第2章 第9节 函数的零点与方程的解-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦函数零点与方程的解核心考点，按定义、存在定理、二分法的逻辑层次梳理知识，通过诊断自测夯实基础，师生共研突破零点区间判定、个数分析及参数应用难点，配合分层练习实现系统复习。 讲义注重数学思维培养，如用定理法与图象法判定零点区间，结合函数单调性、周期性分析零点个数，设置基础巩固与综合应用训练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第9节　函数的零点与方程的解 1.了解函数零点与方程的解的联系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 知识梳理 1.函数的零点 （1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使　f（x）＝0　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点； （2）等价关系：方程f（x）＝0有实数解⇔函数y＝f（x）有　零点　⇔函数y＝f（x）的图象与　x轴有公共点　.　 提醒：函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标. 2.函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②　f（a）f（b）　＜0. （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　f（c）＝0　，这个c也就是方程f（x）＝0的解. 提醒：函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数. 3.二分法 （1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　一分为二　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法； （2）用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤 ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0； ②求区间（a，b）的中点c； ③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间： （ⅰ）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点； （ⅱ）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c； （ⅲ）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c； ④判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④. 1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 4.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的） 在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示，所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）＝2x的零点为0.（　√　） （2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（　×　） （3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（　×　） （4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（　×　） 2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　） 解析：C　根据二分法的概念知，选项C不能用二分法求零点. 3.函数f（x）＝的零点是（　　） A.（－1，0），（1，0） B.－1，1 C.（－1，0） D.－1 解析：B　由题意可得解得x＝－1；由解得x＝1.综上，x＝±1. 4.函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，e） D.（e，3） 解析：C　因为函数f（x）＝ln x－在定义域（0，＋∞）内是一条连续不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－＝1－＞0，所以必存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（2，e），故选C. 5.若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　） A.（，＋∞） B.（－1，） C.（－∞，－1） D.（－∞，－1）∪（，＋∞） 解析：D　当a＝0时，f（x）＝1，函数y＝f（x）的图象与x轴无交点，不符合题意，所以a≠0，所以函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）上单调，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞. 函数零点所在区间的判定（师生共研过关） （1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　B　） A.（0，0.3） B.（0.3，0.5） C.（0.5，1） D.（1，2） 解析： 易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－＝－＜0，所以f（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B. （2）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝　2　. 解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，故n＝2. 函数零点所在区间的判断方法 （1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形； （2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形. 训练1 （1）（2026·陕西商洛模拟）设a是函数f（x）＝2x－lox的零点.若x0＞a，则f（x0）的值满足（　C　） A.f（x0）＝0 B.f（x0）＜0 C.f（x0）＞0 D.f（x0）的符号不确定 解析：（1）∵函数y＝2x和y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）＝2x－lox＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又∵a是函数f（x）＝2x＋log2x的零点，∴f（a）＝0，∴当x0＞a时，f（x0）＞f（a）＝0.故选C. （2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　） A.（a，b）和（b，c）内 B.（－∞，a）和（a，b）内 C.（b，c）和（c，＋∞）内 D.（－∞，a）和（c，＋∞）内 解析：（2）函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点. 函数零点个数的判定（师生共研过关） （1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（　A　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析： 令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A. （2）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是　1　. 解析：法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点. 判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，f（x）就有多少个零点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 训练2 （1）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x2－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为（　B　） A.6 B.7 C.8 D.9 解析：（1）令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f（1）＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7. （2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则方程f（x）＝｜log9x｜的实根的个数为（　C　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：（2）由奇函数可知f（2－x）＝f（x）＝－f（－x），即f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（2－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5. 函数零点的应用（定向精析突破） 考向1　根据函数零点个数求参数 （1）（2025·湖南长沙二模）若函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1至少有一个零点，则m的取值范围为（　C　） A.m＜1 B.m≥1 C.0≤m＜1 D.0≤m≤1 解析： 函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1有零点，则方程（）｜x｜＋m－1＝0有根，即（）｜x｜＝1－m有根，因此函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m，如图， 观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.故选C. （2）（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　D　） A.－1 B. C.1 D.2 解析：令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D. 考向2　根据函数零点所在区间求参数 （2026·北京模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，） B.（0，） C.（－∞，0） D.（，＋∞） 解析：B　由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g（x）＝3x－，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由于函数y＝3x，y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x－＜g（－1）＝3－1＋1＝，又g（x）＝3x－＞0，所以函数g（x）在（－∞，－1）上的值域为（0，）.因此，实数a的取值范围是（0，）. 利用函数零点求参数的方法 训练3 （1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为（　D　） A.（－，0） B.（－∞，－）∪（0，＋∞） C.（－∞，－］∪（0，＋∞） D. 解析： 由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D. （2）〔多选〕已知函数f（x）＝令h（x）＝f（x）－k，则下列说法正确的是（　BD　） A.函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞） B.当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3] C.当k＝－2时，h（x）的所有零点之和为－1 D.当k∈（－∞，－4）时，h（x）有1个零点 解析：函数f（x）＝结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（－1，0）和（0，＋∞），A选项错误；h（x）的零点即函数y＝f（x）的图象和直线y＝k交点的横坐标，由图象可知，当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]，B选项正确；解方程可知，当k＝－2时，h（x）有两个零点－1－和1，所有零点之和为－，C选项错误；当k∈（－∞，－4）时，函数y＝f（x）的图象和直线y＝k有1个交点，即h（x）有1个零点，D选项正确. （时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　） A.2 B.（2，0） C.－2 D.2或－1 解析：A　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以x－2＝0，即x＝2.故选A. 2.（2026·河北辛集中学考试）函数f（x）＝ln（x＋1）－（x＞0）的零点所在的区间是（　　） A.（0，1） B.（3，4） C.（2，3） D.（1，2） 解析：D　由题意，f（1）＝ln（1＋1）－＝ln 2－2＜0，f（2）＝ln（2＋1）－1＝ln 3－1＞0，所以由函数零点存在定理可知，f（x）在区间（1，2）上有零点，且f（x）＝ln（x＋1）－在区间（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选D. 3.（2026·重庆检测）已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　） x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5 f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007 A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.7 解析：B　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f（0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在（0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似值为0.57. 4.“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当x＞0时，令f（x）＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时，f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f（x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0，1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 5.（2026·江苏连云港联考）设函数f（x）＝log3－a在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，－log32） B.（0，log32） C.（log32，1） D.（1，log34） 解析：C　令f（x）＝0得a＝log3，令h（x）＝log3＝log3（1＋），由复合函数单调性可知，当x∈（1，2）时，h（x）单调递减，h（2）＝log32，h（1）＝log33＝1，故h（x）∈（log32，1），要使f（x）＝log3－a在区间（1，2）内有零点，即a∈（log32，1）.故选C. 6.〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　） A.当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点 B.当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点 C.当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点 D.当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点 解析：BD　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点. 7.用二分法求方程－＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经过　4　次二分后精确度达到0.1. 解析：∵区间（2，3）的长度等于1，每经过一次二分，区间长度变为原来的一半，∴经过n次二分后，区间长度变为，故有＜0.1，解得n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1. 8.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝　1　. 解析：x1，x2分别是函数y＝ex，y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A（x1，），B（x2，）两点关于y＝x对称，则x1＝，因此x1x2＝1. 9.（13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3. （1）求b，c的值； （2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围. 解：（1）由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴∴ （2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6. ∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6， 依题意得解得－＜m＜0， 故实数m的取值范围是. 10.设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.设函数f（x）的零点为x0，则（　　） A.x0＜a B.x0＞a C.x0＜c D.x0＞c 解析：B　因为f（x）＝ex＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，且0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c）.因为f（a）f（b）f（c）＜0，所以f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0.若f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，由函数零点存在定理可知x0∈（a，b）；若f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，由函数零点存在定理可知x0∈（c，＋∞）.综上所述，x0＞a，故选B. 11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（　　） A.6 B.7 C.12 D.13 解析：D　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f（）＝f（－），f（）＝－f（－），因此f（）＝f（－）＝0，则f（－）＝f（－）＝f（－）＝f（）＝f（）＝f（）＝0，故f（x）在[－3，3]上至少有13个零点.故选D. 12.〔多选〕（2025·湖南怀化一模）已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则（　　） A.x1＋x2＞0 B.x1x2＜0 C.＋ln x2＝0 D.x1x2－x1＋x2＞1 解析：BC　依题意，x1＋＝0⇔＝－x1，x2＋ln x2＝0⇔ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1，）与点（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C. 13.（2026·浙江杭州质检）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围为　（－∞，e）　. 解析：由题意，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点，当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可得只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移｜a｜个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上恒有交点，满足条件，综上可得：a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）. 14.（15分）（2025·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－log2（2－x）. （1）判断f（x）的奇偶性； （2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围. 解：（1）f（x）为奇函数，理由如下： 由题意得解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2，2），故定义域关于原点对称. 又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x）， 故f（x）为奇函数. （2）由f（x）＝log2（a＋x）， 得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x）， 所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋（2－x）－3， 故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根， 即函数y＝a与y＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上的图象有两个交点. 令t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝＋t－3，t∈（0，4）. 作出函数y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示. 由图可得当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象有 两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根， 故实数a的取值范围是（1，2）. 15.〔创新设问〕〔多选〕已知函数f（x）＝若在区间（1，＋∞）内存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：AB　的几何意义为点（xn，f（xn））与原点连线的斜率，＝＝…＝的几何意义为这n个点与原点连线的斜率相等，作出f（x）＝的大致图象，如图所示，在区间（1，＋∞）上与y＝kx的交点个数为0或1或2或3，又n≥2，故选A、B. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $