第1章 第3节 等式性质与不等式性质-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦等式性质与不等式性质核心考点，按“比较大小方法—等式性质—不等式性质—拓展性质”逻辑架构梳理知识，通过知识梳理、诊断自测、方法指导（作差法、作商法）、真题训练（2026年模拟题）等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破性质应用难点。 资料以“一题多解”（如比较x,y大小用构造函数法）培养学生数学思维，设置基础自学、师生共研、分层练习（诊断题、提升题），通过不等式取值范围求解等教学活动，强化模型意识，确保学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3节　等式性质与不等式性质 1.掌握等式的性质. 2.会比较两个数（式）的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用. 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 （1）作差法（a，b∈R）； （2）作商法 2.等式的性质 性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a　＝　c； 性质3 可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝　bc　； 性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的性质 性质1 对称性：a＞b⇔b＜a； 性质2 传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质3 可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； 性质4 可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； 性质5 可乘方性：a＞b＞0⇒an　＞　bn（n∈N，n≥2）； 性质6 可开方性：a＞b＞0⇒＞（n∈N，n≥2）. 1.倒数性质 （1）a＞b，ab＞0⇒＜； （2）a＜0＜b⇒＜； （3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2.分数性质： 若a＞b＞0，m＞0，则 （1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）； （2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　√　） （2）若＞1，则a＞b.（　×　） （3）a＝b⇔ac＝bc.（　×　） 2.设M＝2a（a－2），N＝（a＋1）（a－3），则（　　） A.M＞N B.M≥N C.M＜N D.M≤N 解析：A　因为M－N＝2a（a－2）－（a＋1）（a－3）＝a2－2a＋3＝（a－1）2＋2＞0，所以M＞N.故选A. 3.已知2＜a≤3，－2＜b≤－1，则a＋2b的最大值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析：C　因为－2＜b≤－1，所以－4＜2b≤－2.又2＜a≤3，所以－2＜a＋2b≤1. 4.（2026·河北沧州名校联考质量监测）若a＜b＜0，则下列不等式中一定成立的是（　　） A.a＋c＜b＋c B.＜ C.ac＜bc D.＞ 解析：A　当a＜b＜0时，选项A中a＋c＜b＋c恒成立；选项B中＞；选项C依赖于c的符号；选项D中＜.故选A. 比较数（式）的大小（基础自学过关） 1.已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N B.M＜N C.M＝N D.不能确定 解析：A　∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. 2.〔多选〕若a＞b＞0，那么下列不等式一定成立的是（　　） A.a＋＞b＋ B.＜ C.a＞＞b D.a3＋b3≥a2b＋ab2 解析：AC　对于A，a＋－b－＝（a－b）（1＋）＞0，故A正确；对于B，＞1＞＞0，故B错误；对于C，a＞b＞0，＝＞1，所以a＞，因为＝＞1，所以＞b，所以a＞＞b，故C正确；对于D，a3＋b3－a2b－ab2＝a2（a－b）＋b2（b－a）＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.因为（a－b）2＞0，a＋b＞0，所以a3＋b3＞a2b＋ab2，故D错误. 3.〔一题多解〕已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x　＜　y（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：法一　由题设，易知x＞0，y＞0，又＝＝＜1，所以x＜y. 法二　设f（x）＝－，定义域为[1，＋∞），则f（x）＝，故f（x）为减函数，又c＋1＞c＞1，则f（c＋1）＜f（c），即x＜y. 不等式的基本性质（师生共研过关） （1）（2026·浙江杭州质检）若a＞b，则（　D　） A.a2＞b2 B.＜ C.＜ D.a｜a｜＞b｜b｜ 解析： 对于A，若取a＝2，b＝－3，满足a＞b，此时a2＜b2，所以A错误；对于B，当a＞b＞0时，由假分数性质知B错误；对于C，若取a＝1，b＝－1，满足a＞b，此时＞，所以C错误；对于D，构造函数y＝x｜x｜＝易知该函数在R上为增函数，所以当a＞b时，有a｜a｜＞b｜b｜，所以D正确.故选D. （2）〔多选〕（2025·江苏常州二模）若＜＜0，则（　ACD　） A.｜a｜＜｜b｜ B.ac＜bc C.＞0 D.0＜＜1 解析： 由＜＜0得c≠0，当c＞0时，由＜＜0得＜＜0，即b＜a＜0，可得0＜＜1，当c＜0时，由＜＜0得＞＞0，即b＞a＞0，所以0＜＜1，故A、D正确；由＜＜0得－＝＜0，且a与b同号，即ab＞0，所以c与b－a异号，即c与a－b同号，由ac＜bc得（a－b）c＜0，即c与a－b异号，故B错误，C正确.故选A、C、D. 判断不等式的常用方法 （1）利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件； （2）作差法； （3）利用特殊值法排除错误项； （4）构造函数，利用函数的单调性. 训练1 〔多选〕（2025·山东临沂二模）已知a＞b＞c，则下列不等式正确的是（　　） A.＜ B.ab2＞cb2 C.a＋b＞c D.a2＋c2＞b2 解析：AD　对于A，－＝＝，因为a＞b＞c，所以c－b＜0，a－c＞0，a－b＞0，即＜0，所以＜，故A正确；对于B，取b＝0，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若a＞b＝0＞c，则a2＋c2＞b2＝0显然成立，若a＞b＞0＞c，则a2＋c2＞a2＞b2成立，若a＞0＞b＞c，则a2＋c2＞c2＞b2成立，综上，只要a＞b＞c，一定有a2＋c2＞b2，故D正确. 不等式性质的应用（师生共研过关） 已知6＜a＜60，15＜b＜18，则下列结论正确的是（　　） A.＜＜ B.21＜a＋2b＜78 C.－12＜a－b＜45 D.＜＜5 解析：C　因为15＜b＜18，所以＜＜，又6＜a＜60，所以＜＜4，所以A错误；因为6＜a＜60，15＜b＜18，所以36＜a＋2b＜96，所以B错误；因为15＜b＜18，所以－18＜－b＜－15，又6＜a＜60，所以－12＜a－b＜45，所以C正确；因为6＜a＜60，15＜b＜18，＝＋1，又＜＜4，所以＜＜5，所以D错误.故选C. 变式 若将本例条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3”，则3x＋2y的取值范围为　（，）　. 解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（，）. 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 （1）必须严格运用不等式的性质； （2）多次运用不等式的性质有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 训练2 （1）某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一项比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的2倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为　12　； 解析： 设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为a，b，c，由题意得a≥b＋1，b≥c＋1，2c≥a＋1，所以a＋b＋2c≥b＋1＋c＋1＋a＋1，所以c≥3，所以b≥4，a≥5，所以参加这三项比赛的总人数至少为12. （2）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　（－3，－1）　. 解析： 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，故a＞0，c＜0，所以＜0，1＞＞，2＋＋＝0，所以＝－－2，所以1＞－2－＞，解不等式得－3＜＜－1，故的取值范围是（－3，－1）. （时间：60分钟，满分：95分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（　　） A.m≥n B.m＞n C.m≤n D.m＜n 解析：A　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.故选A. 2.已知a，b∈R，若a＞b，＜同时成立，则（　　） A.ab＞0 B.ab＜0 C.a＋b＞0 D.a＋b＜0 解析：A　因为＜，所以－＝＜0，又a＞b，所以b－a＜0，所以ab＞0. 3.已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导成立的是（　　） A.若a＞b，c＜d⇒a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d⇒ac＞bd C.若bc－ad＞0，－＞0⇒b＜0 D.若a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞ 解析：D　对于A，若a＞b，c＜d，取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，则a＋c＝b＋d＝0，故A错误；对于B，若a＞b，c＞d，取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，则ac＝bd＝0，故B错误；对于C，若bc－ad＞0，－＝＞0，则ab＞0，无法得出b＜0，故C错误；对于D，若a＞b＞0，c＞d＞0，可得＞＞0，则＞＞0，所以＞，故D正确.故选D. 4.（2025·T8联考）已知实数a＜b，则“m＞0”是“＜”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　已知实数a＜b，若m＞0，例如a＝－2，b＝－1，m＝2，得＞，∴“m＞0”不是“＜”的充分条件；若＜，例如a＝0，b＝1，m＝－2符合此不等式，但是m＜0，∴“m＞0”不是“＜”的必要条件.∴“m＞0”是“＜”的既不充分也不必要条件.故选D. 5.已知－3＜a＜－2，3＜b＜4，则的取值范围为（　　） A.（1，3） B.（，） C.（，） D.（，1） 解析：A　因为－3＜a＜－2，所以4＜a2＜9，而3＜b＜4，即＜＜，故的取值范围为（1，3）. 6.〔多选〕若a＜0＜b，且a＋b＞0，则（　　） A.＞－1 B.｜a｜＜｜b｜ C.＋＞0 D.（a－1）（b－1）＜1 解析：ABD　对于A，∵a＋b＞0，∴a＞－b，又b＞0，∴＞－1，∴A正确；对于B，∵a＋b＞0，∴b＞－a＞0，∴｜b｜＞｜a｜，∴B正确；对于C，取b＝2，a＝－1满足a＜0＜b，且a＋b＞0，但＋＝－1＋＝－＜0，∴C错误；对于D，∵a＜0＜b，且a＋b＞0，∴a＋b＞0＞ab，∴（a－1）（b－1）＜1，∴D正确.综上，选A、B、D. 7.（2026·浙江杭州模拟）在民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为　90　平方米. 解析：设改造前的窗户面积为x，窗户增加的面积为y，x＞0，y＞0，依题意≤，即180x＋2xy≤180x＋180y，2xy≤180y，x≤90，所以改造前的窗户面积最大为90平方米. 8.能够说明“若＞，a＜0，则x＞y”是假命题的一组整数x，y的值依次为　－1，1（答案不唯一）　. 解析：由＞，a＜0，可得＜.当x，y同号时，可得x＞y；当x，y异号时，可得y＞0＞x.又命题为假命题，故取整数x，y满足y＞0＞x即可，可取x＝－1，y＝1. 9.（13分）已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4. （1）求实数a，b的取值范围； （2）求3a－2b的取值范围. 解：（1）由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，两式相加得－4≤2a≤6，则－2≤a≤3. 由－1≤a－b≤4，得－4≤－a＋b≤1. 又－3≤a＋b≤2，两式相加得－7≤2b≤3，则－≤b≤. 综上，实数a的取值范围是[－2，3]，实数b的取值范围是［－，］. （2）设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）·a＋（m－n）b，则解得 ∴3a－2b＝（a＋b）＋（a－b）. ∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4， ∴－≤（a＋b）≤1，－≤（a－b）≤10，则－4≤3a－2b≤11. ∴3a－2b的取值范围是[－4，11]. 10.若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则（　　） A.p＜m＜n B.p＜n＜m C.m＜p＜n D.n＜p＜m 解析：A　因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m＞0，n＞0，p＞0，所以＝＝·＜1，所以m＜n；又＝＝·＞1，所以m＞p.所以p＜m＜n. 11.已知2＜x＜4，－3＜y＜－1，则的取值范围是（　　） A.（，） B.（，） C.（，1） D.（，2） 解析：B　原式分子和分母同时除以x，得＝，由条件得2＜－2y＜6，＜＜，所以＜－＜，即＜－＜3，所以＜1－＜4，所以＜＜. 12.〔多选〕（2026·江苏南京六校联考）已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列说法正确的是（　　） A.＞ B.a－c＞2b C.a2＞b2 D.ab＋bc＞0 解析：BC　对于A，∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴＜，A错误；对于B，∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，a－b＞0，∴b＋c＝－a＜0，∴a－b＞b＋c，即a－c＞2b，B正确；对于C，∵a－b＞0，a＋b＝－c＞0，∴a2－b2＝（a＋b）（a－b）＞0，即a2＞b2，C正确；对于D，ab＋bc＝b（a＋c）＝－b2≤0，D错误. 13.（2026·海南海口模拟）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为　（0，2）　. 解析：由已知及三角形三边关系得所以则两式相加得0＜＜4，所以0＜＜2. 14.（15分）若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； （2）求证：＜； （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. （2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜＜.　① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.　② ①②相乘得＜. （3）由（2）知a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可） 15.〔创新设问〕在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为（　　） A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙 C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁 解析：A　设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，根据题意得显然d＞b，d＞c，②＋①可得a＞d，由②－①可得b＞c，故a＞d＞b＞c，即这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $