第2章 第4节 函数的对称性及应用-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦函数对称性及应用专题，涵盖奇函数偶函数对称性、轴对称中心对称公式、两函数图象对称关系及对称性与周期性单调性综合应用等核心考点，按定义推论、性质应用、综合拓展的逻辑层次组织知识，通过知识梳理、诊断自测、考向突破、真题训练四环节帮助学生构建系统知识网络，突破对称问题解题难点。 讲义采用定向精析与分层训练结合的教学策略，如考向突破中通过“一题多解”推导中心对称证明方法，培养学生数学思维与推理能力，设置基础诊断、能力提升、综合应用三级练习，配合即时反馈与方法总结，确保高效突破考点，既提升学生对称问题转化与应用能力，也为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

第4节　函数的对称性及应用 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 2.会利用对称公式解决问题. 知识梳理 1.奇函数、偶函数的对称性 （1）奇函数的图象关于　原点　对称，偶函数的图象关于　y轴　对称； （2）若f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）图象的对称轴为　x＝a　；若f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）图象的对称中心为　（a，0）　. 2.若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x），则函数的图象关于直线　x＝a　对称；若函数y＝f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x），则函数的图象关于点　（a，0）　对称. 3.两个函数图象的对称 （1）函数y＝f（x）与y＝f（－x）关于　y轴　对称； （2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）关于　x轴　对称； （3）函数y＝f（x）与y＝－f（－x）关于　原点　对称. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若函数y＝f（x）是奇函数，则函数y＝f（x－1）的图象关于点（1，0）对称.（　√　） （2）若函数y＝f（x＋1）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称.（　√　） （3）函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称.（　×　） （4）若函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称.（　√　） 2.函数f（x）＝图象的对称中心为（　　） A.（0，0） B.（0，1） C.（1，0） D.（1，1） 解析：B　因为f（x）＝＝1＋，由y＝的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋的图象，又y＝的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）＝1＋的图象关于点（0，1）对称. 3.已知定义在R上的函数f（x）在（－∞，2）上单调递增，且f（x＋2）＝f（2－x）对任意x∈R恒成立，则（　　） A.f（－1）＜f（3） B.f（0）＞f（3） C.f（－1）＝f（3） D.f（0）＝f（3） 解析：A　因为f（x＋2）＝f（2－x），所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，所以f（3）＝f（1），由于f（x）在（－∞，2）上单调递增，所以f（－1）＜f（1）＝f（3），f（0）＜f（1）＝f（3）.故选A. 4.若偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f（x）＝2x－1，则f（－1）＝　5　. 解析：∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f（1），由f（x）的图象关于直线x＝2对称，可得f（1）＝f（3）＝2×3－1＝5，∴f（－1）＝5. 5.已知函数y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点　（－1，2）　. 解析：y＝f（x）的图象与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，y＝f（x）的图象经过点P（1，－2），则函数y＝－f（－x）的图象必过点（－1，2）. 函数的对称性（定向精析突破） 考向1　轴对称 （1）已知函数f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，则关于x的不等式f（1－2x）＜f（－7）的解集为（　A　） A.（－∞，3） B.（3，＋∞） C.（－∞，2） D.（2，＋∞） 解析： 因为f（x－1）为偶函数，所以f（x－1）的图象关于y轴对称，则f（x）的图象关于直线x＝－1对称.因为f（x）在[－1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，－1]上单调递减.因为f（1－2x）＜f（－7）＝f（5），所以－7＜1－2x＜5，解得x＜3. （2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则所有交点的横坐标之和为（　C　） A.0 B.m C.2m D.4m 解析：依题意，函数f（x）（x∈R）满足f（4＋x）＝f（－x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称.函数y＝｜x2－4x－5｜的图象也关于直线x＝2对称，所以若函数y＝｜x2－4x－5｜与y＝f（x）图象的交点分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则x1＋x2＋…＋xm＝4×＝2m. 1.函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称⇔f（x）＝f（2a－x）⇔f（a－x）＝f（a＋x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. 考向2　中心对称 （1）（2026·江西九江模拟）设函数f（x）＝ax3－x－3＋a，若函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，则a＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：B　因为函数f（x－1）的图象关于点（1，0）对称，故函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，即f（x）为奇函数，f（0）＝0，故a＝0.故选B. （2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷18题节选）已知函数f（x）＝ln＋ax＋b（x－1）3.证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形. 证明：法一 ∵函数的定义域为（0，2），且f（2－x）＋f（x）＝ln＋a（2－x）＋b（1－x）3＋ln＋ax＋b（x－1）3＝2a， ∴f（x）关于点（1，a）中心对称. 法二 将f（x）向左平移一个单位长度⇒f（x＋1）＝ln＋a（x＋1）＋bx3关于点（0，a）中心对称， ∴f（x）关于点（1，a）中心对称. 1.函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称⇔f（a＋x）＋f（a－x）＝2b⇔2b－f（x）＝f（2a－x）. 2.若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点（，）成中心对称. 训练1 （1）已知函数f（x）＝3｜x－a｜＋2，且满足f（5＋x）＝f（3－x），则f（6）＝（　B　） A.29 B.11 C.3 D.5 解析： 因为f（5＋x）＝f（3－x），所以f（x）的图象关于直线x＝4对称，而f（x）＝3｜x－a｜＋2的图象关于直线x＝a对称，所以a＝4，f（6）＝3｜6－4｜＋2＝11.故选B. （2）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，f（2x＋2）是偶函数，则（　D　） A.f（0）＝0 B.f（）＝0 C.f（2）＝0 D.f（3）＝0 解析： f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋2）　①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f（x）的图象关于直线x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）　②；令x＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3）＝0.故选D. （3）（2026·江苏扬州模拟）已知定义域为R的函数f（x）在[1，＋∞）上单调递减，且f（x＋1）为奇函数，则使得不等式f（x2－x）＜f（2－2x）成立的实数x的取值范围为　（－∞，－2）∪（1，＋∞）　. 解析： 因为f（x＋1）为奇函数，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，因为f（x）在[1，＋∞）上单调递减，所以f（x）在R上是减函数，因为f（x2－x）＜f（2－2x），所以x2－x＞2－2x，即x2＋x－2＞0，解得x＜－2或x＞1，所以x的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）. 两个函数图象间的对称（师生共研过关） 已知函数y＝f（x）是定义域为R的函数，则函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象（　　） A.关于直线x＝1对称 B.关于直线x＝3对称 C.关于直线y＝3对称 D.关于点（3，0）对称 解析：A　设P（x0，y0）为y＝f（x＋2）图象上任意一点，则y0＝f（x0＋2）＝f（4－（2－x0）），所以点Q（2－x0，y0）在函数y＝f（4－x）的图象上，而点P（x0，y0）与点Q（2－x0，y0）关于直线x＝1对称，所以函数y＝f（x＋2）与y＝f（4－x）的图象关于直线x＝1对称. 破解两个函数图象间的对称的方法 （1）利用函数y＝f（a＋x）与函数y＝f（b－x）的图象关于直线x＝对称，即可求出对称轴； （2）利用图象的变换进行判断，注意口诀“左加右减”在解题中的应用. 训练2 （1）下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是（　C　） A.y＝ex－1 B.y＝e1－x C.y＝e2－x D.y＝ln x 解析： 与f（x）＝y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f（2－x）＝e2－x，即y＝e2－x. （2）〔一题多解〕已知f（x）＝ln（1－x），函数g（x）的图象与f（x）的图象关于点（1，0）对称，则g（x）的解析式为　g（x）＝－ln（x－1）　； 解析： 法一　设P（x，y）为函数y＝g（x）图象上任意一点，则点P（x，y）关于点（1，0）的对称点Q（2－x，－y）在函数y＝f（x）的图象上，即－y＝f（2－x）＝ln（x－1），所以y＝－ln（x－1），所以g（x）＝－ln（x－1）. 法二　f（x）＝ln（1－x）向左平移一个单位长度得y＝ln（－x），其关于原点对称的函数为y＝－ln x，再向右平移一个单位长度得y＝－ln（x－1），所以g（x）＝－ln（x－1）. 法三　y＝f（x）关于点（1，0）对称的函数g（x）＝－f（2－x）＝－ln（x－1）. （3）设函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，若f（3）＋f（9）＝1，则实数m＝　1　. 解析： ∵函数y＝f（x）的图象与y＝3x＋m的图象关于直线y＝x对称，∴x＝log3y－m，∴f（x）＝log3x－m，∴f（3）＋f（9）＝1－m＋2－m＝1，∴m＝1. 对称性的综合应用（定向精析突破） 考向1　对称性与周期性 〔多选〕设函数f（x）的定义域为R，f（2x＋1）为奇函数，f（x＋2）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b.若f（0）＋f（3）＝－1，则（　　） A.b＝－2 B.f（2 025） ＝－1 C.f（x）为偶函数 D.f（x）的图象关于点（1，0）对称 解析：ACD　由f（2x＋1）为奇函数，得f（－2x＋1） ＝－f（2x＋1），则f（－x＋1） ＝－f（x＋1），∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，D正确；由f（x＋2）为偶函数，∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f（x）的周期为4×（2－1）＝4，于是f（－x）＝f（x＋4）＝f（x），C正确；在f（－x＋1）＝－f（x＋1）中，令x＝0，得f（1）＝0，由x∈[0，1]时，f（x）＝ax＋b，可得f（0）＝1＋b，f（3）＝f（1）＝a＋b＝0，又f（0）＋f（3）＝－1，∴f（0）＝1＋b＝－1，解得b＝－2，A正确；f（2 025）＝f（4×506＋1） ＝f（1）＝0，B错误.故选A、C、D. 熟记对称性与周期性之间的三个常用结论 （1）若函数f（x）的图象关于两条不同的直线x＝a和x＝b对称，则函数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜； （2）若函数f（x）的图象关于两个不同的点（a，0）和（b，0）对称，则函数f（x）的周期为T＝2｜a－b｜； （3）若函数f（x）的图象关于直线x＝a和点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为T＝4｜a－b｜. 考向2　对称性、周期性与单调性的综合问题 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x－1）的图象关于点（1，0）中心对称，f（x＋2）是偶函数，且f（x）在[0，2]上单调递增，则（　　） A.f（10）＜f（19）＜f（13） B.f（10）＜f（13）＜f（19） C.f（13）＜f（10）＜f（19） D.f（13）＜f（19）＜f（10） 解析：D　因为f（x－1）的图象关于点（1，0）中心对称，所以f（x）的图象的对称中心是点（0，0），故f（x）为奇函数.因为f（x＋2）是偶函数，所以f（x）的图象的对称轴是直线x＝2，所以f（x）的周期为4×（2－0）＝8，所以f（10）＝f（2），f（19）＝f（3）＝f（1），f（13）＝f（5）＝f（－1）.因为f（x）在[0，2]上单调递增且f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上单调递增，所以f（－1）＜f（1）＜f（2），所以f（13）＜f（19）＜f（10）.故选D. 　　解决对称性、周期性与单调性的综合问题，一般要利用周期性与对称性缩小自变量的值或转换自变量所在的区间，然后利用单调性比较大小或解不等式. 训练3 （1）已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（x＋1）－2，若函数g（x）为奇函数，g（x＋1）为偶函数，且f（2）＝1，则g（k）＝（　B　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析： 因为函数g（x）为奇函数，定义域为R，所以g（0）＝0.又因为g（x＋1）为偶函数，所以g（x）的图象关于直线x＝1对称，g（2）＝g（0）＝0，又g（x）的周期为4×（1－0）＝4，f（2）＝1，所以g（1）＝f（1＋1）－2＝－1，g（3）＝g（－1）＝－g（1）＝1，g（4）＝g（0）＝0，所以g（1）＋g（2）＋g（3）＋g（4）＝0，于是g（k）＝5×[g（1）＋g（2）＋g（3）＋g（4）]＋g（1）＋g（2）＋g（3）＝0－1＋0＋1＝0，故选B. （2）〔多选〕（2026·湖南长沙模拟）若定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），在区间（0，1）上，有（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0，则下列说法正确的是（　AC　） A.函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称 B.函数f（x）的图象关于直线x＝2轴对称 C.在区间（2，3）上，f（x）单调递减 D.f（－）＞f（） 解析： f（4－x）＝f（2－（x－2））＝f（x－2）＝－f（2－x）＝－f（x），即f（4－x）＋f（x）＝0，故f（x）的图象关于点（2，0）中心对称，故A正确；∵f（2－x）＝f（x），则f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，故B错误；根据题意可得，f（x）在（0，1）上单调递增，∵f（x）的图象关于直线x＝1轴对称，关于点（2，0）中心对称，则f（x）在（2，3）上单调递减，故C正确；又∵f（x）＝f（2－x）＝－f（x－2），则f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），可知f（x）的周期为4，则f（－）＝f（）＜f（），故D错误. （时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.y＝tan x B.y＝x－1 C.y＝x3 D.y＝ln｜x｜ 解析：B　由正切函数的图象性质：y＝tan x关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由幂函数的图象性质：y＝x－1关于原点和y＝±x对称，符合；由幂函数的图象性质：y＝x3关于原点对称，但没有对称轴，不符合；由ln｜－x｜＝ln｜x｜，即y＝ln｜x｜关于y轴对称，但没有对称中心，不符合.故选B. 2.〔一题多解〕已知函数y＝f（x＋2）－3是奇函数，且f（4）＝2，则f（0）＝（　　） A.0 B.2 C.4 D.6 解析：C　法一　由y＝f（x＋2）－3是奇函数，∴f（－x＋2）－3＝－f（x＋2）＋3，令x＝2，f（0）－3＝－f（4）＋3，得f（0）＝4. 法二　由y＝f（x＋2）－3是奇函数，得f（x）关于点（2，3）对称，故f（0）＋f（4）＝6，即f（0）＝4. 3.已知函数f（x）＝，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为（　　） A.（－1，－3） B.（－1，3） C.（－1，－2） D.（－1，2） 解析：C　因为f（－1＋x）＋f（－1－x）＝＋＝－＝－4，所以函数f（x）的图象关于点（－1，－2）对称.故选C. 4.（2025·广东湛江一模）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（　　） A.3 B. C.－1 D.－ 解析：D　设点P（x，y）在函数y＝f（1－x）的图象上，点P关于直线x＝m的对称点为Q（x'，y'），则则即y'＝f（1－2m＋x'），即y＝f（1－2m＋x）与y＝f（1－x）关于直线x＝m对称，则1－2m＝2，得m＝－. 5.已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　） A.f（）＜f（）＜f（） B.f（）＜f（）＜f（） C.f（）＜f（）＜f（） D.f（）＜f（）＜f（） 解析：B　由题意知，函数f（x）的图象的对称轴方程是x＝1，∴f（）＝f（），又当x≥1时，f（x）＝2x－1，则函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，由f（x）的对称性知f（x）在（－∞，1）上单调递减.∵＜＜，∴f（）＜f（）＜f（），故选B. 6.〔多选〕（2026·江苏盐城模拟）已知非常数函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝－1对称 B.g（2 025）＝0 C.g（x）的最小正周期为4 D.对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x） 解析：ABD　因为f（x）为R上的奇函数，且g（x）＝f（x＋1）为偶函数，所以f（x）关于点（0，0）中心对称，且关于直线x＝1对称，所以直线x＝－1也是对称轴，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，所以f（x）＝f（2－x），A、D正确；由A分析知f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），故f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），所以f（x）是一个周期为4的周期函数，则g（2 025）＝f（2 026）＝f（2）＝f（0）＝0，B正确；不能说明g（x）的最小正周期为4，C错误. 7.（2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝　2　. 解析：由g（x）＝f （x）－2x2，那么g（－x）＝f （－x）－2x2，两式相加，可得g（－x）＋g（x）＝2，故g（x）的图象关于点（0，1）对称，其最大值和最小值也关于点（0，1）对称，所以M＋m＝2. 8.设函数f（x）＝若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x）成立，则实数a的取值范围是　（1，＋∞）　. 解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. 9.（13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； （2）求f（x）的单调区间. 解：（1）f（x）的图象关于直线x＝2对称.证明如下： 由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）. 因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4， f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. （2）设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 10.（2026·海南海口调研）已知函数f（x）的定义域为R，f（x＋）为偶函数，f（2－x）＋f（x）＝0，f（）＝－，则f（）＝（　　） A. B. C.0 D.－ 解析：A　因为f（x＋）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝对称，又f（2－x）＋f（x）＝0，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，故函数f（x）的周期为4×（1－）＝2，故f（）＝f（＋4）＝f（），故f（）＝－f（）＝－f（）＝，故f（）＝. 11.（2026·四川雅安诊断）已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），∀x∈R，f（＋x）＝f（－x）恒成立.当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＞0，f（0）＝－f（2），则不等式f（x）（x2＋2x＋3）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（2，＋∞） B.（0，2） C.（－∞，0）∪（1，2） D.（0，1）∪（2，＋∞） 解析：A　因为f（＋x）＝f（－x），所以f（x）的图象关于直线x＝＝1对称，所以f（0）＝f（2），又因为f（0）＝－f（2），所以f（0）＝f（2）＝0.因为当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＞0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减.因为x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2＞0，所以f（x）（x2＋2x＋3）＞0等价于f（x）＞0.当x≥1时，f（x）＞0＝f（2），结合单调性可知x＞2；当x＜1时，f（x）＞0＝f（0），结合单调性可知x＜0.故f（x）（x2＋2x＋3）＞0的解集为（－∞，0）∪（2，＋∞）. 12.〔多选〕（2025·浙江杭州调考）已知定义域为R的函数f（x）在（－1，0]上单调递增，f（1＋x）＝f（1－x），且图象关于点（2，0）对称，则（　　） A.f（0）＝f（－2） B.f（x）的周期T＝2 C.f（x）在（2，3）上单调递减 D.f（x）满足f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027） 解析：AC　由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为x＝1，所以f（0）＝f（2），又由函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，可得f（x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－2），故A正确.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f（x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以f（x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递减，故f（x）的最小正周期为4，故B错误，C正确.根据f（x）的周期为4，可得f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（2），f（2 027）＝f（3），因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），即f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（0），f（2 027）＝f（－1），又函数f（x）在[0，1）上单调递增，在（－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f（－1）＝f（1）＝0，则f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027）不成立，故D错误. 13.已知函数y＝f（x）－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f（x）共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则（xi＋yi）＝　6　. 解析：∵y＝f（x）－1为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称.又y＝1＋的图象关于点（0，1）对称，∴x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，∴（xi＋yi）＝（x1＋x2＋…＋x6）＋（y1＋y2＋…＋y6）＝6. 14.（15分）对于定义在R上的函数f（x），可以证明“点A（m，n）是f（x）的图象的一个对称中心”的充要条件是“f（m－x）＋f（m＋x）＝2n，x∈R”. （1）求函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心； （2）函数f（x）＝ax3＋（b－2）x2（a≤0，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件，并讨论在区间[－1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥－x2＋4x－2恒成立. 解：（1）设A（m，n）为函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f（m－x）＋f（m＋x）＝2n对于x∈R恒成立， 即（m－x）3＋3（m－x）2＋（m＋x）3＋3（m＋x）2＝2n对x∈R恒成立，所以（6m＋6）x2＋（2m3＋6m2－2n）＝0. 由解得 故函数f（x）的图象的一个对称中心为点（－1，2）. （2）由f（x）是奇函数，知b＝2. 不存在常数a（a≤0）使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，理由如下： 依题意，此时f（x）＝ax3，令g（x）＝－x2＋4x－2，x∈[－1，1]，所以g（x）∈[－7，1]. 若a＝0，f（x）＝0，不符合题意； 若a＜0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递减， f（x）min＝a，若存在a使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a≥1，与a＜0矛盾，不符合题意. 综上可知，符合条件的a不存在. 15.〔创新设问〕〔多选〕已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f（x）＝f（），f（x）＝2－f（），下列结论正确的有（　　） A.f（1）＝1 B.f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称 C.f（2x）的图象关于直线x＝1轴对称 D.f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10 解析：ABD　A对，对于f（x）＝2－f（），令x＝1，得f（1）＝2－f（1），所以f（1）＝1.B对，由f（x）＝2－f（）可得，f（x）＋f（）＝2，则f（2x）＋f（2－x）＝2，所以f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称.C错，由f（x）＝f（）可得f（2x）＝f（21－x），所以f（2x）的图象关于直线x＝轴对称.D对，令g（x）＝f（2x），则g（x）的图象关于点（0，1）中心对称，且关于直线x＝轴对称，由f（1）＝1可得，g（0）＝1，结合g（x）图象的对称性可得g（1）＝g（2）＝g（3）＝…＝g（10）＝1，如图，所以f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10.故选A、B、D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $