期末模拟卷2025-2026学年湖南邵阳市八年级数学下学期湘教版

**基本信息** 这份八年级下学期期末模拟卷聚焦几何直观、函数应用与数据分析，通过“浮力秤”项目探究、国家安全知识竞赛统计等真实情境，考查空间观念、模型意识与数据意识，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|正多边形内角、函数定义、坐标几何|结合正五边形与平行线求角度，考查几何直观| |填空题|6/18|中心对称、正八边形内角、一次函数解析式|以古建筑窗花为背景，考查文化传承与几何计算| |解答题|8/72|图形变换（旋转/翻折）、一次函数综合、数据统计分析|21题“浮力秤”项目通过实验数据建立函数模型，体现应用意识；24题几何综合融合旋转与翻折，考查推理能力|

2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，直线，分别经过正五边形的顶点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先结合正五边形的性质，求出，再结合平行线的性质得，最后根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则． 2．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.该选项图象，是的函数； B. 该选项图象，是的函数； C. 该选项图象，不是的函数； D. 该选项图象，是的函数． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，连接．若轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵轴， ∴点与点的横坐标相等， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得． 4．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，要使同一组内成绩尽量接近，组内离差平方和越小，说明组内成绩越接近，因此只需比较四种分组的组内离差平方和，找到最小值对应的分组序号即可． 【详解】解：∵ ， ∴序号2对应的组内离差平方和最小，为最优分组． 5．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】解：∵，分别是边，的中点．， ∴. 6．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为， 建立平面直角坐标系如下： ∴棋子“炮”的坐标为． 7．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察函数图象，写出直线在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由题意得：不等式表示函数的图象在函数图象上方的部分， 由图可知：该不等式的解集为：． 8．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据离差平方和的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 9．我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（     ） A．的溶解度随温度的升高而增大 B．时的溶解度大于的溶解度 C．的溶解度随温度升高而显著增大 D．和的溶解度相同时，温度为 【答案】B 【分析】根据和的溶解度曲线逐项进行分析即可． 【详解】解：A. 的溶解度随温度的升高而先增大后减小，故该选项错误，不符合题意； B. 时的溶解度大于的溶解度，故该选项正确，符合题意； C. 的溶解度随温度升高而缓慢增加，故该选项错误，不符合题意； D. 和的溶解度相同时，温度低于，故该选项错误，不符合题意； 10．如图，在中，，D、E、F分别是边上不与A、B、C重合的动点，且于E，于F，连接E、F，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】连接，根据勾股定理求出，证明四边形是矩形，得，当时，取得最小值，即取得最小值，由面积法求出即可． 【详解】解：连接． 在中，，，， ． 于E，于F， ， ∴四边形是矩形， ， 当时，取得最小值，即取得最小值． ， ， 即的最小值为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若点与点关于原点对称，则___． 【答案】 【分析】本题考查原点对称的性质，解题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标的特点是：横纵坐标都互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，； ∴． 12．如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 【答案】 【详解】解：正八边形的一个外角为 ∴每一个内角为 13．已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据与成正比例，设出函数解析式，再将已知的值代入求出比例系数，整理即可得到关于的函数解析式． 【详解】与成正比例， 设， 将,代入解析式得 ， 解得 ， 将代入所设解析式得， 故答案为 ． 14．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 【答案】50.4 【分析】本题考查了用样本估计总体，先计算出这七天一共用电的度数，再算出平均每天用电的度数，从而计算出这个家庭4月份用电度数，最后估计出小红家4月份（按30天计）的电费． 【详解】解：这七天每天用电的度数，4月份用电度数（度）， ∴小红家4月份（按30天计）的电费（元）． 故答案为：50.4． 15．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 点为的中点 由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得： 线段的长度的最小值为． 16．定义：对于给定的一次函数（为常数），把形如（为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为．已知一次函数为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则的取值范围是_________． 【答案】或且 【分析】根据得到，代入关联函数解析式，得出一次函数的关联函数为过定点和，且点在平行四边形内部，分和两种情况讨论，结合图象确定恰好有两个交点的临界值即可求解． 【详解】解：， ， 一次函数的关联函数为， ∵， ∴当时，恒等于0，恒等于2，即该函数恒过定点； ∵， ∴当时，恒等于0，恒等于2，即该函数恒过定点； ∵平行四边形的顶点坐标分别为， ∴点在平行四边形内部，且交轴于点， 当代入，得； ∴与轴的交点为， 若， 当经过点时，如图①，则，解得：， ，此时关联函数图象与平行四边形的边有三个交点， 当，即时，如图②，关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点， 当经过点时，如图③，则，解得：，此时关联函数图象与平行四边形的边有三个交点， 当，即时，如图④，关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点， 当或时，关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点； 若， 当点在点上方时，如图⑤，则，解得：，此时联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点； 当经过点时，如图⑥，则，解得：，此时联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点； 当，即时，如图⑦，此时关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点； 当时，关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点； 综上可知，的取值范围是或且． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据旋转的性质，得，，，画图解答即可． 【详解】（1）解：根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换， 由，． 故，，画图如下： 则即为所求； （2）解：因为，，． 根据旋转的性质，得，，， 画图如下： 则即为所求． 18．（6分）如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据菱形的性质证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)点； (3)不等式的解集为：． 【分析】（1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）令中，即可求出x的值得到点C的坐标； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）令中， 得 解得 点； （3）根据图象可得不等式的解集为：． 20．（8分）2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：） 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85， 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请你估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 【答案】(1)，， (2)八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由见解析 (3)估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名 【分析】（1）根据众数、中位数的定义计算即可得出结果； （2）根据中位数分析即可得出结果； （3）用乘以七年级成绩为优秀的学生人数所占的比例，用乘以八年级成绩为优秀的学生所占的比例，再求和即可． 【详解】（1）解：∵七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99，其中85出现的次数最多，有次， ∴； 八年级20名学生的成绩在A组的人数为（人）， 八年级20名学生的成绩在B组的人数为（人）， 八年级20名学生的成绩在C组的人数为人， 故八年级20名学生的成绩在第10位和第11位分别为83，85，即； ，即； （2）解：八年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好，理由如下： 八年级的中位数高于七年级的中位数，说明八年级有一半以上的学生成绩在分以上，整体水平略高； （3）解：（名）， 故估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有名． 21．（10分）综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm      问题解决： (1)根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． (2)根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． (3)当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． (4)若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 【答案】(1)解：如图所示， (2)能，这个一次函数的解析式为 (3) (4)不能 【分析】（1）根据表中数据在平面直角坐标系中描出点，然后用直线连接即可； （2）利用待定系数法，将两个点代入求解； （3）先换算单位，再将代入求解； （4）将代入求出的值，再将的值换算单位后与进行比较大小即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：能， 由图像可知，该函数图像是一条直线， ∴设该函数解析式为， 将点分别代入中， 得，解得， ∴该函数的解析式为． （3）解：∵， 将代入中，解得， ∴杯子浸入水中的深度为． （4）解：将代入中，解得， ∵， ∴此“浮力秤”不可以称质量为的物体． 22．（10分）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线（b为常数）分别与x轴、y轴交于A，B两点，且． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D为上方一点，且，过点O作所在直线的垂线，垂足分别为C，E． ①求证：四边形为正方形． ②若的面积为3，求的面积． 【答案】(1)证明：， ∴点A的坐标为． 将点代入中，得， 解得， ∴直线的解析式为． 令，则，即， ． (2)①证明：∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 又， ， ， ∴矩形为正方形； ②． 【分析】（1）求出直线的解析式，进而求出点坐标，即可得出结论； （2）①先证明四边形是矩形，再证明，得到，即可得证；②设，，勾股定理求出，三角形的面积公式求出，利用完全平方公式求出和的值，再利用面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②设，． ∵四边形为正方形， ． 由①知， ，． 在中，有，即． 又， ， ∴，即（负值已舍去）， ，即（负值已舍去）， ． 24．（12分）完成下列题目 (1)如图1，等边中，点是边上的一点（不与端点重合）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则__________； (2)如图2，中，，点是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，当时，求面积的最大值； (3)如图3，菱形中，，，连接对角线，点是对角线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到平面内，得，连接，请问是否存，同时满足最小，最大；若存在，求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的面积为 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质容易证明，则，因此； （2）设，，仿照（1）的解法容易证明，则，，从而得到，因此，结合平方的非负性求出最大值即可； （3）连接交于点，作直线交于点，容易证明和都是等边三角形，仿照（1）的解法可得，则，从而得到，因此点在过点，且垂直的定直线上，结合垂线段最短可知，点在边上时，最小．利用勾股定理可计算出，，由折叠的性质可得，，根据线段公理，，因此当点在线段上时，取得最大值．利用等积变形求出的面积，再根据同高的三角形面积的比例关系，求出的面积． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，， 由旋转的性质可得，，， ∵中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，，此时取得最大值； （3）解：假设存在，如图，连接交于点，作直线交于点 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴点在过点，且垂直的定直线上， ∵， ∴， ∴当点与点重合时，最小， 当点在边上时，如图，连接， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴当点在线段上时，取得最大值， 当点在线段上时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴假设成立，的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，直线，分别经过正五边形的顶点，，若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为和，连接．若轴，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．某班有5名同学参加一分钟跳绳比赛，体育老师要将他们分成两组进行训练，使得同一组内同学的跳绳成绩尽量接近，便于统一安排训练强度．将5名同学的跳绳次数从小到大排序后分成两组，共有4种分组情况，各组对应的组内离差平方和如下表所示： 序号 分组情况 组内离差平方和 1 第一组1人，第二组4人 2 第一组2人，第二组3人 3 第一组3人，第二组2人 4 第一组4人，第二组1人 则5名同学跳绳成绩的最优分组序号是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 6．如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“马”的坐标为，则棋子“炮”的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 9．我国某盐湖地区有“夏天晒盐，冬天捞碱”的说法，这里的“盐”是指，“碱”是指．如图是和的溶解度曲线，根据图象，下列说法正确的是（     ） A．的溶解度随温度的升高而增大 B．时的溶解度大于的溶解度 C．的溶解度随温度升高而显著增大 D．和的溶解度相同时，温度为 10．如图，在中，，D、E、F分别是边上不与A、B、C重合的动点，且于E，于F，连接E、F，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若点与点关于原点对称，则___． 12．如图是某古建筑中的窗花图案，其边框是一个正八边形，则其边框的每一个内角为_______度． 13．已知与成正比例，当时，，则关于的函数解析式为________． 14．小红帮助母亲预算家庭4月份电费开支情况，下表是小红家4月初连续8天每天早上电表显示的读数： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 电表显示度数 21 24 28 33 39 42 46 49 若每度电收费0.42元，估计小红家4月份（按30天计）的电费是_________元．（注：电表计数器上先后显示读数之差就是这段时间内消耗电能的度数） 15．如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 16．定义：对于给定的一次函数（为常数），把形如（为常数）的函数称为一次函数的关联函数．已知平行四边形的顶点坐标分别为．已知一次函数为常数），其中k、b满足，它的关联函数图象与平行四边形的边恰好有两个交点，则的取值范围是_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 18．（6分）如图，菱形中，于点M，于点N．求证：． 19．（8分）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 20．（8分）2026年2月17日（大年初一），《惊蛰无声》在各大影院同时上映．这不只是一部电影，更是一堂生动的国家安全教育课、一次对无名英雄的致敬．为了解七、八年级学生对“国家安全知识”的了解程度，并从七、八年级中各随机抽取20名学生的成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为4组：A：，B：，C：；D：） 七年级20名学生的成绩是：63，64，66，71，72，72，75，78，81，82，84，85，85，85，89，96，97，98，98，99． 八年级20名学生的成绩在C组中的数据是：82，83，85，85，85， 七八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 a 众数 b 85 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生国家安全知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若竞赛成绩不低于90分为优秀，已知该校七年级有学生480名，八年级有学生520名，请你估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少名？ 21．（10分）综合与实践 项目情境：“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．数学兴趣小组的同学们在佩服曹冲聪明机智的同时，模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”． 项目探究：如图，将一个带刻度的长方体量杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度，设放进杯中物体的质量为，杯子浸入水中的深度为，得到如下一组数据： 杯中物体的质量/kg 杯子浸入水中的深度/cm      问题解决： (1)根据表中数据，在图所给的平面直角坐标系网格中描出相应的点，并画出函数图象． (2)根据表中数据及（1）中所画函数图象，试判断当放入杯中物体的质量在～时，能否用一次函数刻画两个变量和之间的关系．如果能，求出这个一次函数的解析式． (3)当放入杯中物体的质量为时，求杯子浸入水中的深度． (4)若该量杯的高度为，请通过计算说明此“浮力秤”是否可以称质量为的物体． 22．（10分）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线（b为常数）分别与x轴、y轴交于A，B两点，且． (1)如图1，求证：． (2)如图2，若D为上方一点，且，过点O作所在直线的垂线，垂足分别为C，E． ①求证：四边形为正方形． ②若的面积为3，求的面积． 24．（12分）完成下列题目 (1)如图1，等边中，点是边上的一点（不与端点重合）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，则__________； (2)如图2，中，，点是边上一点（不与端点重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接、，当时，求面积的最大值； (3)如图3，菱形中，，，连接对角线，点是对角线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到平面内，得，连接，请问是否存，同时满足最小，最大；若存在，求此时的面积；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $