第2章 微专题 指、对、幂的大小比较-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦指数、对数及幂的大小比较高考热点，按特殊值法、中间值法等六大方法系统梳理考点，通过方法技巧归纳、典例精讲、真题演练的教学流程，帮助学生构建解题框架，突破比较大小的核心难点。 资料以“小题小做”为策略，融合数学思维与数学眼光，如特殊值法取a=4,b=2,c=1/2快速验证选项，构造函数法通过f(x)=4^x -5^(-x)培养推理能力。设置基础例题、变式拓展、综合练习分层训练，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微专题　指、对、幂的大小比较 　　指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型，主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时，既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空题的形式出现. 特殊值法比较大小 已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是（　　） A.ac＜bc B.abc＜bac C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc 解析：C　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝＝，bc＝，∴ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误. 　　特殊值法是“小题小做”的重要策略，这种方法既能提高做题速度和效率，又能提高准确性. 中间值法比较大小 （1）若a＝（，b＝（，c＝log3，则a，b，c的大小顺序是（　D　） A.b＜a＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.c＜b＜a 解析：（1）a＝（＝（＞b＝（＞1＝log3＞c＝log3，所以c＜b＜a，故选D. （2）（2025·广西高三开学考试）已知a＝sin，b＝20.1，c＝log2，则（　A　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.a＞c＞b D.a＞b＞c 解析：（2）a＝sin＝，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2＜log2＜log22，所以＜c＜1，所以b＞c＞a，故选A. 　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 单调性法比较大小 （1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关系为（　A　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.c＜b＜a 解析： 根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根据函数y＝x0.5在[0，＋∞）上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c，故选A. （2）设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　D　） A.a＜c＜b B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜b＜c 解析： a＝log0.42＝，b＝log0.32＝，由y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以＜＜0，所以a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c. 单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小. 构造函数法比较大小 〔多选〕若4m－4n＜5－m－5－n，则下列关系正确的是（　　） A.m＜n B.n－3＞m－3 C.＜ D.3－n＜3－m 解析：ACD　由4m－4n＜5－m－5－n得4m－5－m＜4n－5－n，令f（x）＝4x－5－x，则f（m）＜f（n）.因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f（x）在R上是增函数，所以m＜n，故A正确.当m＝1，n＝2时，＝n－3＜m－3＝1，故B错误.因为函数y＝在R上单调递增，所以由m＜n得＜，故C正确.因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以由m＜n得3－n＜3－m，故D正确.故选A、C、D. 构造函数法比较大小的常见构造方法 （1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较大小； （2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较大小. 放缩法比较大小 若a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.c＜b＜a D.a＜c＜b 解析：B　由题意知0＜b＜1，0＜c＜1，由＝＝＜＝＜1，得b＜c，又∵c＜1＜a＝0.8－0.4，∴b＜c＜a. 放缩法比较大小常见的放缩技巧 （1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩； （2）利用基本不等式进行放缩. 图象法比较大小 〔多选〕〔人A必修一P118练习2（1）改编〕若M＝2t，N＝3t，则M，N的大小关系可能为（　　） A.M＝N B.M＜N C.M＞N D.无法确定 解析：ABC　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t的大致图象如图所示，由图象可知，当t＝0时，M＝N＝1，当t＜0时函数y＝2t的图象在y＝3t图象的上方，故M＞N，同理易得当t＞0时，M＜N.故选A、B、C. 变式1 〔苏教必修一P145例3改编〕若M＝2t，N＝3t－1，当N＞M时t的取值范围为　（，＋∞）　. 解析：函数y＝3t的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝3t－1的图象，在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－1的大致图象，显然两函数图象的交点与例6相比同样向右平移，由N＞M，得t的取值在交点右侧.令2t＝3t－1，得tln 2＝（t－1）ln 3，得t＝.即t的取值范围为（，＋∞）. 变式2 〔多选〕若M＝2t，N＝3t－3，P＝5t－5，则M，N，P的大小关系可能为（　　） A.M＞N＞P B.M＞P＞N C.N＞M＞P D.N＞P＞M 解析：ACD　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－3，y＝5t－5的大致图象如图所示，由图易知M，N，P的关系不可能为M＞P＞N.故选A、C、D. 变式3 〔链接高考〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　） A.x＞y＞z B.x＞z＞y C.y＞x＞z D.y＞z＞x 解析：B　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B. 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的大致图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y，故选B. 1.已知a＝2x，b＝ln x，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：B　取x＝，则a＝＞1，b＝ln＜0，0＜c＝（）3＜1，所以a＞c＞b.故选B. 2.记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（　　） A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.c＞b＞a D.b＞a＞c 解析：D　因为b＝0.3－0.2＝（）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋∞）上单调递增，又＞3，所以（）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D. 3.〔一题多解〕已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log45，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＞b＞c B.c＞a＞b C.a＞c＞b D.c＞b＞a 解析：A　a＝3log83＝log827＝lo33＝log23，b＝－lo16＝log316＝log34. 法一（比差法）　log23－log34＝，∵ln 2ln 4＜＝（ln ）2＜（ln 3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝，∵ln 3ln 5＜＝（ln ）2＜（ln 4）2，∴log34－log45＞0.综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c. 法二（比商法）　＝＝＝＞1，＝＝＝＞1，综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c. 4.已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝5，则（　　） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.b＞c＞a 解析：D　函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝6，可得0＜a＜1；函数g（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且g（3）＝3＋log23＜5，g（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函数h（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且h（1）＝2，h（2）＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a. 5.若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为（　　 ） A.c＜b＜a B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.a＜b＜c 解析：D　∵＝＝log43×log45＜（）2＝（）2＜1，a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b，∵410＜59，∴4＜，∴b＝log54＜＝0.9，∵c＝2－0.03＞＝＞＝＞＝＞0.9，∴b＜c，∴a＜b＜c，故选D. 6.〔多选〕若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中可能成立的是（　　） A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.a＜c＜b 解析：BCD　由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a＜1.作出函数的图象（如图所示）. 由图象可知B、C、D可能成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $