精品解析：安徽省安庆市大观区安庆市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

安庆市外国语学校2023-2024学年第二学期 七年级期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A 0 B. C. 3.141 D. 2. 欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的厚度约为0.000000326米，数据“0.000000326”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 6. 将一把直尺和一块含有直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（　　） A. B. C. D. 7. 下列因式分解正确是（ ） A. B. C. D. 8. 某书店分别用400元和500元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多10套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分式有意义时，x取值范围是_________． 12. 已知直线，交于点O，，垂足为O，且平分，则的度数为_________． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 14. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为． （1）与大小关系为：_________；（用“>”、“<”、“=”填空） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则m的值为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． （1）请画出平移后的三角形； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是_________． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，已知，，点D，F是垂足，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 20. 书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图1的数学课本，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去xcm封皮展开后如图(2)所示，求： (1)则小海宝所用包书纸的面积是多少？(用含x的代数式表示) (2)当封面和封底各折进去2cm时，请帮小海宝计算一下他需要的包装纸至少需要多少平方厘米？ 六、（本题满分12分） 21. 某商品经销店欲购进两种纪念品，用160元购进的种纪念品与用240元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵10元． （1）求两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价24元，种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元，问种纪念品最多购进多少件？ 七、（本题满分12分） 22. 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则_________，_________． （2）若十字分式方程的两个解分别为，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． （1）如图1，当点在右侧时，求证：； （2）如图2，当点在左侧时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，则的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安庆市外国语学校2023-2024学年第二学期 七年级期末考试数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.141 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，熟记无理数的定义是解此题的关键，注意：无理数是无限不循环小数；根据无理数的定义逐个判断即可； 【详解】解：、0是有理数，故本选项不符合题意； 、是无理数，故本选项符合题意； 、3.141是有理数，故本选项不符合题意； 、是有理数，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 欢乐六一，多彩童年，每年6月1日这天，孩子们都会用各种形式欢度自己的节日，还记得我们小时候一起玩的吹泡泡吗？已知泡泡的厚度约为0.000000326米，数据“0.000000326”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟知表示方法是解题的关键．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方．掌握各运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方法则，积的乘方法则逐项计算，即可判断． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算正确，符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选B． 4. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【详解】解：A、， ，正确，不符合题意； B、， ∴，正确，不符合题意； C、， ，正确，不符合题意； D、， ，错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 5. 的算术平方根是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是， 故选：B． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握：若一个正数x的平方等于a，则这个正数x为a的算术平方根． 6. 将一把直尺和一块含有的直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理以及对等角相等即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵直尺的两边平行， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角定理，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 7. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B选项提公因式x分解因式即可；C选项不能进行分解因式；D选项是和的形式，不属于因式分解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、不能进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 8. 某书店分别用400元和500元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多10套，且两次进价相同．若设该书店第一次购进x套，根据题意，列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“第一次购买的单价＝第二次购买的单价”可列方程； 【详解】解：∵第二次数量比第一次多10套，且该书店第一次购进x套， ∴第二次购进（x+10）套， 依题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 9. 某中学开展以“杭州亚运会”为主题学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福．小冬以长方形的四条边为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形的相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形的面积是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．设，，由相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，根据完全平方公式得出 ，求解即可． 【详解】解：解：设，， 由相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，可得，，，即①，②， 由①得，③， ③②得 ， 所以， 即长方形的面积为， 故选：B． 10. 如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；延长，交于I，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答； 【详解】解：延长，交于I． ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∴①错误；②正确， ∵平分， ， ， ， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③，④不一定正确． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 分式有意义时，x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键；根据分式有意义的条件即可得出答案； 详解】分式有意义， ， ， 故答案为：； 12. 已知直线，交于点O，，垂足为O，且平分，则的度数为_________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查垂线的定义，角平分线的定义，对顶角相等．熟练掌握各基础知识点是解题关键．根据垂线的定义可得出，根据可得出，最后根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出 的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 由分式方程的解为正数，得到且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，解此题的关键是注意分母不为 这个条件． 14. 已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图（m为正整数），甲、乙的面积分别为． （1）与的大小关系为：_________；（用“>”、“<”、“=”填空） （2）若满足条件的整数n有且只有3个，则m的值为_________． 【答案】 ①. > ②. 1011 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式法则、绝对值的性质和不等式的性质，能够作差比较大小是解题的关键； （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可， （2）先计算出，根据整数n有且只有3个，列出不等式，根据m为正整数即可求值． 【详解】（1）解： ， 为正整数， ， ， 故答案为：>； （2）解：由（1）知， 满足条件整数n有且只有3个， 的整数n有且只有3个， 这三个整数解为， ， 解得：， ∵为正整数， ， 故答案为：1011； 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是实数的混合运算，先计算乘方，算术平方根与立方根，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 16. 解不等式组：，并把不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】，数轴见解析． 【解析】 【分析】分别解每个一元一次不等式，根据大小小大中间找确定不等式组的解集，再在数轴上画出解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 解集表示在数轴上如下： ． 【点睛】此题考查了求一元一次不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先将括号里化为同分母分式相加，再计算分式的除法化简，最后代入数值计算即可． 【详解】原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点都在网格线的交点处，现将三角形平移得到三角形，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点E． （1）请画出平移后的三角形； （2）若连接，，则这两条线段之间的关系是_________． 【答案】（1）画图见解析 （2），； 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键； （1）分别确定的对应点，再顺次连接即可； （2）由平移的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所画的三角形； ． 【小问2详解】 解：由平移的性质可得：，； 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，已知，，点D，F是垂足，． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． （1）由可得，从而有，可判定； （2）由已知条件可求得，由角平分线的定义可求得，结合（1）即可求的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ∵， ， ． 20. 书是人类进步的阶梯！为爱护书一般都将书本用封皮包好，现有一本如图1的数学课本，其长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm，小海宝用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去xcm封皮展开后如图(2)所示，求： (1)则小海宝所用包书纸的面积是多少？(用含x的代数式表示) (2)当封面和封底各折进去2cm时，请帮小海宝计算一下他需要的包装纸至少需要多少平方厘米？ 【答案】(1)（4x2+128x+988）cm2；(2)需要的包装纸至少是1260平方厘米． 【解析】 【分析】(1)将封面和封底各折进去xcm．列出代数式计算即可； (2)把x＝2cm代入(1)的代数式，求解即可． 【详解】(1)小海宝所用包书纸的面积是： (18.5×2+1+2x)(26+2x) ＝(38+2x)(26+2x) ＝4x2+128x+988(cm2)； (2)当x＝2cm时， S＝4×22+128×2+988＝1260(cm2)． 答：需要的包装纸至少是1260平方厘米． 【点睛】本题考查了列代数式及求代数式的值，能够得到折叠进去的宽度和矩形纸的长、宽的关系，是解决问题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某商品经销店欲购进两种纪念品，用160元购进的种纪念品与用240元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比种纪念品的进价贵10元． （1）求两种纪念品每件的进价分别为多少元？ （2）若该商店种纪念品每件售价24元，种纪念品每件售价35元，这两种纪念品共购进1000件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元，问种纪念品最多购进多少件？ 【答案】（1）纪念品每件进价20元；纪念品每件进价30元；（2）最多购进纪念品100件． 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意列出分式方程，然后解方程并检验即可得出答案； （2）设种纪念品最多购进a件，根据“两种纪念品全部售出后总获利不低于4900元”列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设A种纪念品的进价为x元，则B种纪念品的进价为元，根据题意有 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴A种纪念品的进价为20元，则B种纪念品的进价为元； （2）设A种纪念品最多购进a件，根据题意有 解得 ， ∴A种纪念品最多购进100件． 【点睛】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的应用，读懂题意列出方程和不等式是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为 ． 再如为十字分式方程，可化为 ． 应用上面的绪论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则_________，_________． （2）若十字分式方程的两个解分别为，求的值． （3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键； （1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解； （2）结合运用“十字方程”得到，再把通分加减变形，再整体代入求值即可； （3）将原方程变形为，再因式分解变形为，结合运用“十字方程”得到再代入求值即可； 【小问1详解】 解：可化为， ， 故答案为：； 【小问2详解】 由已知得， ； 【小问3详解】 原方程变为， ， ， ； 八、（本题满分14分） 23. 如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分． （1）如图1，当点在右侧时，求证：； （2）如图2，当点在左侧时，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分交于点，连接，若，，则的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用； （1）通过证明，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）过点作，交于点，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论； （3）设，则，，；利用已知条件用含的式子表示，，，，再利用，得到关于的方程，解方程求得的值，则，结论可求． 【小问1详解】 证明：平分， ， 又， ， ∴， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 证明：过点作，交于点，如图， 由（1）同理可证：， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：设， 则，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$