第2章 微专题 嵌套函数的零点问题-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦高考热点“嵌套函数的零点问题”，围绕零点个数判定、含参数零点问题两大核心考点，按“换元解套—图象分析—性质应用”逻辑架构知识，通过考点梳理（步骤总结）、方法指导（转化换元技巧）、真题训练（模拟题解析）环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以“换元解套”为核心策略，结合分段函数图象直观分析，培养学生数学思维（推理能力）与数学眼光（几何直观）。如例题中设t=f(x)转化为t=f(x)与y=f(t)的零点问题，通过图象交点判断根的个数，设置分层练习（基础到综合），确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

微专题　嵌套函数的零点问题 　　嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解. 嵌套函数零点个数的判定 （2026·陕西西安模拟）已知f（x）＝则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　） A.3 B.5 C.7 D.8 解析：B　函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B. 判断嵌套函数零点个数的主要步骤 （1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点； （2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. 提醒：抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质. 根据嵌套函数零点情况求参数 函数f（x）＝若函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点，试求实数a的取值范围. 解：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，则a＝f（t）. 在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）. 易知当a＜－1时只有一个零点； 当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1）， 则t1＜－1，t2≥－1. 当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解； 当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解. 综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点. 故实数a的取值范围为[－1，＋∞）. 　　求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数.处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合. 1.已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（f（x））－2的零点个数为（　　） A.3 B.4 C.2 D.1 解析：A　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝0，当μ＞1时，则f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1，所以－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A. 2.设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　） A. B.[0，1] C. D.[1，＋∞） 解析：C　由题意知，当x＜1时，f（x）＝3x－1单调递增，当x≥1时，f（x）＝2x也单调递增，且21＝3×1－1，因此f（x）在（－∞，＋∞）内是增函数.令f（a）＝t，则有f（t）＝2t.因为函数f（x）为增函数，所以有t＝f（a）≥1.当a＜1时，由f（a）＝3a－1≥1，解得≤a＜1；当a≥1时，有f（a）＝2a≥2＞1恒成立.综上所述，a≥. 3.（2026·浙江稽阳模拟）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝[f（x）]2＋2f（x）＋m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为　（－∞，－24]　. 解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x），则由图可知要使g（x）有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以解得m≤－24. 4.（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知函数f（x）＝若方程f（f（x））－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围为　（－1，－］　. 解析：因为f（f（x））－2＝0，所以f（f（x））＝2，所以f（x）＝－1或f（x）＝－（k≠0）.①当k＝0时，作出函数f（x）的图象如图1所示，由图象可知f（x）＝－1无解，所以k＝0不符合题意；②当k＞0时，作出函数f（x）的图象如图2所示，由图象可知f（x）＝－1无解且f（x）＝－无解，即f（f（x））－2＝0无解，不符合题意；③当k＜0时，作出函数f（x）的图象如图3所示，由图象可知f（x）＝－1有1个实根，因为f（f（x））－2＝0有3个实根，所以f（x）＝－有2个实根，所以1＜－≤3，解得－1＜k≤－.综上，k的取值范围是（－1，－］. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $