第2章 第8节 函数的图象-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象核心考点，涵盖表示方法、变换规律、图象识别及性质应用，按“知识梳理-诊断自测-师生共研-分层训练”逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导突破变换难点，真题训练强化应用能力，体现系统性与针对性。 讲义以“数学眼光观察图象特征，数学思维分析变换规律”为导向，创新采用“作图-识别-应用”三阶教学法，如通过对比平移翻折实例培养几何直观，结合分类讨论解决参数范围问题发展逻辑推理，设置基础到综合分层练习，保障复习效率，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第8节　函数的图象 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 知识梳理 1.利用描点法作函数图象的步骤 2.函数图象的变换 提醒：（1）图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换；（2）图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（　×　） （2）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图象相同.（　×　） （3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（　×　） （4）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（　×　） 2.函数y＝21－x的大致图象为（　　） 解析：A　y＝21－x＝（）x－1，故函数为减函数，可排除C、D，又当x＝0时，y＝2，排除B，故选A. 3.〔多选〕（2025·浙江名校协作体适应考）为得到函数y＝ln（ex）的图象，可将函数y＝ln x的图象（　　） A.向上平移一个单位长度 B.向下平移一个单位长度 C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍 D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 解析：AD　由题意可得，函数y＝ln x的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝ln（ex）的图象，故选项C错误，选项D正确.∵y＝ln（ex）＝ln x＋1，∴将函数y＝ln x的图象向上平移一个单位长度可得到函数y＝ln（ex）的图象，故选项A正确，选项B错误.故选A、D. 4.已知图1中的图象是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（　　） A.y＝f（｜x｜） B.y＝｜f（x）｜ C.y＝f（－｜x｜） D.y＝－f（－｜x｜） 解析：C　因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f（x）图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f（－｜x｜）.故选C. 5.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　（0，＋∞）　. 解析：由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝其图象如图所示，故要使a＝｜x｜＋x只有一个解，则a＞0. 作函数图象（师生共研过关） 作出下列函数的图象： （1）y＝2x＋1－1； 解： 将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示. （2）y＝｜lg（x－1）｜. 解：首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）. 作函数图象的常用方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出； （2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来作图； （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. 提醒：（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序. 训练1 作出下列函数的图象： （1）y＝； 解： y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示. （2）y＝（）｜x＋2｜. 解：作出y＝（）x的图象，保留y＝（）x的图象中x≥0的部分，加上y＝（）x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（）｜x｜的图象，再向左平移2个单位长度，即得y＝（）｜x＋2｜的图象，如图2所示. 函数图象的识别（师生共研过关） （1）（2026·湖南长沙雅礼中学测试）函数f（x）＝cos x·ln（2x＋2－x）在区间[－3π，3π]上的图象大致为（　D　） 解析： 因为f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝cos（－x）·ln（2－x＋2x）＝cos x·ln（2－x＋2x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A、C.因为f（0）＝ln 2＞0，故排除B.故选D. （2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　B　） A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0 C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0 解析：函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图得－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B. 函数图象的辨识可从以下方面入手 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置； （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象. 训练2 （1）（2025·河北沧州名校联考质量监测）如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（　A　） A.y＝　　　 　B.y＝ C.y＝ D.y＝ 解析： 由图可知，当x＜0时，f（x）＞0，故排除B、D；设f（x）＝，则f（1）＝e2＞3，故排除C.故选A. （2）已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（　D　） 解析： 易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B.故选D. 函数图象的应用（定向精析突破） 考向1　研究函数的性质 〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f（x）＝2－x2，g（x）＝x2，则下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（　ABD　） A.函数F（x）是偶函数 B.方程F（x）＝0有3个解 C.函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增 D.函数F（x）有4个单调区间 解析：　根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确. 利用函数的图象研究函数的性质 　　对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性. 考向2　解方程（不等式） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，－3）　　　　　B.（－2，0） C.（－∞，－3）∪（－3，0） D.（－∞，－3）∪（－2，0） 解析：C　依题意知，f（0）＝0，当x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此画出f（x）的大致图象如图所示， 由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（－3，0）. 利用函数图象研究不等式问题的方法 　　当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解. 考向3　求参数范围 已知f（x）＝若存在x1＜x2＜x3使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝m，则m的取值范围是　（2，3]　. 解析：作出函数f（x）的图象，如图， 因为存在x1＜x2＜x3使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝m，所以f（－1）＜m≤f（0），即2＜m≤3. 　　利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数. 训练3 （1）〔多选〕设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝，则下列结论正确的是（　ABD　） A.2是函数f（x）的周期 B.函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增 C.函数f（x）的最大值是1，最小值是0 D.当x∈（3，4）时，f（x）＝ 解析： 由已知条件得f（x＋2）＝f（x），则f（x）是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y＝f（x）的部分图象如图所示，由图象知B正确，C不正确；当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，又f（x）是定义在R上的偶函数.故f（x）＝f（－x）＝（）x＋1，当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f（x）＝f（x－4）＝，因此D正确.故选A、B、D. （2）（2026·北京西城区月考）若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为　　. 解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是. （时间：60分钟，满分：97分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·山东东营模拟）把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（　　） A.y＝（x－3）2＋3 B.y＝（x－3）2＋1 C.y＝（x－1）2＋3 D.y＝（x－1）2＋1 解析：C　把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位长度后得到y＝[（x＋1）－2]2＋2＝（x－1）2＋2的图象，再将y＝（x－1）2＋2的图象向上平移1个单位长度后得到y＝（x－1）2＋3的图象.故选C. 2.〔一题多解〕函数y＝（3x－3－x）cos x在区间的图象大致为（　　） 解析：A　法一（特值法）　取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1＞0；取x＝－1，则y＝cos（－1）＝－cos 1＜0.结合选项知选A. 法二　令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x）cos（－x）＝－（3x－3－x）cos x＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）·cos x是奇函数，排除B、D；取x＝1，则y＝cos 1＝cos 1＞0，排除C.故选A. 3.（2026·重庆调研）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝ C.f（x）＝ D.f（x）＝ 解析：D　由图知f（x）的定义域为{x｜x≠0}，图象关于原点对称，所以f（x）是奇函数，且f（1）＜0.A项，f（x）的定义域为R，A错误；B项，f（1）＝4＋4－1＝＞0，B错误；C项，因为f（－x）＝＝＝f（x），所以f（x）是偶函数，C错误.故选D. 4.（2025·山东潍坊一模）已知a＞0且a≠1，ay与x成正比例关系，其图象如图所示，且y＝logax＋1，则a＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　因为ay与x成正比例关系，所以可设ay＝kx，由2＝k·1⇒k＝2，由ay＝2x⇒y＝loga（2x）＝logax＋loga2，又y＝logax＋1，所以loga2＝1⇒a＝2.故选B. 5.〔多选〕对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（　　） A.f（x＋2）是偶函数 B.f（x＋2）是奇函数 C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增 D.f（x）没有最小值 解析：AC　f（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，B错误.作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）在（－∞，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，C正确；由图象可知函数存在最小值0，D错误. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝则下列图象正确的有（　　） 解析：ABC　当－1≤x≤0时，f（x）＝－2x，表示一条线段，且线段经过（－1，2）和（0，0）两点.当0＜x≤1时，f（x）＝，表示一段曲线.函数y＝f（x）的图象如图所示.f（x－1）的图象可由f（x）的图象向右平移1个单位长度得到，故A正确；f（－x）的图象可由f（x）的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f（x）的值域为[0，2]，故f（x）＝｜f（x）｜，故｜f（x）｜的图象与f（x）的图象完全相同，故C正确；很明显D中f（｜x｜）的图象不正确. 7.函数f（x）＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点（x1，y1），（x2，y2），则y1＋y2＝　2　. 解析：因为f（x）＝＝＋1，所以f（x）的图象关于点（0，1）对称，而直线y＝kx＋1过点（0，1），故两图象的交点（x1，y1），（x2，y2）关于点（0，1）对称，所以＝1，即y1＋y2＝2. 8.（2025·北京平谷模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，则不等式f（x）＞0的解集为　（0，1）　. 解析：不等式f（x）＞0⇔log2（x＋1）＞｜x｜，分别画出函数y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜的图象，由图象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜有两个交点，分别是（0，0）和（1，1），由图象可知log2（x＋1）＞｜x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1）. 9.（13分）已知函数f（x）＝ （1）作出函数f（x）的图象； （2）讨论方程f（x）－m＝0根的情况. 解：（1）当x≤0时，0＜2x≤1，则f（x）＝｜2x－2｜＝2－2x∈[1，2），作出函数f（x）的图象，如图所示. （2）由f（x）－m＝0可得m＝f（x），则方程f（x）－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f（x）图象的交点个数. 如图所示，当m≤0时，方程f（x）－m＝0无实根； 当0＜m＜1或m≥2时，方程f（x）－m＝0只有一个实根； 当1≤m＜2时，方程f（x）－m＝0有两个不相等的实根. 10.已知函数f（x）＝则f（x）图象上关于原点对称的点有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 解析：C　作出f（x）的图象，函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋2x｜，x＜0的图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有3对.故选C. 11.已知函数y＝f（x）的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（　　） A.y＝x2f（x） B.y＝ C.y＝xf（x） D.y＝xf2（x） 解析：C　对于A，当x＜0时，f（x）＜0，所以x2f（x）＜0，故A不符合题意；对于B，当x＜0时，f（x）＜0，所以＜0，故B不符合题意；对于C，当x＜0时，f（x）＜0，所以xf（x）＞0，且x→－∞时，f（x）→－∞，xf（x）→＋∞；当x＞0时，f（x）＞0，所以xf（x）＞0，且x→＋∞时，f（x）→0，xf（x）→0，故C符合题意；对于D，当x＜0时，f（x）＜0，则f2（x）＞0，所以xf2（x）＜0，故D不符合题意. 12.〔多选〕设函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（　　） A.x1x2＞4 B.0＜a≤2 C.x3＋x4＞2 D.1＜x4＜e2 解析：BC　如图，作出函数f（x）的图象，由题意，直线y＝a与f（x）的图象有4个交点，由图象可知0＜a≤2，故B正确；且x1＋x2＝－4，－2＜x2≤0，－ln x3＝ln x4，所以ln（x3x4）＝0，即x3x4＝1，则x3＋x4＞2＝2，故C正确；x1x2＝（－4－x2）x2＝－－4x2＝－（x2＋2）2＋4∈[0，4），故A错误；当f（x4）＝f（0）＝2时，ln x4＝2，x4＝e2，又1＜x4，所以1＜x4≤e2，故D错误. 13.（2026·江苏南京外国语学校模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，则实数m的取值范围是　（－∞，］　. 解析：因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），所以当x∈（2，4]时，f（x）＝2（x－2）[2－（x－2）]＝2（x－2）（4－x），当x∈（4，6]时，f（x）＝4[（x－2）－2][4－（x－2）]＝4（x－4）（6－x），函数的部分图象如图所示，由4（x－4）（6－x）＝3，得4x2－40x＋99＝0，解得x＝或x＝，因为对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，所以由图可知m≤. 14.（15分）已知函数f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）. （1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值； （2）若对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范围. 解：（1）因为函数f（x）＝2x－ax＋1， 所以f（4）＝24－4a＋1＞0，即a＜，又a∈Z，所以a的最大值为4. （2）因为对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0， 所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立， 即x∈（－∞，1）时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方， 作出函数y＝2x，x∈（－∞，1）与y＝ax－1的大致图象， 则a≥0，且a－1≤2， 所以0≤a≤3， 即a的取值范围为[0，3]. 15.〔创新情境〕〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示 不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（　　） A.函数f（x）的最大值为1 B.函数f（x）的最小值为0 C.函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点 D.f（x＋1）＝f（x） 解析：BCD　由题意得：f（x）＝x－[x]＝由解析式可得函数图象如图所示，对于A，函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确.故选B、C、D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $