精品解析：2026年安徽省安庆市桐城市老梅初级中学中考考前自测数学试卷

初中学业水平考试最后一卷·数学（一） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共8页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 2026年春节假期，合肥市包河区因春晚分会场效应，文旅市场火爆．截至2月22日，8天接待游客262．14万人次，实现收入亿元，创历史新高．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体，两圆柱公共部分形成的几何体．如图的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 6. 如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点，交于点，且，则的长是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为边上一点，，延长交的平行线于点，连接，以，为邻边作平行四边形，交边于点，连接，当的面积为12时，的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 48 9. 已知二次函数的图象不经过第一、二象限，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在某公园里，有一个边长为的等边三角形地块，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一棵金钱松，已知．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉金钱松．为了更好地规划后续树木种植，要使得水管长度最短，此时（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算______． 12. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为______． 13. 如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 14. 对于正整数，定义，例如：，．规定：，（为正整数）．例如：．按此定义，______，______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 振风塔坐落于安徽省安庆市迎江寺内，紧邻长江，是长江沿岸历史上极具影响力的宝塔，因此获得了“万里长江第一塔”的盛誉．综合与实践活动中，某学习小组要用测角仪测量振风塔的高度（如图1）．该学习小组设计了一个方案：如图2所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且，在处测得振风塔顶部的仰角为，在处测得振风塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算振风塔的高度．（结果取整数，参考数据：，） 18. 如图，已知一次函数的图像分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图像交于和两点． （1）求点，的值； （2）根据图像，求出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围； （3）点在反比例函数的图像上，若，求点的坐标． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2026年春节期间，国内聊天机器人市场热度高涨．某测评机构对A，B两款主流聊天机器人进行了用户满意度评分测验，并从中各随机抽取10份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，即；比较满意，即；满意，即；非常满意，即），现在给出了部分信息如下： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：93，94，95． 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 A款 B款 平均数 92 92 中位数 b 众数 96 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出，，的值． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，共有600人对A，B款聊天机器人进行评分，请通过计算估计，此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 20. 如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 【探究】 （1）观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． （2）下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 （3）若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 七、（本题满分12分） 22. 在数学解题方法分享课上，我们学习到“旋转”是一种能将分散条件集中的全等变换，即通过旋转，可将题目中“分散”的线段、角等条件集中到同一图形中，构建新的等量关系；同时，旋转常伴随“共端点的线段相等”的条件，因此在正方形、等边三角形等特殊图形的解题中应用广泛． （1）如图1，，分别是正方形的边，上的点，连接，，，若，探索，，之间的数量关系； （2）如图2，为正方形内一点，且，，，求的度数； （3）如图3，是等边三角形内一点，且，，，求的度数． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）若点在轴下方，求的取值范围； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试最后一卷·数学（一） （试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共8页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，利用互为相反数的数的特征求解即可． 【详解】解：的相反数是2026， ， 故选：B． 2. 2026年春节假期，合肥市包河区因春晚分会场效应，文旅市场火爆．截至2月22日，8天接待游客262．14万人次，实现收入亿元，创历史新高．其中亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把亿写成，然后表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：亿，将原数表示为科学记数法时，需满足，将1310000000的小数点向左移动9位，可得，所以亿用科学记数法表示为． 3. “牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体，两圆柱公共部分形成的几何体．如图的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形即可得到答案． 【详解】解：从左边看，看到的图形分为上下两个部分，上部分是一个长方形，下部分是一个正方形，中间有一个直径等于正方形边长的圆，即看到的图形如下： ， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂乘法、二次根式的性质、完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A．，故选项A错误； B．，故选项B错误； C．，当时，，仅当时，等式不恒成立，故选项 C错误； D．，故选项D正确． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 6. 如图，在中，已知，，边的垂直平分线交于点，交于点，且，则的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图：连接，利用线段垂直平分线的性质得，利用等腰三角形的性质得，再利用外角的性质得，最后在中利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，即可求得的长． 【详解】解：如图：连接， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即． 7. 已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过判断一次项系数的符号得到y随x的变化规律，再比较三个点横坐标的大小，即可推导出y值的大小关系． 【详解】解：∵直线解析式为，一次项系数， ∴y随x的增大而增大， 又∵三个点的横坐标满足， ∴． 8. 如图，在中，为边上一点，，延长交的平行线于点，连接，以，为邻边作平行四边形，交边于点，连接，当的面积为12时，的面积为（ ） A. 24 B. 30 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底等高三角形面积相等，将的面积转化为的面积，再利用相似三角形性质和线段比例关系求出的面积． 【详解】解：连接， 根据题意得：， 点、点到直线的距离相等， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 点、点到直线的距离相等， ， ∵， ， ， ， ，即， 与等高（顶点均为）， ， ， ，即， 与等高（顶点均为）， ． 9. 已知二次函数的图象不经过第一、二象限，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数开口方向和图象不经过第一、二象限，推出抛物线恒满足，对应判别式，再结合给定区间的增减性得到对称轴的范围，最后取交集得到的取值范围 【详解】解：∵ 二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∴图象不经过第一、二象限， ∴抛物线恒有，即方程的判别式， ∵ ∴， 令，解得 ∵ 二次函数对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随增大而减小， 又∵时，随的增大而减小， ∴ ， 综上可得： 10. 在某公园里，有一个边长为的等边三角形地块，园艺师要在边的中线上设置一个浇水装置，同时在边上有一棵金钱松，已知．现在需要用水管连接和，再连接和来灌溉金钱松．为了更好地规划后续树木种植，要使得水管长度最短，此时（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称性质将转化为，根据两点之间线段最短确定F点位置，结合等边三角形性质求即可． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的中线， ∴ 垂直平分，， ∴点C关于直线的对称点是点B， ∴， ∴，要使最短，即最短， 如图：连接交与点，连接， 当B，，E三点共线时，的最小值， ∵， ∴E为的中点， ∴是的中线， ，即 ∵是的中线， ∴是与的交点， ∴也是的角平分线， ∴平分， ∴， ∴当最短，此时． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】先运用特殊角的三角函数值化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12. 如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】由是的切线，则有，得出，再由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图展示的是商场里的一组创意吊灯，若这组吊灯清洗时每次只能取下一个吊灯，且取下吊灯B前必须先取下吊灯C，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时吊灯B第三个被取下的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出所有满足取下吊灯前必须先取下吊灯这一条件的可能情况，然后找出吊灯第三个被取下的情况数，最后根据概率公式进行计算即可 【详解】解：由题意可知，取下吊灯前必须先取下吊灯，  所有可能的取下顺序为，共种等可能的结果， 其中吊灯第三个被取下的情况有，共种，   清洗时吊灯第三个被取下的概率是 ． 14. 对于正整数，定义，例如：，．规定：，（为正整数）．例如：．按此定义，______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题中定义依次计算出前若干项，找出循环规律，再通过计算余数得到的结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此可得，从开始，每次计算为一个循环， 循环顺序为， ∵，， ∴对应循环的最后一个数，为58． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：        当时，原式． 16. 如图，在网格图中，已知和点． （1）以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； （2）写出各顶点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． （2），， 【解析】 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 振风塔坐落于安徽省安庆市迎江寺内，紧邻长江，是长江沿岸历史上极具影响力的宝塔，因此获得了“万里长江第一塔”的盛誉．综合与实践活动中，某学习小组要用测角仪测量振风塔的高度（如图1）．该学习小组设计了一个方案：如图2所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且，在处测得振风塔顶部的仰角为，在处测得振风塔顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算振风塔的高度．（结果取整数，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】延长与相交于点，在和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可． 【详解】解：如图，延长与相交于点G， 根据题意，可得，，，，，． 在中，， ． 在中，， ， ， ， 即 ， ． 答：振风塔的高度约为． 18. 如图，已知一次函数的图像分别与轴、轴交于点，，与反比例函数的图像交于和两点． （1）求点，的值； （2）根据图像，求出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围； （3）点在反比例函数的图像上，若，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）令，分别求出对应的x、y的值即可解答； （2）先求出M、N的坐标，然后根据函数图像直接写出的取值范围即可； （3）如图：连接，先求得反比例解析式，再求的面积，进而得到的面积，设点P的坐标为，则边上的高为，再列绝对值方程求得p，进而求得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像分别与轴、轴交于点，， ∴当时，，解得：，即； 当时，，即． 【小问2详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于和两点． ∴， ∴， ∴，， ∴当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围或． 【小问3详解】 解：如图：连接， ∵点，在反比例函数的图像上， ∴，即反比例函数解析式为； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点P的坐标为，则边上的高为， 由题意可得：，即，解得：或． ∴点P的坐标为或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2026年春节期间，国内聊天机器人市场热度高涨．某测评机构对A，B两款主流聊天机器人进行了用户满意度评分测验，并从中各随机抽取10份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，即；比较满意，即；满意，即；非常满意，即），现在给出了部分信息如下： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：93，94，95． 抽取的对B款聊天机器人的评分数据：81，85，99，95，90，99，100，83，89，99． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 A款 B款 平均数 92 92 中位数 b 众数 96 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）求出，，的值． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）在此次测验中，共有600人对A，B款聊天机器人进行评分，请通过计算估计，此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 【答案】（1）；， （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款聊天机器人的评分数据中，平均数相同，A款评分的中位数（94.5）高于B款的中位数（92.5），所以A款聊天机器人更受用户喜爱．（答案不唯一） （3）240人 【解析】 【分析】（1）由扇形统计图及表格获取数据求出抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“非常满意”所占的百分比，即可得出a的值；由中位数的定义、众数的定义，即可求出b、c的值； （2）根据平均数、中位数进行综合评价，即可求解； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的人数：3人， 所占的百分比为：， “非常满意”所占的百分比为：，即； 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中不满意的有，比较满意的有，满意的有3人，因此将抽取的对A款聊天机器人的评分数据从小到大进行排序，排在的第5的是94，第6的95，因此中位数为：； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据中99出现次数最多，因此众数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“非常满意”的有人， 对B款聊天机器人的评分数据中“非常满意”的有4人， （人）， 答：此次测验中对聊天机器人非常满意的共有240人． 20. 如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． （2）10 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 【探究】 （1）观察下列算式，并完成填空： ， ， ， ， ______． （2）下图是某广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外，每层有块正方形地板砖，第一层包括块正三角形地板砖，第二层包括块正三角形地板砖……以此递推． （ⅰ）第层中含有______块正三角形地板砖； （ⅱ）第层中含有______块正三角形地板砖（用含的代数式表示）． 【应用】 （3）若某学校拟采用如图样式的图案铺设地面，现有块正六边形、块正三角形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正方形地板砖？ 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） （3）还需要块正方形地板砖 【解析】 【分析】（1）根据所给等式，找出规律，即可得出答案； （2）（ⅰ）根据每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……，即可得出答案； （ⅱ）根据（i）中规律解得即可； （3）设可铺设层，根据（2）中规律列出方程，结合（1）中规律解方程求出，根据每层都有块正方形地板砖即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴． 【小问2详解】 解：（ⅰ）由图形可知，每层含个正方形，每两个正方形间的正三角形个数分别为、、……， 第一层包括块正三角形地板砖， 第二层包括块正三角形地板砖， 第三层包括块正三角形地板砖， ∴第层包括块正三角形地板砖， （ⅱ）由（i）规律可得，第层中含有块正三角形地板砖． 【小问3详解】 解：设可铺设层， ∵有块正六边形、块正三角形地板砖， ∴， ∴， 解得：（负值舍去），即共铺设层， ∵每层都有块正方形地板砖， ∴还需要块正方形地板砖． 七、（本题满分12分） 22. 在数学解题方法分享课上，我们学习到“旋转”是一种能将分散条件集中的全等变换，即通过旋转，可将题目中“分散”的线段、角等条件集中到同一图形中，构建新的等量关系；同时，旋转常伴随“共端点的线段相等”的条件，因此在正方形、等边三角形等特殊图形的解题中应用广泛． （1）如图1，，分别是正方形的边，上的点，连接，，，若，探索，，之间的数量关系； （2）如图2，为正方形内一点，且，，，求的度数； （3）如图3，是等边三角形内一点，且，，，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，将绕点A顺时针旋转，得到，可证明，得，根据，即可得出； （2）由正方形的性质得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，所以，，由，根据勾股定理的逆定理得，则，于是得到问题的答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，，可得是等边三角形，证明为直角三角形，且，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵正方形中，， ∴将绕点A顺时针旋转，得到，如图所示： 则，，，， ， 、B、三点在同一条直线上， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，四边形是正方形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接， ，， ，， ，， ，， ， 是直角三角形，且， ； 【小问3详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 如图，将绕点A顺时针旋转得到，连接，则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）若点在轴下方，求的取值范围； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行，当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）的值为或． （4）且 【解析】 【分析】（1）把抛物线解析式配方，即可求出顶点坐标； （2）令，求出的值，得出，，根据点在轴下方即可求出的取值范围； （3）分和两种情况，根据最高点与最低点的纵坐标之差是，列方程求出的值即可得出答案； （4）分、、三种情况，分别画出图形，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， 解得：，， ∴，， ∵点在轴下方的抛物线上，横坐标为， ∴的取值范围为． 【小问3详解】 解：当时，最大值为，最小值为， ∵在点和点之间的部分（包含，两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是， ∴， 解得：， 当时，最大值为，最小值为， ∴， 解得：，（舍去）； 综上所述：的值为或． 【小问4详解】 解：①如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ②如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意， ③如图，当时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，不符合题意， ∵时，点与点、重合，不能构成矩形， ∴， 综上所述：的取值范围是且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $