第2章 第5节 幂函数与二次函数-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦幂函数与二次函数核心考点，按知识梳理、诊断自测、专题突破、分层练习逻辑架构，涵盖幂函数图象性质、二次函数解析式及图象性质等内容，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建知识网络，突破难点。 讲义特色在于结合具体实例与分类讨论，如二次函数解析式一题多解培养数学思维，根的分布问题训练数学语言表达，分层练习适配不同学生需求，保障复习效果，助力教师把控节奏，提升学生应考能力。

第5节　幂函数与二次函数 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知识梳理 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数； （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　和　（0，0）　，且在（0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点　（1，1）　，且在（0，＋∞）上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为　奇函数　，当α为偶数时，y＝xα为　偶函数　. 2.二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：f（x）＝　ax2＋bx＋c　（a≠0）； （2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为　（h，k）　； （3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的　零点　. 3.二次函数的图象和性质 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象 定义域 R R 值域 解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0） 单调性 在x∈（－∞，－］上单调递减； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递增 在x∈（－∞，－］上单调递增； 在x∈　（－，＋∞）　上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝　－　对称 提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 1.幂函数的性质 （1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象越远离x轴（简记为“指大图高”）； （2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限； （3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； （4）幂函数f（x）＝（m，n互质），当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. 2.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 3.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时，恒有f（x）＞0；当时，恒有f（x）＜0. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2是幂函数.（　×　） （2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（　√　） （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　×　） （4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　√　） 2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　） A.　　　 　　　　B.4 C. D. 解析：A　设f（x）＝xα，∵图象过点，∴f（2）＝2α＝，解得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝. 3.若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－，］上单调递减，则实数k的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.（－∞，2] D.（－∞，－2] 解析：A　函数f（x）＝4x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝，由于f（x）在［－，］上单调递减，所以≥⇒k≥2. 4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1 　B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜m＜0＜n＜ 　D.－1＜n＜0＜m＜1 解析：D　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D. 5.已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为　f（x）＝x2－4x　. 解析：由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－4（a＞0），又图象过原点，所以f（0）＝4a－4＝0，a＝1，所以f（x）＝（x－2）2－4＝x2－4x. 幂函数的图象与性质（基础自学过关） 1.（2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可能是（　　） A.y＝　　　　　　B.y＝ C.y＝x3 D.y＝ 解析：D　对于A，函数y＝＝的定义域为[0，＋∞），显然不符合题意，故A错误；对于B，函数y＝＝的定义域为（0，＋∞），显然不符合题意，故B错误；对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇函数，且在（0，＋∞）上函数y＝x3的图象下凸递增，故不符合题意，故C错误；对于D，函数y＝＝的定义域为R，又y＝为奇函数，且在（0，＋∞）上函数y＝的图象上凸递增，故D正确. 2.〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常数），则下列说法正确的是（　　） A.函数f（x）的图象恒过定点（0，0） B.当α＝－1时，函数f（x）是减函数 C.当α＝3时，函数f（x）是奇函数 D.当α＝时，函数f（x）的值域为[0，＋∞） 解析：CD　当α＝－1时，f（x）＝不过点（0，0），A错误；当α＝－1时，f（x）＝分别在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，在定义域上不单调，B错误；当α＝3时，f（x）＝x3的定义域为R，且f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，C正确；当α＝时，f（x）＝的值域为[0，＋∞），D正确. 3.已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b＝f（e），c＝f（1），则（　　） A.b＜c＜a B.c＜b＜a C.a＜b＜c D.c＜a＜b 解析：D　因为f（x）＝（3m2＋m－1）xm是幂函数，所以3m2＋m－1＝1，解得m＝－1或m＝，又因为f（x）是偶函数，所以m＝，故f（x）＝，因为＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又a＝f（－2）＝f（2），且1＜2＜e，所以f（1）＜f（2）＜f（e），即c＜a＜b. 4.（2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为　（－∞，－1）∪（，）　. 解析：分三种情况考虑：①解得＜m＜；②此时无解；③解得m＜－1.综上可得，m∈（－∞，－1）∪（，）. 1.对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 二次函数的解析式（师生共研过关） 〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1）， ∴二次函数图象的对称轴为x＝＝. ∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8， ∴f（x）＝a＋8. ∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4或a＝0（舍去）， 故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f（x）＝（　B　） A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1 C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1 解析：（1）（一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f'（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b－1），所以解得因此f（x）＝x2＋2x＋1.故选B. （2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝　x2－4x＋3　. 解析：（2）（零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3. 二次函数的图象与性质（定向精析突破） 考向1　二次函数的图象 （1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（　C　） A.f（m＋1）≥0 B.f（m＋1）≤0 C.f（m＋1）＞0 D.f（m＋1）＜0 解析： 因为f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a＞0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0. （2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　AD　） A.b2＞4ac B.2a－b＝1 C.a－b＋c＝0 D.5a＜b 解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 识别二次函数图象应学会“三看” 考向2　二次函数的单调性与最值 已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g（t）. 解：f（x）的对称轴为x＝， ①当≥2，即t≥4时，f（x）在[－1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝3－2t； ②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f（x）min＝f（）＝－1－； ③当≤－1，即t≤－2时，f（x）在[－1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（－1）＝t. 综上，g（t）＝ 　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　D　） 解析：（1）A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D. （2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　C　） A.[0，＋∞） B.（－∞，0] C.[0，4] D.（－∞，0]∪[4，＋∞） 解析：由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4. （3）已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是（　B　） A.（0，4] B.［，4］ C.［，3］ D.［，＋∞） 解析：设f（x）＝x2－3x－4＝（x－）2－，x∈R，所以f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示，所以f（）＝－，易知f（－1）＝f（4）＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是［，4］. 一元二次方程根的分布 　　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解： （1）判别式Δ的符号； （2）对称轴x＝－与所给区间的位置关系； （3）区间端点处函数值的符号. 关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围. （1）一个根小于2，一个根大于4； 解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m. （1）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则 解得m＜－. 故m的取值范围为（－∞，－）. （2）有两个不相等的正根； 解：由题意得解得0＜m＜1. 故m的取值范围为（0，1）. （3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内； 解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内， 则解得－＜m＜0. 故m的取值范围为（－，0）. （4）两个不相等的根都在（0，2）内. 解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内，则 解得＜m＜1. 故m的取值范围为（，1）. （时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3，，－1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　） A.2 B.3 C. D.－1 解析：B　由题意可得α＞0且α为奇数，所以α＝3，故选B. 2.已知a＝，b＝，c＝1，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 解析：A　b＝＝，而函数y＝在（0，＋∞）上单调递增，2＜9＜17，因此＜＜1，所以a＜b＜c. 3.若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（　　） A.g（x）＝2x2－3x B.g（x）＝3x2－2x C.g（x）＝3x2＋2x D.g（x）＝－3x2－2x 解析：B　二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，设二次函数为g（x）＝ax2＋bx（a≠0），可得则所求的二次函数为g（x）＝3x2－2x. 4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f（x）的图象可能是（　　） 解析：D　由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A、C；又f（0）＝c＜0，排除B.故选D. 5.已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则（　　） A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y1＝y3＜y2 D.y2＜y1＝y3 解析：D　二次函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴方程为x＝1，而（1－m）＋（1＋m）＝2，所以y1＝y3，当x＞1时，函数单调递增，因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以y2＜y3，综上，y2＜y1＝y3. 6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列结论正确的有（　　） A.m＝1 B.函数f（x）在定义域内单调递减 C.f（－2）＜f（3） D.函数f（x）的值域为（0，＋∞） 解析：AD　由f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝1，解得m＝1或m＝－，又m∈N*，所以m＝1，所以f（x）＝x－2＝，故A正确；因为函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＝＝＝f（x），知函数f（x）为偶函数，由于－2＜0，故f（x）＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，根据偶函数性质知f（x）＝x－2在区间（－∞，0）上单调递增，故B错误；f（－2）＝＝＞＝＝f（3），故C错误；因为f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），则x2＞0，所以f（x）＝的值域为（0，＋∞），故D正确. 7.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围为　（－∞，0]∪[3，＋∞）　. 解析：二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）. 8.（2026·广东东莞七校联考）已知A＝{α，β}⊆{－1，，2，3}，若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则写出一个符合条件的集合A＝　{－1，}（答案不唯一）　；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有　4　个. 解析：函数y＝x－1的图象与y＝，y＝x2，y＝x3的图象分别有1个，1个，2个交点；函数y＝的图象与y＝x2，y＝x3的图象都有2个交点；函数y＝x2的图象与y＝x3的图象有2个交点.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则A＝{－1，}或A＝{－1，2}.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象有2个交点，则A＝{－1，3}或{，2}或{，3}或{2，3}. 9.（13分）已知幂函数f（x）＝（2k－1）（m∈N*）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减. （1）求m和k的值； （2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围. 解：（1）由函数f（x）＝（2k－1）为幂函数，则2k－1＝1，解得k＝1. 由f（x）＝（m∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，得m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3， 而m∈N*，故m＝1或2， 当m＝1时，f（x）＝x－4，定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为偶函数，符合题意； 当m＝2时，f（x）＝x－3，定义域为{x｜x≠0}，函数为奇函数，不符合题意，故m＝1，k＝1. （2）由（1）得m＝1，则（2a＋1）－1＜（3－2a）－1， 即＜，故2a＋1＞3－2a＞0或0＞2a＋1＞3－2a或2a＋1＜0＜3－2a， 解得＜a＜或a∈⌀或a＜－. 故实数a的取值范围为（－∞，－）∪（，）. 10.直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝的图象在第一象限中经过（　　） A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 解析：D　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接近于x轴，∵－＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝的图象位于y＝x－1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D. 11.函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是（　　） A.[0，2] B.[2，4] C.[0，4] D.[4，＋∞） 解析：B　解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4]. 12.〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3） D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点 解析：ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故D不正确. 13.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是　（－3，0）　. 解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈⌀；若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）. 14.（15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a－1. （1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； （2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式. 解：（1）由题意知a≠0. 当a＞0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a＞0，所以0＜a≤； 当a＜0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（0，］. （2）①当0＜≤1，即a≥时， f（x）在区间[1，2]上单调递增， 此时g（a）＝f（1）＝3a－2； ②当1＜＜2，即＜a＜时， f（x）在区间［1，］上单调递减，在区间［，2］上单调递增，此时g（a）＝f（）＝2a－－1； ③当≥2，即0＜a≤时， f（x）在区间[1，2]上单调递减， 此时g（a）＝f（2）＝6a－3. 综上所述，g（a）＝ 15.〔创新设问〕设函数f（x）＝，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　） A.当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0 B.当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C.当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D.当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0 解析：B　令f（x）＝g（x），可得＝ax＋b.设F（x）＝，G（x）＝ax＋b，根据题意，F（x）＝的图象与G（x）＝ax＋b的图象只有两个交点，不妨设x1＜x2，结合图形可知，当a＞0时（如图1）， G（x）＝ax＋b的图象与F（x）＝图象的左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得｜x1｜＞x2，即－x1＞x2＞0，此时x1＋x2＜0，y2＝＞＝－y1，∴y1＋y2＞0；同理可得，当a＜0时（如图2），x1＋x2＞0，y1＋y2＜0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $