第1章 第2节 常用逻辑用语-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习教用Word

该高中数学讲义聚焦常用逻辑用语高考核心考点，涵盖充分条件、必要条件、充要条件的含义及关系，全称量词与存在量词命题的否定及应用。知识点按“定义梳理-关系辨析-应用突破”逻辑架构，通过知识梳理构建概念网络，诊断自测定位薄弱点，例题精讲结合定义法与集合法，真题训练对接高考题型，形成系统复习链条。 资料采用“情境化问题-分层训练”教学策略，如用集合包含关系类比条件关系培养抽象能力，通过“改量词，否结论”口诀强化命题否定的推理意识。设置基础诊断、能力提升、综合应用三级练习，配合即时反馈，助力学生高效掌握逻辑用语，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升学生应考能力。

第2节　常用逻辑用语 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，数学定义与充要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的　充分　条件，q是p的　必要　条件 p是q的　充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的　必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的　充要　条件 p⇔q p是q的　既不充分也不必要　条件 pq且qp 2.全称量词与存在量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“　∀　”表示； （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“　∃　”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p（x）成立 存在M中的元素x，p（x）成立 简记 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M，p（x） 否定 ∃x∈M，􀱑p（x） ∀x∈M，􀱑p（x） 提醒：（1）含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”；（2）对省略了量词的命题进行否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词. 1.若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件. 2.p是q的充分不必要条件，等价于􀱑q是􀱑p的充分不必要条件. 3.命题p和􀱑p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全称量词命题一定含有全称量词.（　×　） （2）“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.（　√　） （3）当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.（　√　） （4）若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.（　√　） 2.（2026·山东日照月考）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则􀱑p为（　　） A.∀n∈N，n2＞2n B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n 解析：C　命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，同时还要否定结论，所以􀱑p：∀n∈N，n2≤2n.故选C. 3.“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　因为xy＞0x＜0，y＜0，且x＜0，y＜0⇒xy＞0，所以“xy＞0”是“x＜0，y＜0”的必要不充分条件. 4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是　存在一个等边三角形，它不是等腰三角形　. 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题.故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形. 5.若命题“∀x∈R，x2－x＋a≠0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为　（－∞，］　. 解析：∀x∈R，x2－x＋a≠0的否定是∃x∈R，x2－x＋a＝0，因为原命题的否定是真命题，即方程x2－x＋a＝0有实根，所以Δ＝（－1）2－4×1×a≥0，所以a≤. 充分条件、必要条件的判定（基础自学过关） 1.设集合A，B是非空集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若A⊆B成立，由Venn图得到A∩B＝A一定成立，反之，若A∩B＝A成立，由Venn图得到A⊆B成立，所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件.故选C. 2.（2026·浙江金华模拟）若a，b∈R，则“｜a｜＝｜b｜”是“2a＝2b”的（　　） A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　若a＝b，则｜a｜＝｜b｜必然成立.若｜a｜＝｜b｜，则a和b可以互为相反数，此时2a＝2b不一定成立.因此“｜a｜＝｜b｜”是“2a＝2b”的必要不充分条件.故选B. 3.（2025·天津高考2题）设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝（k∈Z），所以必要性不成立.故“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件.故选A. 4.（2025·山东济南摸底考试）已知空间中有平面α和两条不同的直线m，n，且n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：D　当m⊂α时，m与α不平行，故m∥nm∥α；当m∥α时，m与n可能异面，故m∥αm∥n.故选D. 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题； （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 充分、必要条件的探究与应用（师生共研过关） 教材母题：1.〔人A必修一P23习题4题〕已知A＝{x｜x满足条件p}，B＝{x｜x满足条件q}， （1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？ （2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？ （3）如果A＝B，那么p是q的什么条件？ 答案：（1）充分条件　 （2）必要条件　 （3）充要条件 2.〔人B必修一P38习题5题〕已知A＝（－∞，a]，B＝（－∞，3），且x∈A是x∈B的充分不必要条件，求a的取值范围. 解：因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⫋B，所以a＜3，故a的取值范围为（－∞，3）. 细研教材：设A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜q（x）}，则： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件. 变式1 已知p：＞1，q：x＞m，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是（　　） A.（－∞，0] B.（－∞，］ C.[0，＋∞） D.［，＋∞） 解析：A　由＞1可得x（x－1）＜0，解得0＜x＜1，记A＝{x｜0＜x＜1}，B＝{x｜x＞m}，若p是q的充分条件，则A⊆B，所以m≤0，所以实数m的取值范围是（－∞，0]. 变式2 若不等式｜x－a｜＜1成立的一个充分不必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是（　　） A.{a｜＜a＜} B.{a｜≤a≤} C.{a｜a＜或a＞} D.{a｜a≤或a≥} 解析：B　由｜x－a｜＜1解得a－1＜x＜1＋a，所以a－1＜x＜1＋a成立的一个充分不必要条件是＜x＜，故{x｜＜x＜}⫋{x｜a－1＜x＜1＋a}，所以或解得≤a≤，故实数a的取值范围是{a｜≤a≤}.故选B. 由充分条件、必要条件求参数问题的策略 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解； （2）要注意端点值的检验. 训练1 （1）不等式2x2－5x－3＜0成立的一个必要不充分条件是（　C　） A.－3＜x＜ B.－＜x＜3 C.－1＜x＜3 D.＜x＜3 解析：（1）不等式2x2－5x－3＜0的解集是（－，3），观察四个选项发现（－，3）是（－1，3）的真子集，所以“－1＜x＜3”是“不等式2x2－5x－3＜0成立”的一个必要不充分条件，故选C. （2）（2026·湖南常德联考）已知命题p：－1＜x＜0；命题q：m－1＜x＜－3m，若􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为（　A　） A.（－∞，0） B.（－∞，0] C.（0，＋∞） D.[0，＋∞） 解析：（2）由􀱑q是􀱑p的充分不必要条件，则p是q的充分不必要条件，所以{x｜－1＜x＜0}⫋{x｜m－1＜x＜－3m}，则（不能同时取等号），解得m＜0.故选A. 全称量词命题与存在量词命题（定向精析突破） 考向1　含量词命题的否定及真假判定 （1）已知命题p：∃x∈R，x＝－1或x＝2，则（　B　） A.􀱑p：∀x∉R，x≠－1或x≠2 B.􀱑p：∀x∈R，x≠－1且x≠2 C.􀱑p：∀x∈R，x＝－1且x＝2 D.􀱑p：∃x∉R，x＝－1或x＝2 解析： 注意“x＝－1或x＝2”的否定是“x≠－1且x≠2”，所以命题p的否定是“∀x∈R，x≠－1且x≠2”. （2）（2024·新高考Ⅱ卷2题）已知命题p：∀x∈R，｜x＋1｜＞1；命题q：∃x＞0，x3＝x.则（　B　） A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 解析： 对于命题p，取x＝－1，则有｜x＋1｜＝0＜1，故p是假命题，􀱑p是真命题；对于命题q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题.故选B. 　　判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只需要在限定集合内找到一个元素x，使p（x）成立即可. 考向2　含量词命题的应用 已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　） A.（－，0） B.（0，） C.（，＋∞） D.（1，＋∞） 解析：C　因为命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，ax2－x＋2＞0”是真命题，当a＝0时，得x＜2，不符合题意；当a≠0时，得解得a＞. 　　由命题的真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与􀱑p的关系，转化成􀱑p的真假求参数的范围. 训练2 （1）下列说法正确的是（　D　） A.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有一个奇数能被3整除” B.∀xy＞0，x＋y≥2 C.∃x∈N，使5x＋1＝0 D.“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2＜0” 解析： 对于A，命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数都能被3整除”，故A错误；对于B，当x＜0，y＜0时，x＋y＜0＜2，故B错误；对于C，由5x＋1＝0，得x＝－，故不存在x∈N，使5x＋1＝0，故C错误；对于D，“∀x∈R，3x2－2≥0”的否定是“∃x∈R，3x2－2＜0”，故D正确. （2）已知命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0.若命题p和􀱑q都是真命题，则实数a的取值范围是（　A　） A.（－∞，－2]∪{1} B.（－∞，－］ C.（－∞，1] D.［－，1］ 解析： 当命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0为真命题时，a≤x2在[1，2]上恒成立，因为x∈[1，2]，所以x2∈[1，4]，所以a≤1；命题q：∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0的否定命题􀱑q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0为真命题时，Δ＝4a2－4（2－a）≥0，即a≤－2或a≥1.因为命题p和􀱑q都是真命题，所以a＝1或a≤－2. （时间：45分钟，满分：77分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·广东广州开学考试）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　） A.∀x∈R，x2＋2x－1≥0 B.∃x∈N，2x＋1为奇数 C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析：C　对于A，因为∀x∈R，x2＋2x－1＝（x＋1）2－2≥－2，所以该命题是全称量词命题，不是真命题，不符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不是全称量词命题，不符合题意；对于C，易知该命题是全称量词命题，且是真命题，符合题意；对于D，该命题不是全称量词命题，不符合题意.故选C. 2.命题“∃x∈R，1＜f（x）≤2”的否定形式是（　　） A.∀x∈R，1＜f（x）≤2 B.∃x∈R，1＜f（x）≤2 C.∃x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）＞2 解析：D　存在量词命题的否定是全称量词命题.故选D. 3.（2026·甘肃兰州诊断考试）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{1，2，3}，以下判断正确的是（　　） A.x∈A是x∈B的充分条件 B.x∈A∩B是x∈B的既不充分也不必要条件 C.x∈A是x∈A∪B的必要条件 D.x∈A∩B是x∈{1}的充要条件 解析：D　由题可得A∪B＝{－1，0，1，2，3}，A∩B＝{1}.因为集合A不是集合B的子集，所以x∈A不是x∈B的充分条件，A错误；因为集合A∩B是集合B的真子集，所以x∈A∩B是x∈B的充分不必要条件，B错误；因为集合A是集合A∪B的真子集，所以x∈A是x∈A∪B的充分不必要条件，C错误；因为A∩B＝{1}，所以x∈A∩B是x∈{1}的充要条件.故选D. 4.（2025·河南九师联盟二模）如果x，y是实数，那么“xy＜0”是“｜x－y｜＝｜x｜＋｜y｜”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当xy＜0时，不妨设x＜0，y＞0，x－y＜0，则｜x－y｜＝－（x－y）＝－x＋y＝｜x｜＋｜y｜.而当｜x－y｜＝｜x｜＋｜y｜时，可能y＝0，此时｜x－0｜＝｜x｜，而xy＝0.综上所述“xy＜0”是“｜x－y｜＝｜x｜＋｜y｜”的充分不必要条件. 5.如果ab＞0，那么“a＞b”是“＜”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：C　若a＞b，因为ab＞0，所以＞0，所以a·＞b·，所以＞，即＜；若＜，因为ab＞0，所以·ab＜·ab，所以b＜a，即a＞b.故如果ab＞0，那么“a＞b”是“＜”的充要条件.故选C. 6.〔多选〕（2026·安徽宿州泗县二中考试）若“∀x∈M，2－x＜0”为真命题，“∃x∈M，x＜0或x＞4”为假命题，则集合M可以是（　　） A.{x｜1＜x＜2} B.{x｜3＜x＜4} C.{x｜0＜x＜2} D.{x｜2＜x＜3} 解析：BD　因为“∃x∈M，x＜0或x＞4”为假命题，所以“∀x∈M，0≤x≤4”为真命题，可得M⊆{x｜0≤x≤4}，又“∀x∈M，2－x＜0”为真命题，所以M⊆{x｜x＞2}，所以M⊆{x｜2＜x≤4}.故选B、D. 7.为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明：　存在一个素数不是奇数　. 解析：因为命题“所有的素数都是奇数”是假命题，则命题“存在一个素数不是奇数”为真命题，所以为了证明“所有的素数都是奇数”是假命题，只要证明存在一个素数不是奇数. 8.使得“2x＞4x”成立的一个充分条件是　x＜－1（答案不唯一）　. 解析：由于4x＝22x，故2x＞22x等价于x＞2x，解得x＜0，故使得“2x＞4x”成立的一个充分条件只需为集合{x｜x＜0}的非空子集即可. 9.已知命题p：∀x∈R，x2－ax＋1≥0；命题q：∃x∈R，2x＜a.若p和􀱑q均为真命题，则实数a的取值范围为　[－2，0]　. 解析：由p为真命题，可知对于方程x2－ax＋1＝0，Δ＝（－a）2－4×1×1≤0，解得－2≤a≤2.由􀱑q为真命题，可得∀x∈R，2x≥a恒成立，因为2x＞0恒成立，所以a≤0.综上所述，实数a的取值范围为[－2，0]. 10.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是（　　） A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B.∀x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D.∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2 解析：D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，都有n＞x2”. 11.（2026·江苏苏州模拟）已知p：｜x－1｜≤2，q：x≤1－a或x≥1＋a（a＞0），若p是􀱑q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） A.（0，1） B.（0，1] C.（0，2） D.（0，2] 解析：D　∵｜x－1｜≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3.∵q：x≤1－a或x≥1＋a，∴􀱑q：1－a＜x＜1＋a.∵p是􀱑q的必要不充分条件，∴解得0＜a≤2，∴实数a的取值范围是（0，2]. 12.设计如图所示的四个电路图，能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是（　　） 解析：C　选项A：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；选项B：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；选项C：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；选项D：“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 13.〔多选〕下列四个条件中，能成为x＞y的充分不必要条件的是（　　） A.xc2＞yc2 B.＜＜0 C.｜x｜＞｜y｜ D.ln x＞ln y 解析：ABD　对于A，若xc2＞yc2 ，则c2≠0，且x＞y，反之x＞y，当c＝0时得不出xc2＞yc2，所以“xc2＞yc2”是“x＞y”的充分不必要条件，故A正确；对于B，由＜＜0可得y＜x＜0，即能推出x＞y；但x＞y不能推出＜＜0（因为x，y的正负不确定），所以“＜＜0”是“x＞y”的充分不必要条件，故B正确；对于C，由｜x｜＞｜y｜可得x2＞y2，则（x＋y）（x－y）＞0，不能推出x＞y；由x＞y也不能推出｜x｜＞｜y｜（如x＝1，y＝－2），所以“｜x｜＞｜y｜”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D，若ln x＞ln y，则x＞y，反之x＞y得不出ln x＞ln y，所以“ln x＞ln y”是“x＞y”的充分不必要条件，故D正确. 14.已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f（x1）＞g（x2）恒成立，则实数m的取值范围是　（－∞，0）　. 解析：由题意知，当x∈[1，4]时，f（x）min＝f（1）＝2，g（x）max＝g（4）＝2＋m，则f（x）min＞g（x）max，即2＞2＋m，解得m＜0.故实数m的取值范围是（－∞，0）. 15.〔推理判断〕地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1 000名乘客所需的时间如表： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是　D　. 解析：同时开放A，B，需120 s，同时开放B，C，需220 s，故A疏散比C快；同时开放B，C，需220 s，同时开放C，D，需160 s，故D疏散比B快；同时开放C，D，需160 s，同时开放D，E，需140 s，故E疏散比C快；同时开放D，E，需140 s，同时开放A，E，需220 s，故D疏散比A快；同时开放A，E，需200 s，同时开放A，B，需120 s，故B疏散比E快；综上所述，D疏散最快. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $