作业八年级数学

2025—2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 6. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 8. 若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A. 且 B. 且 C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 写出一个使分式有意义的的值：________．（写出一个即可） 11. 已知，，则的值为_____． 12. 把分式化为最简分式的结果是________． 13. 小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 14. 如图，在边长为的等边中，点是边的对称轴上（点在边上）的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则在点运动的过程中，的最小值是________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解： 16. 解不等式组． 17. 解方程：． 18. 如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到点的距离等于的长．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 用因式分解法计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 22. 小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走的上坡路､的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．那么 （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？ 23. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 24. 已知关于的分式方程． （1）若该分式方程的根是，求的值； （2）若该分式方程无解，求的值． 25. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 （1）根据上述方法对多项式进行因式分解； （2）已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 26. 某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景：某校五一期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 信息 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 请完成下列问题． （1）求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）求珍珍每天可以制作的小飞马的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （建议完成时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不是分式； B. 是整式，不是分式； C. 是分式； D. 是整式，不是分式； 故选：C． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3. 若分式的值为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的值为，即分子为且分母不为，由此计算即可． 【详解】解：若分式的值为，则且， 解得． 4. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意， B．式子右边是整式和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意， C．式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解，符合题意， D．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． 5. 如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意对分式进行变形，再依据分式的性质进行化简，将化简后的分式与原分式进行对比即可． 【详解】解：由题意得，故分式的值扩大为原来的2倍． 6. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的常用方法（平方差公式、提公因式法、完全平方公式），解题的关键是对各选项分别进行因式分解，判断结果是否含有因式. 对每个选项运用对应的因式分解方法分解，再检查分解结果是否包含这个因式。 【详解】解：A、,结果含有因式,此选项不符合题意； B、,结果含有因式,此选项不符合题意； C、,结果含有因式,此选项不符合题意； D、,结果不含有因式,此选项符合题意； 故选：D. 7. 如图，是的角平分线，过点作交于点，交的平分线于点，若，，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“角平分线+平行线”构造出等腰三角形，从而将线段和转化为和的长． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， ． 8. 若数a使关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围（　　） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先去分母求解分式方程，再根据解为正数且分式有意义列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】∵ 原方程为，将方程变形为， 两边同乘去分母得：， 整理求解得：， ∵ 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ∴ ，且， 解第一个不等式得：， 解第二个不等式得：， ∴ 且． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 10. 写出一个使分式有意义的的值：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】 【详解】解：分式有意义的条件为分母不等于． 对于分式，令分母不等于，可得 解得． 取，符合要求． 故答案为（答案不唯一）． 11. 已知，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握因式分解的方法和整体代入思想是解题的关键．先将所求代数式进行因式分解，再将已知条件代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 把分式化为最简分式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了约分的定义及方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 给分子、分母约去即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 小丽和小颖相约周末到影院看电影，她们的家分别距离影院和．两人各自从家中同时出发，已知小丽和小颖的速度之比是，结果小丽比小颖晚到达影院，则小丽的速度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用路程、速度、时间的关系，根据已知速度比设未知数，由小丽比小颖晚到达得到时间差的等量关系，列分式方程求解即可，找到正确的等量关系是解题关键． 【详解】解：设小丽的速度为，则小颖的速度为 根据题意得： 解得 经检验是原分式方程的解，符合题意 则小丽的速度为 14. 如图，在边长为的等边中，点是边的对称轴上（点在边上）的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则在点运动的过程中，的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，通过证明，得出，从而确定点的运动轨迹为过点且与成角的射线，依据垂线段最短，当时，最短，利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 是等边的对称轴 平分， ∴ 即点在过点且与成角的射线上运动，根据垂线段最短可知，当时，的值最小， 在中， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式． 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解得， 解得， 故不等式组的解集是：． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解题思路是利用等式的性质将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得的根进行检验，排除使分母为0的增根． 【详解】解：原方程为  方程两边同时乘以最简公分母， 得    整理得   移项合并得   解得   检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 18. 如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到点的距离等于的长．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：点即为所求作： 【解析】 【分析】要满足，所求点就是线段的垂直平分线与射线的交点．连接，作出线段的垂直平分线，该垂直平分线和射线的交点就是所求的点． 【详解】略 19. 用因式分解法计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式对原式进行因式分解，分解后简化计算即可得到结果． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分，将除法转化为乘法后约分化简，再代入计算求值． 【详解】解：           当时，原式． 21. 已知为正整数，用因式分解的方法证明能被整除． 【答案】证明： ， 为正整数， 和是两个连续正整数，其中必有一个能被整除，即是的倍数， 可设（为正整数）， ， 是的倍数，为正整数， 能被整除． 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，再根据为正整数得到和是连续正整数，必有一个是偶数，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 22. 小刚家和小丽家到学校的路程都是，其中小丽走的是平路，骑车速度是．小刚需要走的上坡路､的下坡路，在上坡路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为．那么 （1）小刚从家到学校需要多长时间？ （2）小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？ 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后求出小刚从家到学校需要的时间； （2）求出小丽在路上花费的时间，比较时间的长短，然后求出少用的时间． 【详解】解：（1）小刚上坡路走的时间：， 下坡路走的时间：， 总时间为：； （2）小丽花费的时间为：， ∵， ∴小丽花费的时间短，少用了． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，注意题中相关量要用合适的分式表示出来． 23. 如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形（）． （1）观察图形，根据面积相等，可以发现代数式可因式分解为________； （2）将图中阴影部分的面积记作，非阴影部分的面积记作，若，求的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）观察图形得到，，根据得到，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图形可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵大长方形中，有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形，三块是长为，宽为的长方形， ∴大长方形的面积为， ∴代数式可因式分解为． 【小问2详解】 解：由图形可知，，， ∵， ∴， 整理得，，即， ∴， ∴． 24. 已知关于的分式方程． （1）若该分式方程的根是，求的值； （2）若该分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将已知的方程根代入原方程，即可计算出的值； （2）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程本身无解、整式方程的解为分式方程增根两种情况讨论，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵分式方程的根是， ∴将代入方程得， 化简得， 解得． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘去分母， 得， 展开整理得， 当，即时， 方程变为，等式不成立，整式方程无解，因此原分式方程无解， 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴方程的解为原分式方程的增根，满足， 解得或， 把代入，得，等式不成立，舍去， 把代入，得， 解得， 综上，分式方程无解时，的值为或． 25. 【阅读材料】 我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将拆分为 “”）． 【解决问题】 （1）根据上述方法对多项式进行因式分解； （2）已知、为等腰三角形的边，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将原式凑成完全平方式，再用平方差公式分解因式； （2）先对等式配方，根据平方的非负性求出的值，再分情况结合三角形三边关系判断，计算出符合条件的周长． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去 若等腰三角形腰长为，底边长为，三边长为 ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形此时周长为 答：该等腰三角形的周长为． 26. 某校的综合实践活动策划方案如下： 实践背景：某校五一期间采购彩纸和竹条制作飞马模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后得知：每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 信息 制作时，珍珍发现自己一天可以制作个小飞马或制作个大飞马，并且制作个小飞马的天数和制作个大飞马的天数一样． 请完成下列问题． （1）求每捆竹条的价格和元买到的彩纸包数； （2）求珍珍每天可以制作的小飞马的个数． 【答案】（1）每捆竹条元，元买到的彩纸包数为包． （2）珍珍每天可以制作个小飞马． 【解析】 【分析】（1）根据“每包彩纸比每捆竹条贵4元，480元能买到的彩纸包数是200元能买到的竹条捆数的2倍”建立等量关系， （2）根据“制作32个小飞马的天数和制作16个大飞马的天数一样”建立等量关系． 【小问1详解】 解：设每捆竹条的价格为元，则每包彩纸的价格为元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 每包彩纸价格为(元)， 元买到的彩纸包数为(包)． 答：每捆竹条元，元买到的彩纸包数为包． 【小问2详解】 解：根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：珍珍每天可以制作个小飞马． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $