第2章 第6节 指数与指数函数-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义围绕指数与指数函数专题，涵盖根式与指数幂运算、指数函数概念图象及性质等核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过知识梳理、诊断自测、典例精讲、分层练习环节，帮助学生突破运算化简、单调性应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义突出真题导向与核心素养培养，采用“师生共研+定向突破”教学模式，如在指数函数图象应用中，引导学生通过平移翻折分析函数交点问题，培养数学思维与直观想象能力。设置基础巩固、能力提升、创新拓展分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第6节　指数与指数函数 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 知识梳理 1.根式与有理数指数幂 （1）根式 ①如果xn＝a，那么　x　叫做a的n次方根； ②式子叫做　根式　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③（）n＝　a　.当n为奇数时，＝　a　；当n为偶数时，＝｜a｜＝ （2）有理数指数幂 概念 正分数指数幂：＝　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1 负分数指数幂：＝＝　　 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q （ar）s＝ars （ab）r＝arbr 2.指数函数的概念 函数y＝　ax　（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数. 提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数. 3.指数函数的图象与性质 底数 a＞1 0＜a＜1 图象 底数 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域为　R　，值域为　（0，＋∞）　 图象过定点　（0，1）　 当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1 　增　函数 　减　函数 提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究. 1.函数y＝ax与y＝（）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），（－1，）. 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1） ＝－4.（　×　） （2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　×　） （3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　√　） （4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）.（　×　） （5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　×　） 2.若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（－）＝（　　） A.± B.±3 C. D.3 解析：C　因为f（2）＝a2＝81，又a＞0，所以a＝9，从而f（x）＝9x，f（－）＝＝＝. 3.下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　） A.＝－ B.（＝36 C.若m8＝2，则m＝ D.＝2－π 解析：B　对于A，＝＝，故A错误；对于B，（＝＝62＝36，故B正确；对于C，m8＝2，故m＝±，故C错误；对于D，＝｜2－π｜＝π－2，故D错误. 4.（2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则（　　） A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1 C.a＞b＞1 D.b＞a＞1 解析：D　画出函数y＝ax与y＝bx在第一象限内的图象（图略），可知1＜a＜b. 5.若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝　2或　. 解析：若a＞1，则f（x）max＝f（1）＝a＝2；若0＜a＜1，则f（x）max＝f（－1）＝a－1＝2，得a＝. 指数幂的运算（基础自学过关） 1.已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　） A. B.－ C.1 D.－1 解析：D　由9b＝36，得3b＝6，而3a＝2，则3a－b＝＝＝3－1，所以a－b＝－1.故选D. 2.已知ab＝－5，则a＋b＝（　　） A.2 B.0 C.－2 D.±2 解析：B　由题意知ab＜0，a＋b＝a＋b＝a＋b＝a＋b，由于ab＜0，故＝－，则原式＝0. 3.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　） A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1 C.＋＝± D.＋＝2 解析：ABD　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为（－）2＝a－2＋a－1＝3－2＝1，，的大小不确定，所以－＝±1，故B正确；因为（＋）2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5，＞0，＞0，所以＋＝，故C错误；由立方和公式，可得＋＝（）3＋（）3＝（＋）（a－1＋a－1）＝×（3－1）＝2，故D正确. 4.化简与求值： （1）（－（2）0.5＋（0.027； （2）（a＞0，b＞0）； （3）（×（－）0＋×－； （4）＋（a＜b＜0，n＞1，n∈N*）. 解：（1）原式＝（－（＋（0.3＝－＋0.09＝－0.16. （2）原式＝＝·＝. （3）原式＝（×1＋×－（＝2. （4）∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0. ∵n＞1，n∈N*，∴当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a； 当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a. ∴＋＝ 指数幂的运算 指数函数的图象及应用（师生共研过关） （1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　D　） A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0 C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0 解析： 由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0. （2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　（0，1）　. 解析： 函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）. 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形结合求解. 训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　C　） 解析：（1）因为y＝e－｜x｜＝所以函数图象关于y轴对称，且过点（0，1），y＝e－｜x｜＞0，函数在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故C符合.故选C. （2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（　ABD　） A.0＜b＜a B.a＜b＜0 C.b＜a＜0 D.a＝b 解析：（2）作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D. 指数函数的性质及应用（定向精析突破） 考向1　比较指数式的大小 （2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　） A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞b＞c D.b＞a＞c 解析：D　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D. 比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小. 考向2　解简单的指数方程或不等式 （1）已知不等式≤（）x－2的解集为A，则A＝　[－3，1]　； 解析：（1）∵（）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1]. （2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零点为　　2. 解析：（2）依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2. 解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解. 训练2 （1）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（　A　） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析： 函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. （2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2，则p是q的（　B　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： ∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p：{x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜0}.又∵{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜x＜0}，∴p是q的必要不充分条件. 指数型函数性质的综合应用（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P161复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－（a∈R）， （1）探索函数f（x）的单调性； 解： 法一（直接判断法）　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，又2x＋1＞0，所以y1＝在R上是减函数，所以y2＝－在R上是增函数，所以函数f（x）＝a－在R上单调递增. 法二（定义法）　f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝.因为x1＜x2，所以＜，即－＜0.又＋1＞0，＋1＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增. （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？ 解：法一（定义法）　因为f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，要使f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）在R上恒成立，即a－＝－a＋，所以2a＝＋＝2，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数. 法二（特殊值法）　由于f（x）是奇函数，且定义域为R，故f（0）＝a－＝0，解得a＝1，则f（x）＝1－，经验证符合题意，故存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数. 细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝是单调的奇函数. 变式1 若f（x）＝是奇函数，则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析：D　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，解得a＝±1. 变式2 已知函数f（x）＝a－是R上的奇函数，则f（x）的值域为　（－1，1）　. 解析：易知a＝1，则f（x）＝1－，因为2x＋1＞1，所以0＜＜2，则－1＜1－＜1，即f（x）的值域为（－1，1）. 变式3 已知函数f（x）＝，且满足f（m2）＋f（m－2）＞0，则实数m的取值范围是　（－∞，－2）∪（1，＋∞）　. 解析：因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数.因为f（x）＝＝1－，所以f（x）为R上的增函数.因为f（m2）＋f（m－2）＞0，所以f（m2）＞－f（m－2）＝f（2－m），所以m2＞2－m，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m＞1，所以实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. 　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） 解析： 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. （2）〔多选〕（2026·山东临沂模拟）已知函数f（x）＝＋a（a∈R），则（　ACD　） A.f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞） B.f（x）的值域为R C.当a＝1时，f（x）为奇函数 D.当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2 解析：对于函数f（x）＝＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，＞0，所以＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜1，－1＜2x－1＜0，＜－2，所以＋a＜－2＋a，综上可得，f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时，f（x）＝＋1＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f（x）＝＋2＝＋1，则f（x）＋f（－x）＝＋1＋＋1＝2，故D正确. （3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范围是　［－1，］　. 解析：显然f（x）为奇函数且单调递增，则f（a－1）＋f（2a2）≤0等价于f（a－1）≤f（－2a2），即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故a的取值范围为［－1，］. （时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.若＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.[2，4）∪（4，＋∞） C.（－∞，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，4）∪（4，＋∞） 解析：B　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a≥2且a≠4.故选B. 2.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝（）－0.9，则a，b，c的大小关系是（　　） A.a＜c＜b B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.b＜c＜a 解析：D　因为b＝1.20＝1，c＝（）－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数，1.2＞0.9＞0，所以31.2＞30.9＞30＝1，即a＞c＞b. 3.设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（　　） A.（－∞，－4] B.（－∞，－2] C.（－∞，2] D.（－∞，4] 解析：D　当x＜1时，由2x－1≤2，得x＜1；当x≥1时，由≤2，得1≤x≤4.所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（－∞，4]. 4.（2025·广东佛山二模）已知函数f（x）＝（a∈R），命题p：f（x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　若f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），即＝＝恒成立，所以a＝1，则f（x）＝＝1＋，y＝2x－1在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，充分性成立；若f（x）＝＝1＋在（0，＋∞）上单调递减，又y＝2x－1在（0，＋∞）上单调递增，所以1＋a＞0，故a＞－1，此时不一定有a＝1，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.故选A. 5.〔多选〕下列各式正确的是（　　） A.（）7＝n7 B.（＝16 C.2a3·（－5）÷（4）＝－ D.＝ 解析：BCD　对于A，（）7＝n7m－7，A不正确；对于B，由（＝（＝＝24＝16，B正确；对于C，原式＝[2×（－5）÷4]＝－，C正确；对于D，＝[a2·（a·＝[a2·（＝（a2·＝（＝，故D正确. 6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为（　　） A.0＜a＜1，b＜0 B.0＜a＜1，0＜b≤1 C.a＞1，b＜0 D.a＞1，0＜b≤1 解析：ABC　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确；若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，故C正确，D错误. 　　 7.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝　1－（答案不唯一）　. 解析：f（x）＝1－，理由如下：∵y＝为R上的减函数，且＞0，∴f（x）＝1－为R上的增函数，且f（x）＝1－＜1，∴f（x）＝1－符合题意. 8.（2025·广东韶关一模）当0＜x＜时，方程ax＝（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是　（4，＋∞）　. 解析：依题意，当x∈（0，）时，y＝ax与y＝有交点，作出y＝，x∈（0，）的图象，如图，所以解得a＞4. 9.（13分）已知函数f（x）＝（. （1）若a＝－1，求f（x）的单调区间； （2）若f（x）有最大值3，求实数a的值. 解：（1）当a＝－1时，f（x）＝（， 令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7. 则u＝－（x＋2）2＋7在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减， 而y＝（）u在R上单调递减， 所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）. （2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1， 因此必有 解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1. 10.（2026·安徽江淮十校联考）已知x，y∈R，且9x＋（x－2）·3x＝1，9y－1＋y·3y＝9，则x＋y＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：B　因为9x＋（x－2）·3x＝1，两边同除以3x，得3x＋x－2＝3－x，即3x－3－x＋x－2＝0　①，因为9y－1＋y·3y＝9，两边同除以3y，得3y－2＋y＝32－y，即32－y－3y－2－y＝0，整理得32－y－3y－2＋（2－y）－2＝0　②，由①②可构造函数f（x）＝3x－3－x＋x－2，显然该函数是R上的增函数，于是根据①②知f（x）＝f（2－y），所以x＝2－y，因此x＋y＝2.故选B. 11.已知函数f（x）＝＋x3，且f（m）＋f（m＋1）＞1，则实数m的取值范围为（　　） A.（－，＋∞） B.（1，＋∞） C.（1，2） D.（，1） 解析：A　看见联想到构造，因为f（0）＝，所以考虑f（x）－＝·＋x3，令g（x）＝f（x）－，可知函数g（x）为奇函数且单调递增，则f（m）＋f（m＋1）＞1⇔f（m）－＋f（m＋1）－＞0⇔g（m）＋g（m＋1）＞0，由奇函数性质可得g（m）＞g（－1－m），因为g（x）单调递增，所以m＞－1－m，解得m＞－，故选A. 12.〔多选〕已知函数f（x）＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是（　　） A.m＝ B.函数f（x）在R上的最大值为 C.函数f（x）是减函数 D.存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根 解析：AC　因为函数f（x）＝m－是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝m－＝0，解得m＝，故A正确；又f（x）＝－＝－＝－，因为ex＞0，所以ex＋1＞1，则0＜＜1，所以－＜f（x）＜，即f（x）∈（－，），故B错误；因为y＝ex是增函数，y＝ex＞0，且y＝在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）＝－是减函数，故C正确；因为f（x）是减函数，所以y＝f（x）与y＝n最多有1个交点，故f（x）－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误. 13.对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m，n），f（x）＝（）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f（x），则g（x）的值域为　[2，6]　.　　 解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x）＝（）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋2x，所以得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为[2，6]. 14.（15分）（2026·江苏常州调研）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数. （1）求a，b的值； （2）若存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，求k的取值范围. 解：（1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即＝0，所以a＝1， 又因为f（－x）＝－f（x），所以＝－，将a＝1代入，整理得＝， 当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即（b－1）·（2x－1）＝0， 又因为当x≠0时，2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1. 经检验符合题意，所以a＝1，b＝1. （2）由（1）知，函数f（x）＝＝＝－1＋， 因为y＝1＋2x为R上的增函数，且1＋2x＞0，则函数f（x）在R上是减函数. 因为存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立， 所以不等式可转化为f（k＋t2）＜f（2t2－4t）， 所以k＋t2＞2t2－4t，所以k＞t2－4t， 令g（t）＝t2－4t＝（t－2）2－4，t∈[0，4]， 故问题等价转化为k＞g（t）min，又因为g（t）min＝g（2）＝－4，所以k＞－4， 故k的取值范围为（－4，＋∞）. 15.〔创新交汇〕（2026·江苏徐州模拟）正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为　　. 解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋（1－2m）＝en－1＋（n－1），令f（x）＝ex＋x，则原等式为f（1－2m）＝f（n－1），显然函数f（x）为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m＞0，n＞0，因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以当m＝n＝时，＋取得最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $