第1章 微专题 对勾函数模型-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦对勾函数模型这一高考核心考点，涵盖函数变形、单调性分析及最值求解，按“基础模型-变形应用-区间分类”逻辑架构知识点。通过考点梳理（对勾函数性质）、方法指导（换元法与单调性判断）、真题训练（典型例题及分层练习），帮助学生突破基本不等式失效时的解题难点，体现复习教学的系统性和针对性。 资料以问题驱动设计教学，通过基本不等式“三相等”不满足的实例引出对勾函数，培养学生数学思维（推理能力）。采用换元转化策略（如令t=x²+2将复杂函数抽象为对勾函数模型），发展数学眼光（抽象能力）。设置基础巩固、能力提升练习配合即时解析，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

微专题　对勾函数模型 函数f（x）＝x2＋的最小值为　　. 解析：由f（x）＝x2＋＝x2＋2＋－2，令x2＋2＝t（t≥2），g（t）＝t＋－2，由对勾函数的性质知，g（t）在[2，＋∞）上单调递增，所以当t＝2时，g（t）min＝，即x＝0时，f（x）min＝. 解法探究　本例虽然变形后f（x）＝x2＋2＋－2类似于基本不等式的结构形式，但代数式（x2＋2）＋中只满足“一正、二定”，并不满“三相等”，即x2＋2≠（若x2＋2＝，则x2＋2＝，无解），使得本例不能用基本不等式模型求解，那么如何求解呢？ 我们自然联想到 人A必修一P92探究与发现中与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型.如图，对于函数f（x）＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆（0，＋∞）. （1）当∈[a，b]，f（x）＝x＋≥2，f（x）min＝f（）＝＋＝2； （2）当＜a，f（x）＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f（x）min＝f（a）＝a＋； （3）当＞b，f（x）＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f（x）min＝f（b）＝b＋. 因此，只有在∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时，只能利用对勾函数的单调性求最值. 1.函数f（x）＝x＋在区间[1，3]上的最大值是（　　） A.3 B.5 C.4 D. 解析：B　由对勾函数图象的特点可知，x＝2时函数有最小值，x＝1时，函数有最大值为5. 2.若函数f（x）＝x＋（k＞0）在除去0的整数集合Z内单调递增，则实数k的取值范围为　（0，）　. 解析：已知k＞0，令x＝得x＝±，则f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调递增，在（－，0）和（0，）上单调递减，由题意得解得0＜k＜. 3.函数f（x）＝在[－1，1]上的值域为　[－3，1]　. 解析：令t＝3－2x，x∈[－1，1]，则有t∈[1，5]，g（t）＝＝＝（t＋）－3，易知g（t）在[1，）上单调递减，在（，5]上单调递增，当t＝时，g（t）min＝－3，当t＝1时，g（t）＝1；当t＝5时，g（t）＝，比较得g（t）max＝1，所以f（x）＝在[－1，1]上的值域为[－3，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $