精品解析：安徽省安庆市大观区第四中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

安庆四中2024-2025学年第二学期 七年级数学期末考试试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 用夹逼法估算无理数即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意； B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意； C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确； D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键． 4. 不等式的解集如图所示，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 5. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设七张桌子中每张桌面的宽为a（单位：尺），则一套组合桌的面积（单位：平方尺）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，单项式乘单项式的应用，观察可知，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍，则拼合成的桌面的长是，则拼合成的桌面的宽是，再根据长方形的面积公式列出对应的代数式即可． 【详解】解：由题意可得，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍， 每张桌面的宽为a尺，则拼合成的桌面的长是尺，则拼合成的桌面的宽是尺， ∴则一套组合桌的面积可以表示为（尺）， 故选：B． 6. 在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A. B. 点B，C在直线l同侧 C. 点B，C在直线l两侧 D. 点A，B，C在同一条直线上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直的性质，根据同一平面内过一点，有且只有一条直线与已知直线平行，进行判断即可． 【详解】解：∵，则过点A与直线l相垂直的直线有， 又∵“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”， ∴与重合，故选项A错误； ∴三点共线，可能在直线的同侧，也可能在直线的两侧；故选项B，C错误，选项D正确，符合题意； 故选：D． 7. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据分式方程的形式求解即可． 【详解】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画， ∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个． 故选：A． 8. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来一半 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 9. 如图，沿着射线向右平移，得到，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质得出，结合得出，即可求解． 【详解】解：∵沿着射线向右平移，得到， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是的“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，正确运用新定义的运算法则是解题的关键．根据新定义运算法则，逐个选项分析判断． 【详解】解：A. ，根据题意，称是的“3分式”，故本选项说法正确，不符合题意； B.当的值为时，，根据题意，称是的“2分式”，故本选项说法正确，不符合题意； C. 若是的“1分式”，则，，，故本选项说法错误，符合题意； D.若与互为倒数，则，根据题意，称是的“5分式”，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 11. 不等式组 的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 12. 一副三角板和按如图方式摆放，其中，点恰好落在上，且，则的度数为___________． 【答案】75°##75度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据直角三角形的性质求出，，根据平行线的性质得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ，， ， ， 故答案为： 13. 若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，利用完全平方公式变形求值，根据完全平方公式的变形，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 14. 用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】由题意可得①的宽为，②的长为，可得的长，再分别表示长方形的面积，长方形的面积，最后，运用“整体换元”思想进一步代入计算可得答案． 【详解】解：∵用面积分别为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，，， ∴①的宽为，②的长为， ∴， ∴长方形的面积为， 长方形的面积为， ∵， ∴， ∴． 三、计算题 15. 解方程： 【答案】x=5 【解析】 【分析】根据立方根的意义直接解题 【详解】解： 16. 先化简，再从，0，1中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入合适的值计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵，，， ∴且， ∴当时，原式． 四、解答题 17. 解关于x的方程：，其中m为常数． 【答案】当时，方程无解；当时，方程的解为 【解析】 【分析】去分母将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后需要检验所得的根是否为增根． 【详解】解：去分母得， 移项并合并同类项得， 当，即时，方程无解； 当，即时，方程的解为； 综上所述，当时，方程无解；当时，方程的解为． 18. 如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【小问1详解】 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题 19. 已知，n为正整数． （1）求的值． （2）利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】（1）25 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 20. 如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． （1）画线段、； （2）过点A画线段的平行线； （3）过点O画线段的垂线，垂足为E； （4）在线段、、中，最短的线段为_______． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）连接、即可； （2）点O可以看作由点B先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点D，过点A，D作直线，则由平移的性质得到； （3）根据网格特点可直接解答； （4）根据垂线段最短进行解答． 【小问1详解】 解：连接、即可； 【小问2详解】 解：点O可以看作由点B先向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度得到，将点A也作同样的平移，得到点D，过点A，D作直线即可； 【小问3详解】 解：根据网格是由边长均为1的小正方形组成，在上找到与O在同一水平线上的点E，画垂线即可； 【小问4详解】 解：根据直线外一点到直线上点的所有连线中，垂线段最短，可知最短的线段为． 21. 一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． （1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积． （2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ （3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）12a2＋420a＋3600；（2）600a＋21000；（3）35或7或5或1 【解析】 【分析】（1）根据图形表示出原长方形铁皮的长和宽，进而表示出原长方形铁皮的面积即可； （2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果； （3）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可． 【详解】解：（1）原铁皮的面积是（4a＋60）（3a＋60）＝12a2＋420a＋3600， （2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2＋2×30×4a＋2×30×3a＝12a2＋420a， 则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2＋420a）÷＝（12a2＋420a）×＝600a＋21000（元）， 答：涂完这个铁盒需要(600a＋21000)元； （3）铁盒的全面积是4a×3a＋4a×30×2＋3a×30×2＝12a2＋420a， 底面积是4a×3a＝12a2， 假设存在正整数，使12a2＋420a＝n·12a2 整理得（n－1）a＝35， 则a＝35，n＝2或a＝7，n＝6或a＝5，n＝8或a＝1，n＝36 所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a＝35或7或5或1． 【点睛】此题考查整式的混合运算，正确掌握无盖铁盒的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键． 22. 某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． （1）分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． （2）已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 【答案】（1）甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元 （2）18双 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元，根据“用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍”列出方程并求解即可； （2）设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋，根据“种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元”列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设乙品牌运动鞋的进价为每双元，则甲品牌运动鞋的进价为每双()元． 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，符合题意， ∴ 答：甲品牌运动鞋的进价为每双80元，乙品牌运动鞋的进价为每双65元． 【小问2详解】 设购进双甲品牌运动鞋，则购进双乙品牌运动鞋． 根据题意得， 解得． 因为为正整数，所以的最小值为18． 答：最少购进18双甲品牌运动鞋． 23. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． （1）【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． （2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． （3）【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【答案】（1）图①中，即；图②中，；证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得，再利用平行线的性质即可得到结论； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【小问1详解】 解：如图①，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图③，延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆四中2024-2025学年第二学期 七年级数学期末考试试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 代数式，，，中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集如图所示，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 5. “燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计，全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．如图给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设七张桌子中每张桌面的宽为a（单位：尺），则一套组合桌的面积（单位：平方尺）为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面内，若，且点A在直线l上，则下列结论成立的是（　　） A. B. 点B，C在直线l同侧 C. 点B，C在直线l两侧 D. 点A，B，C在同一条直线上 7. 某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D. 双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 8. 将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来一半 C. 保持不变 D. 无法确定 9. 如图，沿着射线向右平移，得到，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是的“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 二、填空题 11. 不等式组 的解集为________． 12. 一副三角板和按如图方式摆放，其中，点恰好落在上，且，则的度数为___________． 13. 若，则______． 14. 用面积都为2、3的长方形纸片①、②围成长方形，如图所示，其中四边形也是长方形．设，，且． （1）______； （2）若，则______． 三、计算题 15. 解方程： 16. 先化简，再从，0，1中选取一个适当的数代入求值． 四、解答题 17. 解关于x的方程：，其中m为常数． 18. 如图，点在直线上，平分，平分，是上一点，连结OF． （1）求证：； （2）若，求证：． 五、解答题 19. 已知，n为正整数． （1）求的值． （2）利用因式分解说明：能被24整除． 20. 如图为网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点O、点A、点B均在格点上，请利用网格，用无刻度的直尺根据下列要求完成画图． （1）画线段、； （2）过点A画线段的平行线； （3）过点O画线段的垂线，垂足为E； （4）在线段、、中，最短的线段为_______． 21. 一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是，宽，这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积． （1）请用的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积． （2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为，则油漆这个铁盒需要多少钱（用的代数式表示）？ （3）若铁盒的全面积是底面积的倍，求此时的值（用含的代数式表示）．是否存在一个整数，使得铁盒的全面积是底面积的整数倍？若存在，请求出这个，若不存在，请说明理由． 22. 某鞋店购进甲、乙两种品牌的运动鞋进行销售，已知每双甲品牌运动鞋的进价比每双乙品牌运动鞋的进价多15元，且用1300元购进乙品牌运动鞋的数量是用800元购进甲品牌运动鞋数量的2倍． （1）分别求每双甲、乙两种品牌运动鞋的进价． （2）已知每双甲品牌运动鞋的售价为130元，每双乙品牌运动鞋的售价为95元，且购进乙品牌运动鞋的数量比购进甲品牌运动鞋的数量的2倍还多4双．若要使两种品牌的运动鞋全部售出后的总利润不少于2000元，则最少购进多少双甲品牌运动鞋？ 23. 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． （1）【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． （2）【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． （3）【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $