第2章 微专题 抽象函数求解模型化-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦抽象函数求解模型化专题，覆盖一次、二次、幂、指数、对数等基本初等函数模型，按“模型特征-性质对应-解法对比”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（常规与模型解法）、真题训练（含2022新高考Ⅱ卷等真题）环节，帮助学生突破抽象函数难点，体现复习系统性与针对性。 资料以模型化思维为核心，创新采用一题多解教学，如余弦函数模型中用f(x)=2cos(πx/3)快速推周期求值，培养数学抽象与逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升分层练习，配合真题即时反馈，确保高效突破，助力学生掌握模型转化技巧，为教师把控复习节奏提供精准指导。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 微专题抽象函数求解模型化 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符 号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学 阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得到的，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入 手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变 陌生为熟知，会起到事半功倍的效果， 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f(x)=x+b(k≠0) f(x土y)=f(x)±f(y)干b 二次函数f(x)=ax2+bx十c(a≠ f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c 0) 幂函数f(x)=x” )ff)或r)哥 基本初等函数模型 抽象函数性质 fx】 指数函数f(x)=ar(a>0且a≠1) f (x+y)=f(x)f (y)f (x-y)=ij 对数函数f(x)=logx(a>0且a≠ f(y)=f(x)+f(y)或f(等)=f(x)一f(y)或f(xm) 1) =mf(x） f(x)+fy)=f()·f(字)或f(x+y)+f(x- 余弦函数f(x)=4cos ox(Ao≠0) y)=f(x)·f(y) 正切函数f(x)=tanx f (s )+f (y) f(x+y)-if(xr(y) 一次函数模型 例1〔一题多解)(2026·重庆学业质量调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(:十x2)=f (1)+f(x2),且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)+f(2x)≥0的解集为 () A.[-2,0] B.[0,2] C.(-∞，-2]U[0,+∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 1/6 独家授权侵权必究· 。学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款教辅专家 解析：A法一（常规解法）由题意得兀(1一2)十2]=f(1-x2)十f(x2)，即f(x1)- ()=f(:一2)，不妨令>x2,则一>0，所以f(一2)<0，即f(x1)一f(2)<0,f ()<f(x2),故f(x)在R上是减函数.在f(:十x2)=f(:1)+f(x2)中，令=2=0，则f (0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.令=x,x2=-x,则f(x-x)=f(x)+f(一x),所以f (x)+f(-x)=0,故f(x)是奇函数.由f(x2)+f(2x)≥0，得f(x2)≥-f(2x)，即f (x2)≥f(-2x),所以x2≤-2x,解得-2≤x≤0，即x∈[-2,0].故选A. 法二（模型解法）因为f(:十x2)=f()+f()，所以可令f(x)=c,又当x>0时，f (x)<0,所以k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可转化为x2+2x≥0，即x2+2x≤0，解得-2≤x ≤0，即x∈[-2,0].故选A. 日二次函数模型 圆2（一题多解）定义在R上的函数∫(x)满足f(x十y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f (-3)=() A.2 B.3 C.6 D.9 解析：C法一（常规解法）f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(一1)+6，f(0)=f(0)+f (0)+0,所以f(0)=0,又f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2=f(-1),所以f(一 3)=6. 法二（模型解法）由f(x+y)=f(x)+f(y)+2y,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2, 得b=1,所以f(x)=x2+x,f(-3)=6. 目幂函数模型 圆3〔一题多解)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(y)=f(x)f(y),且f(27)=9,当 0≤x<1时，f(x)∈[0,1).若a≥0且f(a十1)≤9，则a的取值范围为[0,2】 解析：法一（常规解法）设0≤<2，∴.0≤是<1，f(:)=∫（是·2）=∫（受）·∫(2)，0 ≤x<1时，f(x)∈[0,1)，∴0≤f()<1,f()<f(2)，故f(x)在[0，+∞)上单 调递增.f(27)=f(3×9)=f(3)×f(9)=f(3)×f(3)×f(3)=[f(3)]3=9,f(3) =9,f(a+1)≤9，f(a+1)≤f(3)，又a≥0，a+1≤3，即a≤2，故a的取值范围 为[0,2]. 2/6 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 法二（模型解法）由f(y)=∫(x)f(y),可设函数f(x)=x”,由f(27)=9,得n=号，即f (x)=x,满足当0≤x<1时，f(x)e[0,1).由f(a十1)≤5，得(a+1)月≤5，即(a +1)≤3，即a十1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0,2]. 四指数函数模型 圆4〔一题多解)已知函数f(x)对于一切实数x,y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)fy), 且当x<0时，f(x)>1.则当x>0时，f(x)的取值范围为(0,1) 解析：法一（常规解法），对于一切x,y∈R,f(x十y)=f(x)f(y)且f(0)≠0，令x=y= 0,则f(0)=1,设x>0,则-x<0,f(-x)>1,又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, f(-x)=a>1,0<f(x)<1. 法二（模型解法）由f(x十y)=f(x)f(y),可设函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，由当x<0 时，f(x)>1,结合指数函数的图象特征知0<a<1,故当x>0时，f(x)的取值范围为(0， 1). 五对数函数模型 例5〔一题多解)已知函数f(x)是定义域为(0，十∞)的增函数，满足f(4)=1,f(xy)=f (x)+f(y),若f(x)+f(x一3)≤1，则x的取值范围为(3,4] 解析：法一（常规解法）f(x)十f(x一3)=f(x(x一3))≤1=f(4),又f(x)是定义域为 (x☒-3)≤4， (0,十∞)的增函数，∴.】 x-3>0, →3<x≤4，.x的取值范围为(3,4]. x>0 法二（模型解法）由f(xy)=∫(x)+(y),可设函数f(x)=logx(a>0,且a≠1).由f (4)=1,得a=4,则f(x)=log4x,由f(x)+f(x一3)≤1，得1og4+log4(x-3)≤1，即 xx-3)≤4， 1og4x(x-3)]≤1，故x-3>0, 解得3<x≤4，故x的取值范围为(3,4]. x>0, 因余弦函数模型 例6〔一题多解)(2022·新高考Ⅱ卷8题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x- 22 y)=f(x)f(y),f(1)=1, 则 (k)=() A.-3 B.-2 C.0 D.1 3/6 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：A法一（常规解法）因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x一y)=f(x)(y)中，令y =1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1),所以f(x十1)+f(x-1)=f(x)①，所以f (x十2)+f(x)=f(x+1)②.由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f (x)=0,所以f(x十3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x十3)=f(x),所以函数f(x)的一 个周期为6.在f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f (0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)·f(1),所以f(2)=一1.由f (x十3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f (6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+.+f(6)=1一1-2-1+1+2=0，根据函数的周期 性知， 公D+2十w2,故A 法二（模型解法）由f(x十y)+f(x一y)=∫(x)f(y),可设函数f(x)=2 cos x,由f(1)= 1,得2coso=1,取o=号+2m,n∈Z,令n=0,得o=号，则f(x)=2cos罗满足题意，可得f 22 )的周期T=等=6，且f1)+f(2)+.+f(6)=0.由于2=3×6+4，所以，2(k)= (1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. ◇强化训练山 1.已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,+∞)，且f(x)=(y+1)f(y十1)，则 () A.f(x)≥0 B.f(1)=1 C.f(x)是偶函数D.f(x)没有极值点 解析：D令g(x)=f(x),则g(y+1)=(y+1)·f(y+1)，所以g(x)=gy+1)，且 x,y十1为定义域内任意值，故g(x)为常数函数.令g(x)=k,则f(x)=奈，为奇函数且没有 极值点，C错，D对；所以f(x)≥0不恒成立，f(1)=1不一定成立，A、B错，故选D. 2.（一题多解)己知对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足：f(x)十f(y)=f(x十y)一xy 1,若f(1)=1,则满足f(n)=n(n∈N*)的n的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 解析：A法一（常规解法）令y=1,则f(x十1)=f(x)十x十2，即f(x十1)一f(x)=x十2， 所以f(x)-f(x-1)=x十1，f(x-1)一f(x-2)=x,,f(2)-f(1)=3,累加得f(x) 4/6 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 ∫1)=，则fx)=-1,所以f(n》=-1,又f(m)=m,解得n=-2 2 2 或n=1,又n∈N*,所以n=1.故选A. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1,可设函数f(x)=x2+bx-1,由f(1) =1,得b=号，故∫(x)=x2+x-1,由f(n)=n,即n2+号n-1=m,解得n=-2或n=1, 又n∈N*,所以n=1.故选A. 3.(2026·河南焦作质检)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意1，x2∈R都有f(x1十x2)= 100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是() A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.存在常数k,对任意x∈R,都有f(x十1)=f(x) D.对任意m∈R,存在xo∈R,使得f(xo)=m 解析：C令f(x)=10-2,因为f(x1十x2)=10+xr2,100f(x)f(x)=100X10+x4=1 0+x红2，所以f(x)=10-2满足f(x十2)=100f(x)f(x2).对于A,因为f(x)=10-2不是 偶函数，故A错误；对于B,因为f(x)=10一2不是周期函数，故B错误；对于C,令x1=x,2 =1,则f(x+1)=100f(x)f(1),令k=100f(1),所以存在常数k,对任意x∈R,都有f(x +1)=f(x),故C正确；对于D,因为f(x)=10-2>0,故m<0时，不存在xo∈R,使得f (xo)=m,故D错误. 4.(一题多解)〔多选)(2026·江西南昌模拟)已知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x十 y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0，f(2)=-1,则() A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 100 C.f(x)的周期为4D.Σnf(n)=5100,n∈N =1 解析：ACD法一（赋值法）由f(x十y)+f(x一y)=2f(x)f(y),令x=y=0,则2f(0) =2[f(0)]2,又f(0)≠0，所以f(0)=1,故A正确；令x=0,则f(y)+f(一y)=2f(0)f (y)=2f(y),所以f(一y)=f(y),所以f(x)是偶函数，故B错误；令x=y=1,则f(2) +f(0)=2[f(1)]2=0,所以f(1)=0,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)= 0,所以f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=一f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f (x),所以f(x)的周期为4，故C正确；由f(x+2)=一f(x),得f(3)=一f(1)=0,f 5/6 ·独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 100 (4)=-f(2)=1,所以2nf(n)=-22+42-62+82-.-982+1002=(2+4)(-2+4)+ =1 (6+8)(-6+8)+..+(98+100)(-98+100)=2×(2+4+6+..+98+100)= 22+100x50=5100,故D正确.故选A、C、D. 法二（模型解法）由f(x十y)十f(x一y)=2f(x)f(y),可设f(x)=cos@x,由法一得，f (0)=1.又因为f(2)=-1,知f(x)=cos晋x满足题意，所以f(x)=cos受x是以4为周期的 100 100 偶函数，故A、C正确，B错误；对于D, nf(n)=Σn2cos受=-22+42-62+82--982+ =1 n=1 1002=(2+4)(-2+4)+(6+8)(-6+8)+..+(98+100)(-98+100)=2×(2+4+ 6+.十98+100)=22410050=5100，故D正确，故选A.C、D. 2 5.已知函数f(x)满足：①对Vm,n>0,f(m)+f(n)=f(mn);②f(告)=-1.请写出一个 符合上述条件的函数f(x)=1og2x(答案不唯一). 解析：因为对Vm,n>0,f(m)十f(n)=f(mn),所以f(x)在(0，十∞)上可能为对数函 数，故f(x)=logx(a>0,且a≠1)满足条件①，又f(告)=-1，所以f(x)=log2x,故符合 上述条件的函数可以为f(x)=logx. 6.(一题多解)已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2+f(x+y),且当 x>0时，f(x)>2,f(3)=5,则不等式f(a2-2a-2)<3的解集为{a1-1<a<3}. 解析：法一（常规解法）设1<x2,则x2一x1>0,当x>0时，f(x)>2,f(x2一)>2，则 f(x2)=f几(x2一x1)+]=f(x2一x)+f()一2>2+f(x)一2=f(x1),即f(x2)>f (x),∴f(x)为增函数.f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f (1)-2=3f(1)-4,又f(3)=5,f(1)=3.f(a2-2a-2)≤f(1),∴.a2-2a- 2<1,即a2-2a-3<0,解得不等式的解集为{a|-1<a<3}. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=2+f(x十y),即f(x十y)=f(x)+f(y)一2，可设函数f (x)=x+2(k≠0)，由f(3)=5,得3k+2=5,k=1,即f(x)=x十2，满足当x>0时， (x)>2,则不等式f(a2-2a-2)<3可化为a2-2a-2+2<3,即a2-2a-3<0,解得- 1<a<3,故不等式的解集为{a|-1<a<3}. 6/6 ·独家授权侵权必究