第1章 第6节 一元二次不等式及其解法-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦一元二次不等式及其解法核心考点，涵盖三个"二次"关系、分式与绝对值不等式解法、恒成立问题等高考重点，按知识梳理-诊断自测-考向突破-分层训练逻辑架构，通过考点梳理构建知识网络，方法指导提炼解题策略，真题训练强化应用能力，助力学生系统突破不等式求解难点。 资料以数学思维培养为核心，创新采用分类讨论解含参不等式、数形结合分析三个"二次"关系等教学策略，如含参不等式中通过参数范围分类讲解解集，渗透逻辑推理能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时诊断与错题精讲，确保学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第6节　一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 知识梳理 1.一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式. 提醒：对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　×　） （2）≥0等价于（x－a）（x－b）≥0.（　×　） （3）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　√　） （4）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　×　） 2.不等式（x－2）（3－2x）≥0的解集为（　　） A.（，＋∞） B.［，2］ C.[2，＋∞） D.（－∞，］ 解析：B　由（x－2）（3－2x）≥0，得（x－2）（2x－3）≤0，解得≤x≤2，故原不等式的解集为［，2］. 3.若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x｜－＜x＜}，则a－b＝（　　） A.－10 B.－14 C.10 D.14 解析：A　由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a－b＝－10. 4.不等式｜5－2x｜＜9的解集为　（－2，7）　. 解析：｜5－2x｜＜9，即｜2x－5｜＜9，即－9＜2x－5＜9，解得－2＜x＜7. 5.若关于x的不等式x2－2ax＋18＞0恒成立，则实数a的取值范围为　（－3，3）　. 解析：由题意得Δ＝4a2－4×18＜0，解得－3＜a＜3. 一元二次不等式的解法（定向精析突破） 考向1　不含参一元二次不等式的解法 〔多选〕下列选项中，正确的是（　　） A.不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞1} B.不等式≤1的解集为{x｜－3≤x＜2} C.不等式｜x－2｜≥1的解集为{x｜1≤x≤3} D.不等式－x≤1的解集为{x｜0≤x≤2} 解析：BD　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故A错误；因为－1≤0，即≤0，即（x＋3）（x－2）≤0（x－2≠0），解得－3≤x＜2，所以不等式的解集为{x｜－3≤x＜2}，故B正确；由｜x－2｜≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x｜x≤1或x≥3}，故C错误；原不等式等价于上述不等式组的解集为{x｜x＋1≥0}∩{x｜x2－2x≤0}，即原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}，故D正确. 1.可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集. 2.分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组. 考向2　含参一元二次不等式的解法 已知函数f（x）＝ax2＋3x＋2.若a＞0，解关于x的不等式f（x）＞－ax－1. 解：不等式f（x）＞－ax－1可化为ax2＋（a＋3）x＋3＞0，即（ax＋3）（x＋1）＞0. 因为a＞0，所以当－＜－1，即0＜a＜3时，原不等式的解集为{x｜x＜－或x＞－1}； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x｜x≠－1}； 当－＞－1，即a＞3时，原不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞－}. 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 训练1 （1）不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}　； 解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. （2）解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. （2）解：由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时， 方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以原不等式的解集为{x｜≤x≤}. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0， 即（x－1）2≤0，所以x＝1； 当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0， 即（x＋1）2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为{x｜≤x≤}； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为⌀. 三个二次之间的关系（师生共研过关） 〔多选〕（2026·海南华侨中学考试）已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x｜x≤－2或x≥1}，则（　　） A.a＜0 B.cx＋b＞0的解集是{x｜x＜} C.a－b＋c＜0 D.cx2＋bx＋a≤0的解集为{x｜－≤x≤1} 解析：AD　由题知，a＜0，且－＝－2＋1＝－1，＝－2×1＝－2，即b＝a，c＝－2a，故A正确；由cx＋b＞0可得－2ax＋a＞0，即2x－1＞0，所以x＞，故B错误；a－b＋c＝－2a＞0，故C错误；由cx2＋bx＋a≤0可得－2ax2＋ax＋a≤0，所以2x2－x－1≤0，解得－≤x≤1，故D正确.故选A、D. “三个二次”之间的关系及其应用 （1）一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或利用根与系数的关系求解. 训练2 （1）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式bx2－cx＋3≤0的解集为（　D　） A.（－∞，－1] B.（－∞，－3]∪[1，＋∞） C.[3，＋∞） D.（－∞，－1]∪[3，＋∞） 解析：（1）根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根，故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2，则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0，解得x≥3或x≤－1.故不等式的解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. （2）〔多选〕（2026·山东枣庄调研）已知关于x的不等式（x＋2）（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），则（　ABD　） A.x1＋x2＝2 B.x1x2＜－8 C.－2＜x1＜x2＜4 D.x2－x1＞6 解析：（2）因为关于x的不等式（x＋2）·（x－4）＋a＜0（a＜0）的解集是（x1，x2）（x1＜x2），所以x1，x2是一元二次方程x2－2x－8＋a＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，故A正确；x1x2＝a－8＜－8，故B正确；x2－x1＝＝2＞6，故D正确；由x2－x1＞6，x1＋x2＝2，可得x1＜－2，x2＞4，故C错误.故选A、B、D. 一元二次不等式恒成立问题（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题6题改编〕当k取什么值时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？ 解：当k＝0时，不等式显然成立， 当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－开口向上，2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立. 当k＜0时，若一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则Δ＜0，即k2＋3k＜0（k＜0），解得－3＜k＜0. 综上，当－3＜k≤0时，不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立. 细研教材：不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立满足的条件： （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 变式1 若不等式2kx2＋kx－＜0，其对x∈[1，2]恒成立，则实数k的取值范围为　（－∞，）　；其在x∈[1，2]上有解，则实数k的取值范围为　（－∞，）　. 解析：不等式2kx2＋kx－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k（2x2＋x）－＜0对x∈[1，2]恒成立，即k＜对x∈[1，2]恒成立⇔k＜（）min，易知f（x）＝在x∈[1，2]上单调递减，f（x）min＝，即k＜.在x∈[1，2]上有解，即k＜f（x）max，又f（x）max＝，即k＜. 变式2 若不等式2kx2＋kx－＜0对任意0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围为（　　） A.（－，） B.（－，） C.（－，） D.（－，） 解析：B　若不等式对任意0≤k≤1恒成立，则（2x2＋x）k－＜0，即解得－＜x＜. 变式3 若恰有一个整数x使得不等式2kx2＋kx－＜0成立，则实数k的取值范围为　［，＋∞）　. 解析：若恰有一个整数x使得不等式成立，则k＞0，因为－＜0，且f（x）＝2kx2＋kx－图象的对称轴为直线x＝－＝－，所以该整数解为x＝0，结合二次函数f（x）＝2kx2＋kx－（k＞0）的图象，可得即解得k≥. 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 训练3 （1）若不等式mx2－4mx＋3≠0对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（　B　） A.（0，） B.［0，） C.（0，） D.［0，） 解析：（1）①当m＝0时，3≠0恒成立，满足条件.②当m≠0时，则Δ＝16m2－12m＜0，解得0＜m＜.综上，实数m的取值范围是0≤m＜. （2）已知∀x∈[1，2]，∀y∈[2，3]，y2－xy－mx2≤0，则实数m的取值范围为　[6，＋∞）　. 解析：（2）因为x∈[1，2]，y∈[2，3]，则∈［，1］，所以∈[1，3]，又y2－xy－mx2≤0，可得m≥（）2－，令t＝∈[1，3]，则∀t∈[1，3]，m≥t2－t，即只需m≥（t2－t）max，t2－t＝（t－）2－，当t＝3时，t2－t取到最大值，（t2－t）max＝9－3＝6，所以实数m的取值范围是[6，＋∞）. （时间：60分钟，满分：91分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 解析：C　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1.故选C. 2.（2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是（　　） A.－2＜x＜4 B.x＞－2 C.2≤x≤3 D.x＜4 解析：C　由x2－2x－8＜0即（x＋2）（x－4）＜0，解得－2＜x＜4.对比选项，只有{x｜2≤x≤3}是{x｜－2＜x＜4}的真子集，可知不等式x2－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是2≤x≤3.故选C. 3.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（0，） B.（－∞，） C.（，＋∞） D.（0，） 解析：A　由题意得x≠0，当x＞0时，原不等式即为x（1－2x）＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x（1－2x）＞0，所以x＜0.综上，原不等式的解集为（－∞，0）∪（0，）. 4.不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1或x＞3} B.{x｜－1＜x＜2或2＜x＜3} C.{x｜－1＜x＜3} D.{x｜－2＜x＜3} 解析：C　（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0可化为（x－3）（x＋1）（x＋2）2＜0，当x＝－2时，不等式显然不成立；当x≠－2时，（x＋2）2＞0，所以原不等式等价于（x－3）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜3.综上，原不等式的解集为{x｜－1＜x＜3}. 5.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（　　） A. B.1 C.2 D. 解析：D　由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0（a＞0）的实数根，所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又因为x2－x1＝15，所以152＝（x1＋x2）2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，又a＞0，解得a＝. 6.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（　　） A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－} C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4} D.当a＝－时，不等式的解集为⌀ 解析：AD　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确；由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 7.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为　（－，0］∪［1，）　. 解析：由1≤｜2x－1｜＜2得，－2＜2x－1≤－1或1≤2x－1＜2，解得－＜x≤0或1≤x＜. 8.若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为　［－2，）　. 解析：当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集.当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2＜a＜.综上，实数a的取值范围是［－2，）. 9.（10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集. 解：ax2－3x＋2＞ax－1⇒ax2－（a＋3）x＋3＞0⇒（ax－3）（x－1）＞0， 当a＝0时，不等式化为x－1＜0，不等式的解集为{x｜x＜1}； 当a＜0时，不等式化为（x－）（x－1）＜0，不等式的解集为{x｜＜x＜1}； 当0＜a＜3时，＞1，不等式化为（x－）（x－1）＞0，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}. 综上，当a＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜1}；当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＜1}； 当0＜a＜3时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}. 10.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是（　　） A.[－1，3] B.（－∞，－1] C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 解析：D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4），则∴x＜－1或x＞3. 11.（2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75%，则V的取值范围为（　　） A.（5，10] B.（5，15] C.（5，20] D.（5，30] 解析：D　第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意有≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得2≤V≤30，又V－5＞0，即V＞5，所以5＜V≤30.故选D. 12.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（　　） A.（6，7] B.[－3，－2） C.[－3，－2）∪（6，7] D.[－3，7] 解析：C　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C. 13.若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为　8　. 解析：因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－代入解得a≥8.所以a的最小值为8. 14.（15分）设函数f（x）＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）. （1）求不等式x2＋ax＋b＞0的解集； （2）若∀x∈[－1，3]，f（x）≥mx2，求实数m的取值范围. 解：（1）因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）， 所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则解得 因此所求不等式即为x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞2}. （2）f（x）≥mx2可化为（m＋1）x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立； 当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－＋3（）2对∀x∈[－1，0）∪（0，3]恒成立， 令t＝∈（－∞，－1]∪［，＋∞），则m＋1≤－2t＋3t2， 当t＝，即x＝3时，（－2t＋3t2）min＝－， 所以m＋1≤－，即m≤－. 故实数m的取值范围为（－∞，－］. 15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2.若当x＞2时，f（x）＞0，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞） 解析：B　f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝若a＞2，当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax－2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不符合题意；若0＜a≤2，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞2a，则2a≤2，即0＜a≤1；若a＝0，当x＞2时，f（x）＝x2＞0恒成立，符合题意；若a＜0，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）·（x＋a）＞0，解得x＞－a，则－a≤2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1，故a的取值范围是[－2，1].　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $