第1章 第4节 基本不等式-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖推导过程、最值问题及实际应用，按“知识梳理-诊断自测-考向突破-实战训练”逻辑架构，通过配凑法、常数代换法等方法指导和真题演练，帮助学生构建解题体系，突破应用难点。 讲义采用一题多解策略（如消元法结合函数导数）培养数学思维，设计分层练习（基础诊断、能力训练）保障复习效果，如“x+3y=2求1/x+3/y最小值”用常数代换法强化应用意识，助力学生高效掌握，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第4节　基本不等式 1.了解基本不等式的推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 知识梳理 1.基本不等式≤ （1）基本不等式成立的条件是：　a＞0，b＞0　； （2）等号成立的条件是：当且仅当　a＝b　时，等号成立； （3）其中叫做正数a，b的　算术　平均数，叫做正数a，b的　几何　平均数. 提醒：应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 2.基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记：积定和最小）； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2 （简记：和定积最大）. 1.a2＋b2≥2ab；ab≤（）2（a，b∈R）. 2.＋≥2（a，b同号）. 3.≥（）2（a，b∈R）. 4.≥≥（a＞0，b＞0）. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.（　×　） （2）函数y＝x＋的最小值是2.（　×　） （3）已知0＜x＜1，则x（1－x）取最大值时x＝.（　√　） （4）x，y＞0是＋≥2的充要条件.（　×　） 2.已知m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是（　　） A.9 B.18 C.9 D.27 解析：B　因为m＞0，n＞0，由基本不等式m＋n≥2，得m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，所以m＋n的最小值是18. 3.函数y＝x＋（x≥0）的最小值为　1　. 解析：因为x≥0，所以x＋1＞0，＞0，利用基本不等式得y＝x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立.所以函数y＝x＋（x≥0）的最小值为1. 4.已知x，y∈（0，＋∞），若2x＋3y＝1，则＋的最小值为　5＋2　. 解析：＋＝（＋）（2x＋3y）＝5＋＋≥5＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立. 5.（2025·云南昆明模拟）若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　　25 m2. 解析：设矩形场地的长为x m，宽为y m，则x＋y＝10，所以矩形场地的面积为S＝xy≤（）2＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号. 基本不等式的理解（基础自学过关） 1.已知实数a，b，则“ab≥0”是“a＋b≥2”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　当a＜0，b＜0时，a＋b＜2，充分性不成立；因为a＋b≥2等价于（－）2≥0，所以a≥0，b≥0，ab≥0，必要性成立.所以“ab≥0”是“a＋b≥2”的必要不充分条件.故选B. 2.若实数a，b满足a＞b＞0，则下列不等式中恒成立的是（　　） A.＋2b＞2 B.＋2b＜2 C.a＞＞b＞ D.a＞＞＞b 解析：D　因为a＞0，b＞0，所以＋2b≥2＝2，当且仅当＝2b，即a＝4b时取等号，故A、B错误；因为a＞b＞0，所以2a＞a＋b＞2，所以a＞＞，又ab＞b2，所以＞b，故a＞＞＞b，故C错误，D正确. 3.〔多选〕（2026·山西大同模拟）下列命题正确的是（　　） A.若x＜0，则x＋≤－2 B.若x＞0，则x－≤－2 C.若x∈R且x≠0，则x＋≥2 D.当x∈（0，］时，sin x＋的最小值为4 解析：AC　当x＜0时有－x＞0，则x＋＝－（－x＋）≤－2＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立，A正确；当x＞0时，y＝x－单调递增，其值域为R，B错误；若x∈R且x≠0，则x＋＝｜x｜＋≥2＝2，当且仅当｜x｜＝，即x＝－1或x＝1时，等号成立，C正确；当sin x＞0时，sin x＋≥2＝4，当且仅当sin x＝，即sin x＝2时取等号，但当x∈（0，］时，0＜sin x≤1，故D错误. 利用基本不等式判断命题真假的步骤 （1）检查是否满足应用基本不等式的条件； （2）应用基本不等式； （3）检验等号是否成立. 利用基本不等式求最值（定向精析突破） 考向1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为（　B　） A.6 B.8 C.10 D.12 解析：（1）因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋＝4（x＋1）＋－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当即x＝时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为8. （2）已知0＜x＜，则x的最大值为（　D　） A. B. C. D. 解析：（2）因为0＜x＜，则1－2x2＞0，x＝＝≤×＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时取等号. 配凑法求最值的实质及关键点 　　配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.　 考向2　常数代换法 （1）（2025·山东齐鲁名校大联考一模）已知实数x＞0，y＞0，x＋3y＝2，则＋的最小值为（　D　） A.3 B.1＋ C.2＋ D.2＋ 解析： 因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以＋＝（＋）（x＋3y）＝（4＋＋）≥2＋＝2＋，当且仅当即y＝，x＝－1时取等号.故选D. （2）已知正数a，b满足4a＋b＝ab，则a＋b的最小值为　9　. 解析： 因为正数a，b满足4a＋b＝ab，所以＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝3，b＝6时取等号. 常数代换法求最值的基本步骤 （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； （4）利用基本不等式求最值. 考向3　消元法 教材母题：〔人A必修一P58复习参考题5题〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 解：法一（代入消元）　由题意得a＝且b－1＞0， ∴ab＝＝＝b－1＋＋5≥9，当且仅当b－1＝时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2，得ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2－3≥0，设＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法三（化归函数，导数求解）　由法一得ab＝， 令f（b）＝（b＞1），则f'（b）＝（b＞1），令f'（b）＝0，得b＝3， 故f（b）在（1，3）上单调递减，在（3，＋∞）上单调递增，当b＝3时，f（b）取得最小值9，故ab的取值范围为[9，＋∞）. 细研教材：当所求最值的代数式中变量比较多时，通常是利用已知条件消去部分变量，然后配凑出“和为常数”或“积为常数”，再利用基本不等式求最值，也可采用整体换元思想转化为一元二次不等式求解，当消元后“配凑”比较困难时可考虑化归函数，利用导数求解. 变式1 〔一题多解〕若教材母题题干条件不变，则a＋b的最小值为　6　. 解析：法一　∵a＞0，b＞0，ab＝a＋b＋3，∴a＝且b－1＞0，∴a＋b＝＋b＝1＋＋b＝＋b－1＋2≥2＋2＝6，当且仅当＝b－1，即a＝b＝3时取等号. 法二　∵ab＝a＋b＋3≤（a＋b）2，故可得（a＋b）2－4（a＋b）－12≥0，即（a＋b－6）（a＋b＋2）≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2，又∵a＞0，b＞0，故a＋b≥6（当且仅当a＝b＝3时取得最小值）. 变式2 若教材母题题干条件不变，则a2＋b2的取值范围为　[18，＋∞）　. 解析：由a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，ab＝a＋b＋3，则a2＋b2＝（a＋b）2－2（a＋b）－6，又由变式1知a＋b≥6，故令t＝a＋b（t≥6），则a2＋b2＝t2－2t－6.对于二次函数y＝t2－2t－6，其对称轴为直线t＝1，在t≥6时单调递增，且当t＝6时，y＝18，故a2＋b2的取值范围为[18，＋∞）. 1.在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等号成立的条件必须相同，否则会造成错误. 2.尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值. 训练1 （1）已知0＜x＜1，则＋的最小值为（　D　） A.2 B.4 C.7 D.9 解析：（1）由0＜x＜1，得1－x＞0.＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴＋的最小值为9. （2）设x＞0，y＞0，x＋2y＝5，则的最小值为　4　； 解析：（2）∵x＞0，y＞0，∴＞0.∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当2＝时取等号.∴的最小值为4. （3）〔一题多解〕（2026·江苏南京模拟）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则xy的最大值为　3　. 解析：（3）法一（换元消元法） 9－xy＝x＋3y≥2，∴9－xy≥2，令＝t，∴t＞0，∴9－t2≥2t，即t2＋2t－9≤0，解得0＜t≤，∴≤，∴xy≤3，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3. 法二（代入消元法） ∵x＝，∴x·y＝·y＝＝＝－3（y＋1）－＋15≤－2＋15＝3，当且仅当3（y＋1）＝，即y＝1，x＝3时取等号.∴xy的最大值为3. 基本不等式的实际应用（师生共研过关） （2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用y最少时的年限为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 解析：C　该设备年平均费用y＝＝＋＋（x∈N*），∵x＞0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9∈N*时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 训练2 （2025·河南郑州一模）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为　12－8　. 解析：设AE＝x，AF＝y（0＜x≤2，0＜y≤2），则EF＝，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. （时间：60分钟，满分：96分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 解析：B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y.故选B. 2.若a，b都是正数，则的最小值为（　　） A.5　　　　B.7 C.9　　　　D.13 解析：C　因为a，b都是正数，所以（1＋）（1＋）＝5＋＋≥5＋2＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C. 3.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（　　） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 解析：C　因为x＞0，y＞0，x＋2y＝2，所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，当且仅当即x＝1，y＝时，等号成立.所以xy有最大值，且最大值为. 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析：C　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×（2x＋）≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取等号. 5.已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为（　　） A. B. C.2 D.2 解析：D　因为4a2＋b2＝7，则a＝×2a×＝≤×＝2，当且仅当即a＝1，b＝时，等号成立. 6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A.若ab≤1，则＋≥2 B.若a＋b＝4，则＋的最小值为4 C.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D.函数y＝a＋的最小值为1 解析：ABC　因为0＜ab≤1，所以≥1，所以＋≥2≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；若a＋b＝4，则＋＝（a＋b）（＋）＝（＋＋10）≥（2＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时，等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确；由于a＞0，所以y＝a＋＝a＋1＋－1≥1，当且仅当a＋1＝，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知条件矛盾，故D错误.故选A、B、C. 7.函数f（x）＝的最小值为　2　. 解析：函数f（x）＝的定义域为（－1，＋∞），f（x）＝＝＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝1时取等号.故当x＝1时，f（x）取得最小值2. 8.〔一题多解〕已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是　　. 解析：法一　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝，∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值为. 法二　由5x2y2＋y4＝1，可得y2（5x2＋y2）＝1，即4y2（5x2＋y2）＝4，又4＝4y2（5x2＋y2）≤［］2＝（x2＋y2）2，∴（x2＋y2）2≥，即x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是. 9.（13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 解：（1）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当即x＝16且y＝4时，等号成立，所以xy的最小值为64. （2）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当即x＝12且y＝6时，等号成立，所以x＋y的最小值为18. 10.（2026·江苏连云港模拟）设a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A.1 B.2 C.4 D.8 解析：B　因为a＞0，b＞－1，则b＋1＞0，因为a＋b＝1，则a＋（b＋1）＝2，所以＋＝[a＋（b＋1）]（＋）＝（2＋＋）≥（2＋2）＝2，当且仅当即a＝1，b＝0时，等号成立，因此＋的最小值为2. 11.已知x＞2，且x－y－2＝0，则＋＋的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.9 解析：D　由题意得x＝y＋2＞2，所以y＞0，又因为＋＋＝（＋）2，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3（当且仅当y＝2时取等号），所以＋的最小值为3，所以＋＋的最小值是9. 12.〔一题多解〕〔多选〕已知ab＝且a，b∈（0，1），则（　　） A.a2＋b2≥ B.b＋a＞ C.＋≥4 D.a2＋b≥ 解析：ACD　a2＋b2≥2ab＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；由ab＝，得b＝，所以b＋a＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，B错误；法一　＋＝＝4（a＋b）≥8＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立.法二　＋≥2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C正确；由ab＝，得b＝，所以a2＋b＝a2＋，令f（a）＝a2＋.因为ab＝且a，b∈（0，1），所以＜a＜1，则f'（a）＝2a－＝，令f'（a）＝0，得a＝，当＜a＜时，f'（a）＜0；当＜a＜1时，f'（a）＞0，所以函数f（a）在（，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（a）在（，1）上存在最小值，且最小值为f（）＝，所以a2＋b≥，D正确.综上，选A、C、D. 13.〔一题多解〕已知实数x，y满足xy＞0，则＋的最大值为　4－2　. 解析：法一（整体换元，化繁为简）　设⇒⇒km＝2－2k－2m＋2mk（0＜k＜1，0＜m＜1），所以k＝，则原式＝k＋m＝＋m＝4＋＋m－2＝4－［＋（2－m）］≤4－2，当且仅当＝2－m，即m＝2－时，等号成立. 法二（局部换元，化难为易）　设⇒（s，t同号），原式＝＋＝4－（＋）≤4－2，当且仅当＝，即t＝s时，等号成立. 法三（化归函数，导数求解）　令a＝（a＞0），原式＝＋＝＋＝＋，令F（a）＝＋（a＞0），则F'（a）＝－＋，令F'（a）＝0，则a＝（舍负），所以F（a）在（0，）上单调递增，在（，＋∞）上单调递减，所以F（a）max＝4－2，即原式最大值为4－2. 14.（15分）甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 解：（1）由题意得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝（v2＋a）＝1 000（v＋），定义域为（0，80]. （2）y＝1 000（v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 15.〔创新设问〕〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤ B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 解析：BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $