命题大赛 四川省成都市2025-2026学年高二数学下学期阶段测试 （人教A版）

**基本信息** 成都高2024级零诊冲刺数学试卷，聚焦函数、数列、几何、概率等核心模块，通过科技情境（如数字通信信号传输）与跨模块综合（如椭圆与数列结合）设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式系数、等差等比数列、圆锥内切球、概率独立事件|基础概念与运算结合，如第3题通过轴截面求圆锥内切球表面积，考查空间想象| |多选题|3/18|等比数列性质、统计（百分位数/方差）、立体几何（平行六面体）|多选项分层，如第10题综合统计与概率，考查数据意识与推理能力| |填空题|3/15|等差求和、导数切线、概率方差|小切口深挖掘，如第13题通过切线斜率考查导数应用| |解答题|5/77|抛物线、立体几何（证明/夹角/共面）、数列与导数、数字通信概率、椭圆与数列|综合度高，如第18题以数字通信为情境考查概率最值与分布列，体现应用意识；第19题椭圆系列结合数列求通项及和的最值，考查数学思维与语言表达|

试题多维细目表 成都高2024级零诊冲刺试题多维细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 二项式定理、二项展开式的通项公式、指定项的系数计算 0.85 2 单选题 5 等差数列的通项公式、等比数列的定义与性质、等比中项 0.8 3 单选题 5 圆锥的结构特征、轴截面、内切球的半径计算、球的表面积公式 0.75 4 单选题 5 随机事件的概率、事件的相互独立性、对立事件的判定 0.75 5 单选题 5 排列组合、分组分配问题、平均分组的计算方法 0.7 6 单选题 5 椭圆与双曲线的定义、焦点与离心率、余弦定理、基本不等式求最值 0.65 7 单选题 5 函数的零点判定、函数的单调性与值域、指数函数的性质 0.55 8 单选题 5 椭圆的标准方程、条件概率、随机抽样、古典概型 0.6 9 多选题 6 等比数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的性质 0.75 10 多选题 6 统计量（百分位数、方差）、二项分布的概率计算、正态分布的性质 0.7 11 多选题 6 空间向量的线性运算、线面平行的判定、空间两点间距离、正四面体的外接球表面积 0.65 12 填空题 5 等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列的性质 0.8 13 填空题 5 导数的几何意义、切线的斜率、函数的值域与参数范围 0.7 14 填空题 5 圆的标准方程、二项分布的定义与方差计算 0.65 15 解答题 14 抛物线的标准方程、焦点与准线、直线与抛物线的位置关系、向量垂直的坐标表示 0.8 16 解答题 15 线面平行的判定、空间直角坐标系、平面的法向量、二面角的计算、空间向量共面定理 0.7 17 解答题 15 等比数列的定义与证明、数列的通项公式、导数的计算、函数在某点处的导数值 0.65 18 解答题 16 相互独立事件的概率计算、二次函数的最值、离散型随机变量的分布列与数学期望 0.6 19 解答题 17 椭圆的标准方程与几何性质、数列的通项公式、数列求和、不等式恒成立问题 0.5 $ 成都高2024级零诊冲刺试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的展开式的第3项的系数为（     ） A．10 B． C．40 D． 2．已知等差数列的首项为1，且成等比数列，则（     ） A．－5或1 B．－5 C．－3 D．－3或1 3．已知某圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的内切球的表面积为（     ） A． B． C． D． 4．若，，，则事件与事件满足（     ） A．互为对立事件 B． C． D． 5．某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（     ）种. A．90 B．60 C．150 D．140 6．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（     ） A． B． C．1 D． 7．函数在上没有零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的两条渐近线分别为，点分别为双曲线的左、右焦点，以原点O为圆心且过两焦点的圆与交于点P(P在第一象限)，点Q为线段的中点，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知等比数列的前项和为，公比为，，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的是（     ） A．样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B．若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服从正态分布，且，则 11．在平行六面体中，，，则（     ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是等差数列的前项和，且满足，，则________． 13．若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是________． 14．袋中装有大小相同的五个小球，其编号分别为1，2，3，4，5．每次从袋中随机摸出一个小球，记下编号后放回袋中，搅拌均匀再进行摸取，设第次摸取小球的编号为 ，则在 中：圆的个数的方差为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知抛物线：（）的焦点到其准线的距离为2. （1）求的值和抛物线的准线方程； （2）直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值. 16．在四棱锥中，，，，，，分别为线段和的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的正弦值； （3）若为线段中点，在线段上且为靠近点的三等分点，证明：，，，四点共面． 17．已知数列的首项的前项和为，且． （1）证明数列是等比数列； （2）令，求函数在点处的导数． 18．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节．每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次信号的传输相互独立． （1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值； （2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望． 19．已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． （1）求椭圆的方程； （2）求数列的通项公式； （3）若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 成都高2024级零诊冲刺试题（参考答案） 1．【答案】C 【详解】写出的通项，，第三项，即令，则 ，所以第三项的系数为40. 2．【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，所以，化简整理得，解得，或，所以或． 3．【答案】C 【详解】如图，设该圆锥内切球的球心为，半径为，球切该圆锥的母线于点，为该圆锥底面圆的圆心，则，，因为，所以，又， ，则，解得，故该圆锥的内切球的表面积为. 4．【答案】C 【详解】对于A，因为，，所以，， 所以，所以互相独立，而，故A错误； 对于B，，故B错误；对于CD，由互相独立，可知互相独立，所以， ， 故C正确，D错误. 5．【答案】A 【详解】5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：， 则不同安排方法共有 6．【答案】B 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据椭圆及双曲线的定义，得，，∴，，设，在中，∵， 由余弦定理，得，化简得，两边同除以，得.又∵，∴，解得，当且仅当，即时等号成立，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为. 7． 【答案】C 【详解】易得是上的增函数，则，即，解得或. 8．【答案】B 【详解】设于，作轴于H，联立与，得， 因为P在第一象限，所以，由渐近线的对称性可知，， 又，所以，则， 又在中，，所以， 即，则，解得双曲线的离心率为. 二、多选题 9．【答案】BD 【详解】对于A：由题意，则，即，故，A错误； 对于B：，即，B正确； 对于C，D，由，则，则 ，C错，D对. 10．【答案】BCD 【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数，即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布，则，故D正确． 11．【答案】BCD 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 三、填空题 12．【答案】35 【详解】因为是等差数列的前项和，.则，化简得， 消元求解得：.所以.所以. 13．【答案】 【详解】由题意可得，即，使得，解得，因为， 因此. 14．【答案】 【详解】若表示圆，则，则符合的情况有：，，，，，则，又，所以. 四、解答题 15．【答案】（1），（2） 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，因为焦点F到准线的距离为2，（2分） 所以. 故抛物线的标准方程为：；（4分） （2）由（1）可得抛物线方程为，联立得， 因为直线与抛物线C有两个交点，所以，，解得且， 设，则，（7分） 得，（8分） 因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，所以，解得.（13分） 16．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析 【详解】（1）连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以，（3分） 又因为分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. （5分） （2）因为，，所以，所以，由（1）知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以两两垂直，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则，（7分） 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以，所以，（9分） 所以平面与平面夹角的正弦值.（10分） （3）因为分别为线段和的中点，所以，， 因为为的中点，所以，在线段上且为靠近点的三等分点， 所以，（12分） 所以，（13分） ，（14分） ，所以， 故，，，四点共面. （15分） 17．【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】（1）因为，所以， 所以，（3分） 又，即 所以数列是公比和首项均为2的等比数列．（6分） （2） 由（1），所以， 所以，（9分） 所以，设 所以， 所以，所以，（13分） 所以．（15分） 18．【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为 【详解】（1）由题可知，（3分） 因为，所以当时，的最小值为．（6分） （2）由题设知，的可能取值为1，2，3，4． ①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010． 因此，，（8分） ②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，，（10分） ③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000． 因此，，（12分） ④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111． 因此，．（14分） 所以的分布列为 1 2 3 4 因此，的数学期望．（17分） 19．【答案】（1）（2）（3）1 【详解】（1）因为，所以，因为是等腰三角形，且， 所以必有，即，则，因此， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）点，设，因为为等腰三角形，所以，，（6分） 因此，由题意知，所以，（8分） 所以，所以，所以.（10分） （3）因为，，所以 ，（12分） ，（14分） 因此 ，因为，所以，所以的最大值为1，的最小值为2，的最小值为1．（17分） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $