精品解析：山西吕梁市离石区2025-2026学年下学期八年级阶段学情自测数学试卷

八年级数学 考试时长：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（    ） A. B. C. D. 5. 如图，在五边形中，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 6. 某小区一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定（ ） A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 相等 D. 互相垂直且相等 9. 某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 10. 每年的农历五月初五是端午节，端午节是中国首个入选世界非遗的节日，端午文化在全世界产生了广泛的影响．如图1，赛龙舟是端午节一项重要的传统民俗活动．在某次赛龙舟活动中，有甲、乙两个龙舟队，他们同时从起点出发，划行的路程y（单位：m）与划行的时间x（，单位：）之间满足的关系如图所示．当甲队与乙队的路程之差的绝对值为时，甲队划行的路程不可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共个小题，每小题分，共分） 11. 古希腊数学家、科学家阿基米德利用“逼近法”算出了球的表面积、球的体积、椭圆的面积，并推动了微积分的诞生．已知球的表面积公式为（为球的半径），在，，，中，变量有________个． 12. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 13. 若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则________．（填“”或“”） 14. 已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 15. 如图，在正方形中，连接，，是边，上的点．若是的中点，，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、求值 （1）计算：． （2）若函数是关于的正比例函数，且随的增大而增大，求常数的值． 17. 如图，在四边形中，，且，，连接．若，求证：四边形是矩形． 18. 已知小明家与商场相距，小明骑自行车匀速从家出发去商场买水果，当他骑行了一段时间后，自行车出现故障，经过维修，小明继续匀速骑车赶往商场．在商场待了一段时间购买了水果之后，骑自行车原路返回．下图反映了他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的函数关系．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：小明修车的时间为________，在去商场的途中，修车后小明的骑行速度为________． （2）请直接写出当和时关于的函数解析式． （3）当小明离家的距离为时，求他离开家的时间． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． （1）求的值． （2）连接，求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 20. 如图，已知四边形是菱形，延长至点，连接． （1）实践与操作：利用尺规过点作线段的垂线，垂足为．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联函数 【定义理解】已知关于的一次函数（且，都不为），我们把正比例函数称为一次函数的关联函数． 例如，正比例函数是一次函数的关联函数． 【问题解决】问题：下列图象所表示的函数，不可能是某个一次函数的关联函数的是________．（填序号） 问题：已知一次函数的图象与它的关联函数的图象平行，求的值． 解：由题意得一次函数的关联函数为． 一次函数的图象与它的关联函数的图象平行， 任务： （1）问题中横线处应填的内容是________． （2）补全问题的解答过程． （3）如图，一次函数的图象与轴交于点，与它的关联函数的图象交于点，是轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 22. 综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm 问题解决： （1）根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． （2）根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． （3）当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． （4）若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以特殊四边形为背景，探索几何图形运动变化中的数学结论．如图，四边形为平行四边形，是边上一点，将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． 猜想证明： （1）猜想四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图，连接，，若，，四边形的面积为，求的长． （3）如图，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 考试时长：120分钟 试题满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列函数中，自变量的取值范围为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数的非负性求解即可得． 【详解】解：A、函数，自变量的取值范围是所有实数，则此项不符合题意； B、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； C、函数，自变量的取值范围为，即，则此项不符合题意； D、函数，自变量的取值范围为，即，则此项符合题意； 故选：D． 2. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.该选项图象，是的函数； B. 该选项图象，是的函数； C. 该选项图象，不是的函数； D. 该选项图象，是的函数． 3. 下列四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将依次代入各选项计算函数值， 选项A，，，，不符合题意； 选项B，，，满足函数值为的条件，符合题意； 选项C，，，，不符合题意： 选项D，，，，不符合题意． 4. 计算：（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果． 【详解】解： ． 5. 如图，在五边形中，若，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，结合，求出的度数，再利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 6. 某小区一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知，，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作，根据图形为轴对称图形，得到为等腰三角形，根据三线合一和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：作，由题意，为等腰三角形，， ∴， ∴； 故点A到的距离为. 7. 某校八年级（1）班的同学们参加劳动实践活动，在李伯伯的指导下，要围一个如图所示的矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为，边的长为，则与之间的函数解析式及自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菜园的三边的和为，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为， ， ， ，， ， 解得， ． 8. 若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形的两条对角线，一定（ ） A. 互相平分 B. 互相垂直 C. 相等 D. 互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，要是四边形为菱形，得出，即可得到答案． 【详解】解：∵E，H，G，F分别是边，，，的中点，如图： ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 当平行四边形是菱形时， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对菱形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定等，灵活运用性质进行推理是解题的关键． 9. 某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费． 【详解】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，总花费为元， ∵购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍， ∴， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴的最小取值为， 甲种图书单价为元，乙种图书单价为元， ∴总花费， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值，元， ∴本次购买本图书最少花费为1215元． 10. 每年的农历五月初五是端午节，端午节是中国首个入选世界非遗的节日，端午文化在全世界产生了广泛的影响．如图1，赛龙舟是端午节一项重要的传统民俗活动．在某次赛龙舟活动中，有甲、乙两个龙舟队，他们同时从起点出发，划行的路程y（单位：m）与划行的时间x（，单位：）之间满足的关系如图所示．当甲队与乙队的路程之差的绝对值为时，甲队划行的路程不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出甲队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，然后分段讨论： 当时，乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，根据甲队与乙队的路程之差的绝对值为，列方程求解即可判断选项A不符合题意； 当时，用待定系数法求得乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为，根据甲队与乙队的路程之差的绝对值为，分两种情况分别列方程求解判断选项B和D均不符合题意； 令，可解得，分别求出甲、乙两队划行的路程，即可求得路程差，即可判断答案． 【详解】解：由函数图形可知，甲队的速度为， 甲队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 当时，由函数图形可知，乙队的速度为， 乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 令， 解得， 当时，甲队与乙队的路程之差的绝对值为， 此时甲队划行的路程为， 所以A选项不符合题意； 当时，设乙队划行的路程y与划行的时间x之间的函数解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ， 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 所以B选项不符合题意； 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 所以D选项不符合题意； 令， 解得， 此时甲队划行的路程为， 乙队划行的路程为， 两队的路程差为0， 所以C选项符合题意． 二、填空题（本大题共个小题，每小题分，共分） 11. 古希腊数学家、科学家阿基米德利用“逼近法”算出了球的表面积、球的体积、椭圆的面积，并推动了微积分的诞生．已知球的表面积公式为（为球的半径），在，，，中，变量有________个． 【答案】2 【解析】 【详解】解：在公式中， ∵是固定常数，是圆周率，也是固定常数， ∴和是常量， ∵随的变化而变化， ∴和是变量， ∴变量共个． 12. 明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知先表示出的长度，然后在中，利用勾股定理建立方程． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 13. 若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限判断与的符号，结合有理数乘法法则即可得到和的大小关系． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， ，， 根据有理数乘法法则，异号两数相乘结果为负， ， 故答案为． 14. 已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与成正比例，设出函数解析式，再将已知的值代入求出比例系数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】与成正比例， 设， 将,代入解析式得 ， 解得 ， 将代入所设解析式得， 故答案为 ． 15. 如图，在正方形中，连接，，是边，上的点．若是的中点，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过正方形的性质利用勾股定理先求出正方形边长，再结合E是的中点的条件，得到的长度，将绕点A顺时针旋转到，利用旋转后全等三角形的性质得到，，再证明，得到进而推得的数量关系，设的长为未知数，用含未知数的式子表示出、、的长度，再结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴； 在正方形中，，， 如图，将绕点A顺时针旋转到， ， ，， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， 设，则，． ，由勾股定理得， ， 解得， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、求值 （1）计算：． （2）若函数是关于的正比例函数，且随的增大而增大，求常数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：由题意得且， ∴， ∵随的增大而增大， ∴． 17. 如图，在四边形中，，且，，连接．若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：，且， ∴四边形是平行四边形， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再利用勾股定理逆定理证明，得出即可得到结论． 【详解】略． 18. 已知小明家与商场相距，小明骑自行车匀速从家出发去商场买水果，当他骑行了一段时间后，自行车出现故障，经过维修，小明继续匀速骑车赶往商场．在商场待了一段时间购买了水果之后，骑自行车原路返回．下图反映了他离家的距离（单位：）与离开家的时间（单位：）之间的函数关系．请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：小明修车的时间为________，在去商场的途中，修车后小明的骑行速度为________． （2）请直接写出当和时关于的函数解析式． （3）当小明离家的距离为时，求他离开家的时间． 【答案】（1）3，300 （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据图象求小明修车的时间；利用速度路程时间求出去商场的途中，修车后小明的骑行速度； （2）利用待定系数法求解； （3）将分别代入和求解． 【小问1详解】 解：由图象得，小明修车的时间为， 在去商场的途中，修车后小明的骑行速度为； 【小问2详解】 解：当时，设关于的函数解析式为 将代入得， 解得 ∴关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为 将，代入得， 解得 ∴关于的函数解析式为； 【小问3详解】 解：将代入得， 解得； 将代入得， 解得； ∴当小明离家的距离为时，求他离开家的时间为或． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过点与点． （1）求的值． （2）连接，求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入解析式，求出k的值，把点B的坐标求出m的值即可； （2）根据三角形面积公式，求结果即可； （3）求出直线的解析式，然后根据函数图象求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得， ∴， 将代入，得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点A的坐标代入得，， 解得， ∴， 则，即为直线在x轴上方，且在直线下方， ∴不等式的解集为：． 20. 如图，已知四边形是菱形，延长至点，连接． （1）实践与操作：利用尺规过点作线段的垂线，垂足为．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想与证明：在（1）的条件下，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）如图，即为所求； （2），证明如下： 由（1）得，，即， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，为半径画弧交于点G，分别以点G和点C为圆心，以为半径画弧交于点H，作直线交于点F即可； （2）首先得到，然后结合菱形的性质得到，，推出，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关联函数 【定义理解】已知关于的一次函数（且，都不为），我们把正比例函数称为一次函数的关联函数． 例如，正比例函数是一次函数的关联函数． 【问题解决】问题：下列图象所表示的函数，不可能是某个一次函数的关联函数的是________．（填序号） 问题：已知一次函数的图象与它的关联函数的图象平行，求的值． 解：由题意得一次函数的关联函数为． 一次函数的图象与它的关联函数的图象平行， 任务： （1）问题中横线处应填的内容是________． （2）补全问题的解答过程． （3）如图，一次函数的图象与轴交于点，与它的关联函数的图象交于点，是轴上一动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1）③ （2）∴ ∴或 经检验，或都是原方程的解； （3） 【解析】 【分析】（1）根据关联函数是正比例函数判断即可； （2）根据题意得到，然后求解即可； （3）首先求出，然后联立两个一次函数得到，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接，当点A，P，B三点共线时，即点P和点重合时，的周长取得最小值，然后求出直线所在直线的表达式为，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵①②的图象都经过原点， ∴是正比例函数， ∴是某个一次函数的关联函数； ∵③的图象不经过原点， ∴不是正比例函数， ∴不是某个一次函数的关联函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵一次函数 ∴当时， ∴ 一次函数的关联函数为 联立和得， 解得 ∴ ∴的长是定值 如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，连接 由对称得，， ∴的周长 ∴当点，P，B三点共线时，即点P和点重合时，的周长取得最小值 设直线所在直线的表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线所在直线的表达式为 当时， 解得 ∴ ∴当的周长最小时，点的坐标为． 22. 综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm 问题解决： （1）根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． （2）根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． （3）当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． （4）若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 【答案】（1）解：如图所示， （2）能，这个一次函数的解析式为 （3） （4）不能 【解析】 【分析】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出点，然后用直线连接即可； （2）利用待定系数法，将两个点代入求解； （3）先换算单位，再将代入求解； （4）将代入求出的值，再将的值换算单位后与进行比较大小即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：能， 由图像可知，该函数图像是一条直线， ∴设该函数解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴该函数的解析式为． 【小问3详解】 解：∵， 将代入中，解得， ∴杯子浸入水中的深度为． 【小问4详解】 解：将代入中，解得， ∵， ∴此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以特殊四边形为背景，探索几何图形运动变化中的数学结论．如图，四边形为平行四边形，是边上一点，将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． 猜想证明： （1）猜想四边形的形状，并说明理由． 拓展延伸： （2）如图，连接，，若，，四边形的面积为，求的长． （3）如图，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）四边形是菱形． 理由：∵四边形是平行四边形， ， ． 由折叠的性质得，， ， ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形，即四边形是菱形． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质得出，推出，由此证得结论； （2）设与交于点F，利用四边形的面积为54，求出，设，则，，在中，由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，在中，由勾股定理得出，即可求出． （3）连接，交于点G，过点C作于点H．由平行四边形的性质得，，根据菱形的性质及三角形内角和得出，由此，，由勾股定理得，求出，得到的长，由，得出，由此求出，再求出，，得到，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，设与交于点F． ，，四边形的面积为54， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ． 设，则，． ， ∴在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴． ，， ，即． ， ∴四边形是平行四边形， ，， ∴在中，由勾股定理得， ． 【小问3详解】 如图，连接，交于点G，过点C作于点H． ，， ，． 由（1）可知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， ． ，， ． ， ， ， ， ． ，， ， ， ． ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $