第1章 第5节 基本不等式的综合应用-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式综合应用，涵盖变形应用、恒成立问题及与函数、解析几何等知识的交汇考点，以教材母题为起点，通过变式拓展、师生共研、分层训练构建“考点梳理-方法提炼-真题应用”体系，助力学生突破难点。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，如借助圆中线段关系推导均值不等式链，培养数学思维与逻辑推理能力，设置多选、一题多解等题型，配合即时反馈，确保高效复习，为教师提供精准节奏指导，提升学生解题能力。

第5节　基本不等式的综合应用 1.掌握基本不等式及其常见变形. 2.会求与基本不等式有关的恒（能）成立问题. 3.掌握基本不等式在其他知识中的应用. 基本不等式的变形应用（师生共研过关） 教材母题：〔人A必修一P45探究〕如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 解：可证△ACD∽△DCB，因而CD＝. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为≤. 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立. 变式 如图，以O为圆心，AD＝a，DB＝b，过点O作AB的垂线交半圆O于点C，再过点D作AB的垂线，交半圆O于点E，连接OE，CD，过点D作OE的垂线，垂足为点F.试研究线段CD，OC，DE，EF与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用基本不等式证明所得到的猜测吗？ 解：OC＝，CD＝＝ ＝， 由教材母题知DE＝，在△ODE中，由等面积法得DF＝＝，又由△EFD∽△DFO，得EF＝＝.由图形易知EF＜DE＜OC＜CD.故≤≤≤（a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时等号成立. 利用基本不等式证明如下： 由＝，所以即证≤，即证≤1，即证2≤a＋b，即证≤，显然上式成立.所以≤≤（当且仅当a＝b时取等号）. 要证≤，即证（）2≤，即证≤，即证a2＋2ab＋b2≤2a2＋2b2，即证a2＋b2－2ab≥0，即证（a－b）2≥0，显然上式成立.所以≤（当且仅当a＝b时取等号）. 综上可得，若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤成立，当且仅当a＝b时取等号. 　　若实数a＞0，b＞0，则有≤≤≤，当且仅当a＝b时取等号.其中，叫做正实数a，b的调和平均数，叫做正实数a，b的几何平均数，叫做正实数a，b的算术平均数，叫做正实数a，b的平方平均数. 训练1 〔多选〕已知a，b∈R，则下列不等式成立的是（　　） A.≥ B.≤ C.≤ D.ab≤ 解析：BD　A选项，由选项可知a与b同号，当a＞0且b＞0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a＜0且b＜0时，＜0，＞0，该不等式不成立，故A选项错误；B选项，当a＋b＞0时，＞0，则（）2－（）2＝＝≤0恒成立，即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；C选项，当a＋b＞0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≤恒成立，当a＋b＜0时，2ab－＝≤0，即2ab≤，≥，故C选项错误；D选项，ab－＝＝≤0，ab≤恒成立，故D选项正确. 与基本不等式有关的恒（能）成立问题（师生共研过关） 已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为（　　） A.4 B.6 C.8 D.9 解析：A　因为a＞0，b＞0，≤恒成立，即m≤＝＝＋＋2恒成立，即m≤（＋＋2）min，又因为＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b时取等号，所以m≤4，所以m的最大值为4. 　　对于不等式恒（能）成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值. 训练2 若两个正实数x，y满足＋＝2，且不等式x＋＜m2－m有解，则实数m的取值范围为　（－∞，－1）∪（2，＋∞）　. 解析：由＋＝2，则x＋＝（＋）（x＋）＝（2＋＋）≥（2＋2）＝2，当且仅当＝，即y＝4x＝4时取等号，由不等式x＋＜m2－m有解，得m2－m＞2，解得m＜－1或m＞2，所以实数m的取值范围是（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 基本不等式与其他知识交汇的最值问题（师生共研过关） 〔一题多解〕在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是　4　. 解析：法一　由题意可设P（x0，x0＋）（x0＞0），则点P到直线x＋y＝0的距离d＝＝≥＝4，当且仅当2x0＝，即x0＝时取等号.故所求最小值是4. 法二　设P（x0，＋x0）（x0＞0），则曲线在点P处的切线的斜率为k＝1－.令1－＝－1，结合x0＞0得x0＝，∴P（，3），曲线y＝x＋（x＞0）上的点P到直线x＋y＝0的最短距离即为此时点P到直线x＋y＝0的距离，故dmin＝＝4. 　　基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、解三角形、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 训练3 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则sin B的取值范围是　（0，］　. 解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以cos B＝＝＝.因为a2＋c2≥2ac，当且仅当a＝c时取等号，所以3（a2＋c2）－2ac≥4ac＞0，所以cos B＝≥＝.又y＝cos x在区间（0，π）上单调递减，所以0＜B≤，所以0＜sin B≤. （时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知p：a＞b＞0，q：＞（）2，则p是q成立的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴＞（）2，∴由p可推出q；当a＜0，b＜0时，q也成立，如a＝－1，b＝－3时，＝5＞（）2＝4，∴由q推不出p，∴p是q成立的充分不必要条件. 2.已知x＞0，y＞0且3x＋2y＝10，则＋的最大值为（　　） A. B. C.2 D.2 解析：D　因为x＞0，y＞0，3x＋2y＝10，所以≤＝，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最大值为2. 3.设a＞0，b＞0，若ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，则＋的最小值为（　　） A.6 B.8 C.9 D.12 解析：B　∵ln 是ln 3a与ln 9b的等差中项，∴2ln ＝ln 3a＋ln 9b，即ln 3＝ln（3a·9b）＝ln 3a＋2b＝（a＋2b）ln 3，∴a＋2b＝1，又a＞0，b＞0，∴＋＝（＋）（a＋2b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立. 4.（2025·湖南衡阳一模）若a＞b＞1，x＝ln，y＝（ln a＋ln b），z＝，则（　　） A.x＜z＜y B.y＜z＜x C.z＜x＜y D.z＜y＜x 解析：D　由x＝ln，y＝（ln a＋ln b）＝ln，z＝，而a＞b＞1，则ln a＞ln b＞0，所以（ln a＋ln b）＞，即y＞z，由＞，则ln＞ln，即x＞y，综上，x＞y＞z.故选D. 5.（2026·浙江湖州多校联考）已知正实数x，y满足3x＋y＝1，若不等式＋≤m有解，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，2] B.（－∞，2＋1] C.[2，＋∞） D.[2＋1，＋∞） 解析：D　因为正实数x，y满足3x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，所以＋的最小值为2＋1.因为不等式＋≤m有解，所以m≥2＋1，即实数m的取值范围为{m｜m≥2＋1}. 6.〔多选〕设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.有最大值 B.＋有最小值3 C.a2＋b2有最小值 D.＋有最大值 解析：ACD　对于A，由基本不等式可得≤＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；对于B，由≤＝＝，得＋≥， 当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝时，等号成立，B错误；对于C，由≥＝，得a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C正确；对于D，由≤＝，得＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，D正确. 7.（2026·浙江绍兴模拟）原点到直线l：λx＋y－λ＋1＝0（λ∈R）的距离的最大值为　　. 解析：设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得d＝＝＝，显然当λ＜0时，有最大值，此时－＝，因为（－λ）＋（－）≥2＝2，当且仅当λ＝－1时，等号成立，所以≤＝1，所以dmax＝. 8.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为　9　. 解析：由题意得（1＋x）＋（1＋2y）＝6，1＋x＞1，1＋2y＞1，所以（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时取等号. 9.（13分）已知正实数x，y满足等式＋＝2. （1）求xy的最小值； （2）若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围. 解：（1）由题知2＝＋≥2， 即xy≥3，当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立，所以xy的最小值为3. （2）3x＋y＝（3x＋y）（＋） ＝（6＋＋）≥（6＋2）＝6， 当且仅当＝，即x＝1，y＝3时，等号成立. 即（3x＋y）min＝6. 所以m2－m≤6，解得－2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[－2，3]. 10.（2026·四川德阳模拟）设双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e＝（　　） A. B.2 C. D.3 解析：C　双曲线－＝1（a＞0）的离心率为e＝，e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，此时e＝＝. 11.〔一题多解〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，不等式＋＋≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A.{m｜m≥2} B.{m｜m≥4} C.{m｜m≥6} D.{m｜m≥8} 解析：B　法一　由题设得m≥4（a＋b）－（＋）（a＋b）＝4（a＋b）－（a＋b）2恒成立，而4（a＋b）－（a＋b）2＝4－（a＋b－2）2，又a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以4（a＋b）－（a＋b）2≤4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m≥4.故选B. 法二　不等式＋＋≥4恒成立，即＋≥4恒成立，即a＋b＋≥4恒成立，而a＋b＋≥2，当且仅当a＋b＝，即（a＋b）2＝m时取等号，故2≥4.又m是正实数，故m≥4.故选B. 12.某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价%，第二次提价%，其中p＞q＞0.则经过两次提价后哪种方案的提价幅度最大（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定 解析：C　设该商品原价为a（a＞0），按甲、乙、丙三种方案两次提价后的价格依次为y1，y2，y3，则y1＝a（1＋p%）（1＋q%），y2＝a（1＋q%）（1＋p%），y3＝a（1＋%）2，因为p＞q＞0，由基本不等式可得（1＋p%）（1＋q%）＜［］2＝（1＋%）2，所以y1＝y2＜y3，故丙方案的提价幅度最大. 13.函数y＝＋的最大值为　2　. 解析：函数的定义域为x∈［，］，由≤，得a＋b≤2，则y＝＋≤2＝2，当且仅当＝，即x＝时，等号成立. 14.（15分）设函数f（x）＝4x－a·2x＋b，且f（0）＝0，f（1）＝2. （1）求a，b的值； （2）若∃x∈（－∞，3]，使得f（x）＜m·2x－3成立，求实数m的取值范围. 解：（1）由题意得，f（0）＝1－a＋b＝0，f（1）＝4－2a＋b＝2，解得a＝1，b＝0. （2）由（1）知f（x）＝4x－2x， 所以f（x）＜m·2x－3可化为m＞2x＋3·2－x－1. 故原问题等价于∃x∈（－∞，3]，使得m＞2x＋3·2－x－1成立. 则当x∈（－∞，3]时，m＞（2x＋3·2－x－1）min， 设h（x）＝2x＋3·2－x－1，x∈（－∞，3]， 令t＝2x，则t∈（0，8]，设p（t）＝t＋－1，t∈（0，8]， 则p（t）≥2－1，当且仅当t＝时取等号，所以当t＝时，p（t）即h（x）取得最小值2－1，所以m＞2－1. 故实数m的取值范围是（2－1，＋∞）. 15.〔创新设问〕〔多选〕若a＞1，b＞1，且ab＝e2，则（　　） A.2e≤a＋b＜e2＋1 B.0＜ln a·ln b≤1 C.2－1≤ln a＋logab＜2 D.aln b的最大值为e 解析：ABD　由a＞1，b＝＞1，得1＜a＜e2，因为函数f（a）＝a＋b＝a＋在（1，e）上单调递减，在[e，e2）上单调递增，所以2e≤a＋b＜e2＋1，故A正确；因为ab＝e2，所以有ln a＋ln b＝2，于是0＜ln a·ln b≤（）2＝1，当且仅当a＝b＝e时，等号成立，故B正确；ln a＋logab＝ln a＋＝ln a＋＝ln a＋－1，设t＝ln a∈（0，2），所以φ（t）＝t＋－1在（0，）上单调递减，在[，2）上单调递增，所以φ（t）＝t＋－1∈[2－1，＋∞），故C错误；设λ＝aln b，所以ln λ＝ln aln b＝ln b·ln a≤1，所以λ≤e，故D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $