2.2.3 一元二次不等式的解法【考点突破+强化训练】2026年新高一暑假预习数学人教B版必修第一册

2.2.3 一元二次不等式的解法 知识点1、不含参数的一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法：如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). (2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【注意】(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. (3)一元二次不等式解集的区间端点即为对应方程的根. 考点一　解不含参数的一元二次不等式 考点二　解含有参数的一元二次不等式 考点三　一元二次方程根的分布问题 考点四　三个二次之间的关系应用 考点五　一元二次不等式恒成立问题 考点六　一元二次不等式有解问题 考点七　一元二次不等式在实际问题中的应用 考点一　解不含参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·福建·学业考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 4．（25-26高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. 5．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 考点二　解含有参数的一元二次不等式 7．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 8．（25-26高一上·海南海口·期末）解下列不等式： (1) (2) 9．（2026高一·全国·专题练习）若函数，当时，求的解集. 10．（2026高一·全国·专题练习）求关于的不等式的解集. 11．（2026高一·全国·专题练习）解关于的不等式 12．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 13．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，解关于的不等式． 考点三　一元二次方程根的分布问题 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程有两个大于1的不等实根，则a的取值范围为______. 18．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 19．（2026高一·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 20．（2026高一·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 考点四　三个二次之间的关系应用 21．（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 22．（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 23．（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 25．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 26．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 考点五　一元二次不等式恒成立问题 27．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 28．（25-26高一上·河南南阳·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 29．（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 32．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 34．（25-26高一上·浙江·期中）对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 考点六　一元二次不等式有解问题 37．（2026高一·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 38．（2026高一·全国·专题练习）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 39．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 40．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 41．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点七　一元二次不等式在实际问题中的应用 43．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 44．（2026高一·全国·专题练习）新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 45．（2026高一·全国·专题练习）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 46．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为________． 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026高一·全国·专题练习）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 8．（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 10．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 11．（25-26高三上·上海闵行·阶段检测）设，不等式的解集为______. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 13．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 14．（2026高一·全国·专题练习）解不等式. 15．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，解关于x的不等式． 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3 一元二次不等式的解法 知识点1、不含参数的一元二次不等式的解法 1.一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等. 2.一元二次不等式的解法 (1)因式分解法：如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)，不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞). (2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集. 【注意】(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解，可直接利用“大于取两边，小于取中间”的方法得到不等式的解集. (2)不等式的解集必须写成集合的形式，若不等式无解，则应说解集为空集. (3)一元二次不等式解集的区间端点即为对应方程的根. 考点一　解不含参数的一元二次不等式 考点二　解含有参数的一元二次不等式 考点三　一元二次方程根的分布问题 考点四　三个二次之间的关系应用 考点五　一元二次不等式恒成立问题 考点六　一元二次不等式有解问题 考点七　一元二次不等式在实际问题中的应用 考点一　解不含参数的一元二次不等式 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式 的解集为______；不等式 的解集为______. 【答案】 【详解】，解得. 对于 ， （方法一）当 时， ，得； 当时， ，得. 故 的解集为. （方法二），得. （方法三）显然，两边平方，得. 故填； 2．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】即为，故，故. 3．（2026高二下·福建·学业考试）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D．． 【答案】D 【详解】该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 4．（25-26高一上·天津·阶段检测）不等式的解集是____. 【答案】 【详解】不等式化为， 因式分解得，解得. 不等式的解集为， 5．（2026·重庆·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式，利用集合之间的包含关系，充分条件、必要条件的概念即可得解 【详解】因为，所以，解得， 由， 因为是的真子集， 所以是成立的充分不必要条件. 6．（2026·陕西渭南·二模）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果. 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 考点二　解含有参数的一元二次不等式 7．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 8．（25-26高一上·海南海口·期末）解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将分式不等式化为，然后利用分式不等式的解法求解即可. （2）按照和分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由得， 则，解得， 故不等式的解集为； （2），且， 当时，，故不等式的解为或； 当时，，故不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 9．（2026高一·全国·专题练习）若函数，当时，求的解集. 【答案】答案见解析 【分析】利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【详解】因为，，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或； 综上所述，当时，的解集为； 当，的解集为，当，的解集为； 当或时，的解集为或. 10．（2026高一·全国·专题练习）求关于的不等式的解集. 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 11．（2026高一·全国·专题练习）解关于的不等式 【答案】答案见解析 【分析】通过对分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出答案. 【详解】当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 12．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）计算得，分和或讨论即可； （2）因式分解得，分 ，和讨论即可； （3）分，两大类讨论即可. 【详解】（1）由对应函数开口向上，且， 当，即时，恒成立，原不等式解集为； 当，即或时，由，可得， 所以原不等式解集为； 综上，解集为； 或解集为. （2）由得或. 当，即时，不等式解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为． 综上：时，不等式解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）令， ①当时，；∴. ②当时，由得或， （i）当即时，， （ⅱ）当即时，， （ⅲ）当即时，， 综上，当时，所求不等式的解集为. 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为， 当时，所求不等式的解集为. 13．（2026高一·全国·专题练习）解下列关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式左侧不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别讨论研究时不等式的解集． 【详解】对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知函数，解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先对不等式进行化简变形，再分与讨论，进而对两根的大小进行讨论，最后合并求解． 【详解】不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解得，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，： 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． 考点三　一元二次方程根的分布问题 15．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 16．（25-26高一上·浙江嘉兴·阶段检测）关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 17．（2026高一·全国·专题练习）若关于x的方程有两个大于1的不等实根，则a的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用根的分布知识求解． 【详解】关于x的方程有两个大于1的不等实数根， 等价于二次函数的图象与x轴有2个大于1的不同实根， 可得， 解得， 即实数a的取值范围为 故答案为： 18．（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围； （2）根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 19．（2026高一·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 20．（2026高一·全国·专题练习）已知方程在上： (1)有解，求的范围； (2)有一解，求的范围； (3)有两不同解，求的范围； (4)无解，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】将问题转化为与在上交点个数的问题，画出的图像，依次分析4个问题即可求解. 【详解】（1）令与， 方程在上有解，则函数与有交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （2）方程在上有一解，则函数与有一个交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 （3）方程在上有两个解，则函数与有两个交点： 作出函数图像如下： 则，解得：，所以的范围为 （4）方程在上无解，则函数与没有交点： 作出函数图像如下： 则或，解得：或，所以的范围为 考点四　三个二次之间的关系应用 21．（25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________. 【答案】 【分析】分析可知，3为的两根，且，结合韦达定理可得，，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 22．（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）不等式解集为，下列结论正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 23．（25-26高一上·山东淄博·期末）若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式与方程的关系得，，进而转化为解不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是 所以，方程的两个实数根 所以，，即， 所以， 因为， 所以，分解因式，解得 所以不等式的解集为 故选：A 24．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】A选项，转化为为一元二次方程的两个根，且，由韦达定理得到答案；B选项，根据得到B不正确；C选项，在A基础上不等式变形为，解出解集；D选项，不等式变形为，求出解集. 【详解】A选项，由题意得为一元二次方程的两个根，且， 故，即，A正确； B选项，，B不正确； C选项，由A选项可知，，解得，C正确； D选项，， 又，故，解得或，D正确. 故选：ACD 25．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 26．（25-26高一上·江苏徐州·期末）若集合的元素个数为2，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】令，根据题意结合函数的图象即可求解. 【详解】令， 因为集合的元素个数为2， 则，即函数的图象开口向上， 又，， 则， 所以，， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：.    考点五　一元二次不等式恒成立问题 27．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分和两类情况，结合不等式对应的二次函数的图像可得实数的取值范围. 【详解】当时，不等式为，显然恒成立，符合题意； 当时， 因为关于的不等式对任意恒成立， 所以二次函数的图像在轴的下方， 所以，解得， 综上，可得的取值范围是． 故答案为： 28．（25-26高一上·河南南阳·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案. 【详解】已知命题“”为假命题， 则该命题的否定：“”为真命题. 此时二次函数的判别式满足 . 即， 化简可得： 综上，实数的取值范围是 . 故答案为： 29．（25-26高一上·湖北恩施·期末）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 30．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）要使恒成立，可将其转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解的取值范围. （2）先将不等式转化为一元二次不等式，再通过因式分解求解不等式. 【详解】（1）对，恒成立，即恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2），即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）不等式，对任意 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据题意，构造关于的函数，，通过函数两端点的函数值都小于即可求解. 【详解】根据不等式，构造关于的函数，令，， 根据题意，对任意，恒成立，由于是一次函数，只要两端点的函数值都小于即可， 即，所以，化简得，解得， 所以实数的取值范围是. 32．（25-26高一上·湖北随州·期中）若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 33．（25-26高一上·江苏南京·期中），恒成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分情况讨论，根据在上恒成立求的取值范围. 【详解】根据题意，不等式在上恒成立. 若，则不等式可化为，所以不合题意. 若0，则不等式可化为. 因为在上恒成立，所以必有的根为1， 所以. 故选：A 34．（25-26高一上·浙江·期中）对不等式恒成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由因式分解解不等式得到解集，由题意列不等式求出的范围，根据充分条件、必要条件的定义得到答案. 【详解】整理得， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 又∵不等式恒成立， ∴，即，∴. 选项中仅有“”是“” 的充分不必要条件， 故选：B. 35．（25-26高一上·江西景德镇·期中）命题，恒成立为真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设在上恒成立，得，结合对应二次函数的性质研究不等式恒成立求参数范围. 【详解】由题意在上恒成立，显然， 令，其对称轴为，且， 当，即时，恒成立， 当，即时，只需，可得，所以， 综上，. 故选：A 36．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步求真子集即可判断. 【详解】根据，为真命题， 可化为：，恒成立，则需， 所以“，” 为真命题的一个充要条件是， 所以命题为真命题的一个充分不必要条件为集合的真子集， 所以符合题意. 故选：D 考点六　一元二次不等式有解问题 37．（2026高一·全国·专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____. 【答案】 【分析】把不等式转化成求最值的问题，再利用配方法求出最值即可. 【详解】因为， 所以等价于，整理得. 若“存在，使得不等式成立”可转化为. 因为，当时取等号. 所以，即. 故答案为：. 38．（2026高一·全国·专题练习）设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 39．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 40．（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式在区间内有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】不等式在区间内有解，即在区间内有解， 那么，设. 根据二次函数的性质可知，所以. 故答案为：. 41．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 42．（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用存在性问题的解决方法求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 考点七　一元二次不等式在实际问题中的应用 43．（25-26高一上·上海静安·阶段检测）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元． (1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？ (2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数） 【答案】(1)（千米/时）； (2)当时，最小运输成本为696元． 【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可. （2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可. 【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元）， 每小时的运输成本不高于420元，所以，解得， 可得，即（千米/时）， 所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）； （2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）， 所以汽车的行驶时间为（小时）， 所以全程运输成本，， 由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号， 即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元． 44．（2026高一·全国·专题练习）新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 45．（2026高一·全国·专题练习）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出售价降低x成商品售价和售出商品数量即可求该商品一天的营业额，再结合售价不能低于成本价求出变量的取值范围即可得y与x之间的函数关系式. （2）由（1）可得该商品一天的营业额和变量的取值范围，再结合已知条件列出不等式求解即可得解. 【详解】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件， 售出商品数量为件， 所以该商品一天的营业额为， 又售价不能低于成本价，所以，解得， 所以. （2）由（1）商品一天的营业额为， 令，化简得， 解得，又， 所以x的取值范围为． 46．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，有一块矩形空地ABCD，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形EFGH）．使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知米，米，且，为使绿地面积不小于空地面积的一半，AE的长的最小值为________． 【答案】50米 【分析】根据矩形与三角形的面积公式计算，并列式解不等式即可. 【详解】设米，则， ，， ， 若绿地面积不小于空地面积的一半，则，即 解得，故AE的长的最小值为50米. 故答案为：50米. 1．（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 2．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知集合，，则“”是“”的（     ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用两个集合的包含关系判断. 【详解】由题意可得，又，所以集合是集合的真子集， 因此“”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 5．（2026高一·全国·专题练习）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出原命题恒成立时的取值范围，再寻找该范围的真子集，即为充分不必要条件． 【详解】若，恒成立，则，故， 解得． 要求充分不必要条件，即求的真子集， 观察选项可知，C选项满足题意． 故选：C． 6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）（多选）不等式的解集是，则下列选项正确的有（    ） A． B． C．不等式的解集是或 D．不等式的解集是 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用二次式的关系，结合韦达定理，求得，且，再由不等式的性质和解法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由不等式的解集是， 可得，可得，且，所以A正确； 对于B，因为，代入不等式得，所以，所以B正确； 对于C，因为，不等式即为， 又因为，不等式等价于，即， 解得，所以不等式的解集为，所以C错误； 对于D，因为，不等式即为， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集为，所以D正确. 8．（25-26高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 9．（2026高一·全国·专题练习）（多选）在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（    ） A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速 【答案】BC 【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速. 10．（25-26高一上·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 11．（25-26高三上·上海闵行·阶段检测）设，不等式的解集为______. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式再进行求解； 【详解】， 即， 解得， 所以不等式的解集为：. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·阶段检测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________. 【答案】 【分析】利用三个二次的关系，得到方程有两根为和，且，将用表示后代入所求不等式，化简即可求其解集. 【详解】由题意，方程有两根为和，且. 则解得. 将上式代入不等式，整理得， 因，故得，解得， 即不等式的解集是. 故答案为： 13．（2026·青海西宁·二模）已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 14．（2026高一·全国·专题练习）解不等式. 【答案】答案见详解 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】当时，原不等式可化为，即，解集为； 当时，原不等式可化为，解集为； 当时，原不等式可化为， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 当，即时，解集为， 综上所述：当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为， 当时，解集为． 15．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】由不等式变形为，再对参量分类讨论即得． 【详解】由二次函数知， 不等式，得，即， 由得 ①当时，不等式等价于：， 若，即时，解集为； 若，即时，解集为：； 若，即时，解集为； ②当时，不等式等价于：，解集为 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 16．（25-26高一上·四川泸州·期中）已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求实数的取值构成的集合； (2)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)； (3) 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 【分析】（1）问题转化为恒成立，结合对应二次函数的性质列不等式求参数； （2）参变分离得到，由基本不等式求出的最小值，得到答案； （3）因式分解得到，分，，，，，求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意，上恒成立， 显然时在上不恒成立， 所以，则， 综上，； （2）由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为； （3）当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，此时，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，此时，不等式解集为； 若，此时，不等式解集为或. 综上， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为或. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $