3.2.2 奇偶性 讲义 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.2 奇偶性 知识归纳与题型总结 考点01 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 考向01 函数奇偶性的定义与判断 【例1】（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称 C． D．当时， 考向02 由奇偶性求函数解析式 【例2】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 考向03 函数奇偶性的应用 【例3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 考向04 抽象函数的奇偶性 【例4】已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 考向05 由奇偶性求参数 【例5】设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 考向06 由函数奇偶性解不等式 【例6】若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【对点1】已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则下列说法正确的有_____________ ①．    ②． ③．是奇函数    ④．不可能是一次函数 【对点2】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【对点3】已知函数为奇函数，且，则的值为（    ） A．18 B． C．0 D．16 【对点4】（多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【对点5】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【对点6】若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 考点02 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 一、单选题 1．若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（   ） A． B． C． D． 2．若函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 5．已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 7．已知函数，函数在上是奇函数，函数在上是偶函数，则“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 8．（多选）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 9．（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．设函数，则为奇函数 C．当且仅当时， D．若，是函数上任意两点，则 10．（多选）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A．关于成中心对称 B． C．为偶函数 D． 三、填空题 11．已知函数，若函数为偶函数，则________． 12．设函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题： ①函数是以2为周期的周期函数； ②当时，； ③函数的图象关于对称； ④函数的图象关于对称． 其中正确的命题是________ 13．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 14．已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 15．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）． 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 四、解答题 16．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； (3)解关于t的不等式． 17．函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 18．已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 19．已知函数的定义域为，且当时，，对任意，定义集合． (1)当时，，求； (2)若是奇函数，，且， （i）求的解析式； （ii）证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，．求证：． 20．设，函数． (1)若，求证：函数为奇函数； (2)函数满足，在（1）的条件下，若对任意且，不等式恒成立，求的取值范围． (3)若，函数在区间上的取值范围是，求的范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $高一数学必修第一册秋季同步培优专项讲义 3.2.2 奇偶性 知识归纳与题型总结 考点01 函数的奇偶性 1．函数的奇偶性 (1)定义： 定义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔∀x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 2．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 3．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 考向01 函数奇偶性的定义与判断 【例1】（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于原点对称 C． D．当时， 【答案】BD 【详解】选项A：当时，，在上单调递减，在上单调递增.故在上不是单调递增函数，故A错误. 选项B：因为是奇函数，奇函数的图象关于原点对称.B正确. 选项C：由奇函数性质，得.又，故，故C错误. 选项D：当时，，则.由奇函数性质.故D正确. 考向02 由奇偶性求函数解析式 【例2】已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【详解】因为，所以， 则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，. 考向03 函数奇偶性的应用 【例3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质计算即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，当时，， 所以，即，解得. 所以当时，， 那么当时，，则. 根据奇函数的性质可得，所以当时，， 即当时，，所以. 考向04 抽象函数的奇偶性 【例4】已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，再利用函数的奇偶性推导出的周期，进而利用函数的周期性即可求解． 【详解】由， 则， 即， 所以函数为偶函数， 则， 又， 则， 则， 则， 则， 所以函数是周期为12的偶函数． 在中， 取，则， 又由，则， 所以． 考向05 由奇偶性求参数 【例5】设是实数，函数． (1)若函数是奇函数，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明. 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递增. 任取且， 由 ， 即， ，即，故函数在区间上单调递增. 【分析】（1）利用函数的奇偶性列式计算即得； （2）利用函数的单调性定义计算判断即可. 【详解】（1）函数是奇函数，定义域为． 由，可得，解得； （2）略 考向06 由函数奇偶性解不等式 【例6】若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况去掉不等式中的因式，再利用偶函数的单调性求解. 【详解】若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得，又，所以此时的取值范围为. 若，则可化为，又为偶函数，， 所以不等式可化为，又在单调递增， 所以，解得或，又，所以此时的取值范围为. 综上，满足的的取值范围为. 【对点1】已知函数满足对任意，恒成立，且在上单调，，则下列说法正确的有_____________ ①．    ②． ③．是奇函数    ④．不可能是一次函数 【答案】①②④ 【分析】①令，即可计算；②令，可计算，利用在上单调即可判断；③令，可计算即可判断；④由三组值中的两值解得一次函数解析式，再利用第三组值进行验证. 【详解】①：在中，令， ，解得，因此本选项说法正确； ②：在中，令， ，解得， 因为，， 所以，又因为在上单调， 所以在上单调递增，所以，因此本选项说法正确； ③：在中，令， ， 解得，所以函数不是上的奇函数，因此本选项说法不正确； ④：由上可知：， 假设是一次函数，设， 因为，所以有， 当时，，这与矛盾，假设不成立，所以不可能是一次函数，因此本选项说法正确. 【对点2】已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)用定义判断在区间上的单调性． 【答案】(1) (2) 取任意，且， 则. 因为，所以， 因为，所以，即， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增． 【分析】（1）由奇函数求出的值，由求出的值，即可写出函数的解析式； （2）由定义法确定函数在区间上的单调性即可． 【详解】（1）由题意可知，所以， 又因为，所以，则，则， 又，为奇函数，满足题意， 所以； （2）略． 【对点3】已知函数为奇函数，且，则的值为（    ） A．18 B． C．0 D．16 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质列出等式，进而求出结果. 【详解】因为为奇函数，设为，则. 即，化简得. 由于，所以. 【对点4】（多选）已知函数的定义域为，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【分析】利用赋值法计算可得AB正确，根据函数奇偶性定义可得满足，即可知C正确，结合选项中的函数值可判断D错误. 【详解】对于A，令，可得，可得，即A正确； 对于B，令，可得，可得，即B正确； 对于C，令，可得，即， 又函数的定义域为R，因此是奇函数，所以C正确； 对于D，因为，而，因此不是单调函数，即D错误. 【对点5】已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 又因为时，，所以， 所以时，，所以， 从而. 【对点6】若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数对称性得在也递减，且，判断的正负区间；将按、、分类，转化为的符号条件，与范围取交集，合并得解集. 【详解】由题意，定义在R上的奇函数在上单调递减，且， 则在上单调递减，且，， 所以当时，， 当时，， 所以由可得： 或，或或，或， 解得或或，即或， 所以满足的的取值范围是. 考点02 函数的图象 1．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 2．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 一、单选题 1．若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由偶函数的性质得，且在上单调递增， 时，；时，； 不等式等价于两因式同号： ，即，解得； ，即，解得； 解得． 2．若函数的图象关于对称，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域是，且的图象关于直线对称， 对任意的成立， 即， 化简整理得， 解得.即存在，使的图象关于直线对称. 则的值为. 3．已知是定义在上的奇函数，它的图象是一条连续不断的曲线.若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得为定义在上的偶函数，在上递减，在上递增，由可得即可求解． 【详解】设 因为是定义在上的奇函数，所以. 所以，则是定义在上的偶函数. 若，即， 所以在区间上是减函数. 又是偶函数，所以在区间上是增函数. 不等式，即等价于， 即，所以，解得. 故不等式的解集为. 4．函数的图象大致是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性、函数正负快速排除选项，再结合单调性与极限验证，本题为奇函数，图象关于原点对称，排除D；由时可排除 C，由时可排除 A，从而可得结果. 【详解】∵函数，∴定义域， ∴， ∴是奇函数，图像关于原点对称，排除D； 当，，图象在轴上方，排除C； 当时，，故排除 A. 5．已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数单调性定义与奇偶性定义，即可比较函数值大小. 【详解】当 时 ，，则， 所以函数在单调递增， 又因为是偶函数，所以， 即， 所以 即． 6．设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，分析其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解。 【详解】令， 由题设对任意，有，故在上为增函数. 因为是定义域为的奇函数，即， 故，即为偶函数， 因此在上为减函数， 由得，故， 由偶函数性质得. 原不等式等价于： ①当即时，得，即. 因为，在递增，故，解得； ②当即时，得，即， 由偶函数得在递减，故，解得，即. 综上所述，解集为. 7．已知函数，函数在上是奇函数，函数在上是偶函数，则“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意判断函数图像的特征，再分别判断充分性和必要性是否成立，即可得答案. 【详解】若，则 ，由分段函数定义：， 是奇函数，故； 是偶函数，故 则“，”，等价于：，即， 若，则，由分段函数定义：， 是奇函数，故； 是偶函数，故 则“，”，等价于：，即， 由此可知时，和的图象分布在x轴两侧，时，和的图象分布在x轴同侧， 而时，，即此时函数的图象与函数的图象重合，有公共点，即充分性成立； 取，，显然时，二者图象有交点， 此时“，”显然不成立，即必要性不成立， 故“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的充分不必要条件. 二、多选题 8．（多选）已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得， 令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确； B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 9．（多选）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．设函数，则为奇函数 C．当且仅当时， D．若，是函数上任意两点，则 【答案】BC 【分析】对于A：利用赋值法令即可求出；对于B：令可得，结合奇函数定义即可判断；对于C：令可得，利用累加法可得，，令，可解出答案；对于D：根据选项C得结论，举反例说明即可. 【详解】对于A：令代入得，解得，选项A错误； 对于B：令可得，即， 且， 则 所以，故是奇函数，选项B正确； 对于C：令可得：， 将代入，得， 则，，，，， 累加得：，则，， 令可得：， 整理得：，解得：或， 因为，所以，选项C正确； 对于D：因为，， 令，，则， 则，，即，选项D错误. 10．（多选）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ） A．关于成中心对称 B． C．为偶函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据所给的条件，可得关于成中心对称以及，进而判断出的周期性，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，由于为奇函数，故，即关于成中心对称，故A正确； 对于B，在中，令可得，在中令可得，故B错误， 对于C，由可得，由于，因此，故， 进而，即4为的一个周期，由可得，则为偶函数，故C正确； 对于D，由于，故，则，故4也是的一个周期， 由于关于成中心对称，故，， 则，因此，故D正确. 三、填空题 11．已知函数，若函数为偶函数，则________． 【答案】 【分析】令，通过已知条件得出为奇函数，再根据即可求出. 【详解】令， 因为函数为偶函数，且为三次函数， 为奇函数，即， ， 即， 即， ，解得，. 12．设函数是定义在R上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题： ①函数是以2为周期的周期函数； ②当时，； ③函数的图象关于对称； ④函数的图象关于对称． 其中正确的命题是________ 【答案】 ③④ 【分析】结合函数的奇偶性、给定的递推关系，分别验证周期、区间解析式、轴对称及中心对称性质，逐一判断命题正误. 【详解】已知函数是定义在上的奇函数，故对任意，有，且；又对任意，。 判断命题①： 将中的替换为，得；再将替换为，得， 联立两式得，故是以为周期的周期函数，命题①错误； 判断命题②： 当时，，由已知时，故， 结合，得，与命题②给出的解析式不符，故命题②错误； 判断命题③： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由奇函数性质：； 由递推关系：， 代入上式得，故命题③正确； 判断命题④： 函数图象关于对称的充要条件为对任意，， 由递推关系：； 由奇函数性质和递推关系：； 故，命题④正确。 综上，正确的命题为③④. 13．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 【答案】8 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则， 故是奇函数， 所以在对称区间上， 当时，，. 14．已知函数的定义域为，，，且对任意的，都有，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先构造辅助函数，接着判断奇偶性和单调性，将不等式转化，最后平方求解即可。 【详解】设，则由得， 即，所以是偶函数. 又对任意，有， 因为，所以，即， 因此在上单调递减， 可得， 两边同时平方化简得，解得， 故解集为. 15．已知全集，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”．给出如下集合： （1）；    （2）； （3）；    （4）． 其中是“对称对点集”的序号为__________（写出所有正确的序号） 【答案】（1）（2） 【分析】利用“对称对点集”的概念判断（1）（2）是“对称对点集”；通过特例判断（3）不是“对称对点集”；根据概念，结合方程解存在情况判断（4）不是“对称对点集”. 【详解】对（1），设，. 令，则， 所以，且. 所以集合是“对称对点集”． 对（2），函数可化为，为偶函数. 设，令，因为，即， 且， 所以集合是“对称对点集”． 对（3），，假设，为点在中的对称对点， 则，该方程无解. 即在中不存在对称对点， 所以集合不是“对称对点集”． 对（4），，， 设，是中的对称对点，则. 因为同号时，；异号时，. 所以方程无解. 所以集合不是“对称对点集”． 四、解答题 16．已知是定义在上的奇函数，当时，． (1)求在上的解析式； (2)求在区间上的值域，并指出取得最大值与最小值时x的值； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)，最大值为8，此时，最小值为，此时 (3) 【分析】（1）由是定义在上的奇函数得到，设，则，利用已知求出，利用奇函数得到，用分段函数表示. （2）按（1）的解析式分段求值域，取并集． （3）先由（1）的解析式得出单调性，利用单调性和奇偶性求解. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，，则， 又，则， 则 . （2）①当时，， 图象开口向下、对称轴为，故在上单调递增，此时； ②当时，， 图象开口向上、对称轴为，故在上单调递增，此时． 取并集得在上的值域为． 故的最大值为8，此时，最小值为，此时． （3）当时在上递增； 当时在上递增； 又时时， 故时恒有，则在R上单调递增， 由得， 由是奇函数，得，于是． 由单调性得，即，解得． 则原不等式的解集为（或写成）． 17．函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数. 证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有， 所以令，得； 用替换，得. 所以， 即. 所以函数是偶函数. (2)或或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇偶性的定义可得； （2）由题意判断单调性，并结合题意，将不等式转化为，求解可得. 【详解】（1）略 （2）由题意知，，所以. 又在上是单调的，， 所以在上单调递增. 由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得或. 所以不等式的解集为或或. 18．已知函数. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解不等式. 【答案】(1)函数为奇函数，证明如下： 函数的定义域为， 又， 即，所以是奇函数. (2) 【分析】（1）计算，利用指数运算化简得零，从而证明为奇函数； （2）先证明在上单调递增，再将不等式转化为，由单调性去掉函数符号，解一元二次不等式即可. 【详解】（1）略. （2）令，下面证明在上单调递增： ，且，则. 因为，所以. 又，所以，即. 所以在上单调递增. 又在上单调递增， 所以在上单调递增. 由（1）知， 所以，即，解得. 故原不等式的解集为. 19．已知函数的定义域为，且当时，，对任意，定义集合． (1)当时，，求； (2)若是奇函数，，且， （i）求的解析式； （ii）证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，．求证：． 【答案】(1) (2)（i） （ii）证明：因为分别在，单调递减， 当时， 当时， 当时，      由条件，，对，进行分类， ①当，即时，，． 因为，所以；      ②当，即时，，， 因为，所以；      ③当，即时，，， 显然也有，综上，当时，总有． (3)证明：假设，取，满足，由①知，      由于在单调递减，所以， 所以存在满足，      故此时，这与②矛盾，所以假设不成立，所以． 【分析】（1）根据定义列出不等式，求解不等式的解集即可. （2）（i）根据奇函数的性质求解析式即可；（ii）分三种情况：，以及进行讨论证明即可. （3）利用反证法证明即可. 【详解】（1）由题意可知，，则； 当，即时，，解不等式得； 当，即时，，所以， 综上，． （2）（i）设，所以，因为为奇函数， 所以，      又因为的定义域为，所以，      综上，．      （ii）略 （3）略 20．设，函数． (1)若，求证：函数为奇函数； (2)函数满足，在（1）的条件下，若对任意且，不等式恒成立，求的取值范围． (3)若，函数在区间上的取值范围是，求的范围． 【答案】(1)时，有且定义域为， ， 综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数． (2) (3) 【分析】（1）先确定时的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再验证与的关系，依据奇偶性定义完成证明； （2）先代入求出的表达式，再推导关于的表达式，令，将不等式转化为关于的不等式恒成立问题，通过分离参数或二次函数最值方法求的范围； （3）先分析的单调性，根据值域与定义域的对应关系得到、，可知、是方程的两个不等实根，令将方程转化为关于的二次方程，结合二次方程正根的分布条件求解的范围． 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 设，因为且，，所以． 因为， 所以不等式可化为，即在时恒成立， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以实数的取值范围是． （3）由知：，由知：，所以， ， ，所以或， ∴当时，易知在上单调递增，结合题意有， 得即，是的两个不同的实根， ∴令，则在上有两个不同实根， 故可得； 当时，在，上都递减， 若，有，则与矛盾，舍去； 若，有，即有 即所以两式相减得 ，又，即有，则， ∴综上有． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $