精品解析：福建厦门市湖里中学2025－2026学年下学期九年级数学模拟练习卷

湖里中学2025-2026学年下学期模拟练习 九年级数学练习卷 （试卷满分：150分 练习时间：120分） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 2. 由几个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，数轴上有四个点，其中与最接近的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 7. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（ ） A. B. C. D. 10. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 12. 已知反比例函数 y=的图像都过A（1，3）则m=______. 13. 一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有_______个红色小球． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 15. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 16. 如图，在矩形中，的平分线交于点于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论： ； ； ； ． 其中正确的有 ___________ 填序号 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且连接、．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算： ______， ______， ______； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 21. 河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． （1）求每个太阳帽、旅行包的进价； （2）该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 22. 如图，在中，，平分． （1）请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的图中，若，，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 24. （1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 25. 如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． （1）若，求． （2）延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖里中学2025-2026学年下学期模拟练习 九年级数学练习卷 （试卷满分：150分 练习时间：120分） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B铅笔画图． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，最小的数是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较方法：正数大于0，负数小于0；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．通过比较数值大小，负数小于正数，且 小于 即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ 是最小的数． 故选：A． 2. 由几个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查由小正方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3列，从左边数，第1、2、3列下面一层都有一个小正方形，第3列上面一层有1个小正方形，即看到的图形如下： 3. 在全球人工智能应用领域，我国AI技术以迅猛的势头崛起．截至2025年2月8日，我国某款AI应用软件的全球下载量已突破次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数时，理解“一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1”是解题的关键． 根据科学记数法解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：B． 4. 如图，数轴上有四个点，其中与最接近的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】先估算的值，再结合数轴判断即可求解． 【详解】解：∵，  ∴，  又∵，，  ∴， ∵点表示，点表示左右，点表示，点表示，  ∴与最接近的点是点． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，积的乘方法则，同底数幂除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，所以 A错误； 对于选项B，因为 = ，所以 B错误； 对于选项C，因为 = = ，所以 C错误； 对于选项D，因为 = = ，计算符合同底数幂除法法则，所以 D正确． 6. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可． 【详解】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、众数为85分，此选项符合题意； B、中位数为85分，此选项不符合题意； C、平均数为分，此选项不符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：A． 7. 光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质.根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案. 【详解】解：如图所示，，光线在空气中也平行， ，， ∵， ，. . 故选：C． 8. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9. 如图，某同学正在参加滑雪项目比赛，滑道的坡比，当他沿斜坡向下直线滑行时，他下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设下降的高度为，则下降前后的水平距离为，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为，则下降前后的水平距离为． 依题意，得， 解得或（舍去）， ∴他沿斜坡向下滑行时，下降的高度为． 10. 将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 列代数式表示“a的相反数与b的和”是___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，理解代数式的语言描述是解题的关键． 根据题意直接列代数式即可． 【详解】解：列代数式表示“a的相反数与b的和”是． 故答案为：． 12. 已知反比例函数 y=的图像都过A（1，3）则m=______. 【答案】3． 【解析】 【分析】把点A（1，3）代入函解析式即可求出m的值． 【详解】解：把点A（1，3）代入函解析式得3=，解得m=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 13. 一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有_______个红色小球． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右， ∴摸取到红色小球的概率为， 设盒子里有个红色小球， 由题意，得：， 解得：， 故盒子中约有个红色小球， 故答案为：． 14. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图2所示，它是以为圆心，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，利用扇形面积公式，根据即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 15. 如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则________． 【答案】38 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点E为边中点， ∴， ∴． 故答案为：38． 16. 如图，在矩形中，的平分线交于点于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论： ； ； ； ． 其中正确的有 ___________ 填序号 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到； 然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出正确； 求出，然后根据等角对等边可得，判断出正确； 连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ，故正确， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接． ， ， ， ， ， ， ， ，故正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的法则可得：，根据特殊角的三角函数值可得：，根据绝对值的定义可得：，再根据运算法则进行计算． 【详解】解： ． 18. 如图，在矩形中，点在延长线上，点在延长线上，且连接、．求证：． 【答案】证明：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先推导出，得到，继而推导出，得到，即可解答． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 20. 为响应“健康中国”战略，某校将课间延长至15分钟以鼓励学生参与体育活动．现从八年级随机抽取部分学生，统计其每日课间主动运动时间（单位：分钟），部分信息如下： 信息1：绘制如下表格： 等级 运动时间 频数 频率 低活跃 6 a 中等活跃 14 高活跃 b c 超高活跃 8 信息2：每日课间主动运动时间在中的具体数据为15，15，16，16，17，18，19，20． 根据以上信息，解答下列问题： （1）计算： ______， ______， ______； （2）求所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数； （3）若该校八年级共有600名学生，估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数． 【答案】（1）；12； （2）17分钟 （3）510人 【解析】 【分析】（1）由“超高活跃”的频数和频率，根据抽取人数频数频率，先求得的抽取学生总人数，进而求得a、b、c的值； （2）根据求平均数公式解答； （3）根据总学生人数乘以达到中等活跃及以上的频率总和解答． 【小问1详解】 解：抽取学生总人数为（人）， 则， ， ； 【小问2详解】 解：（分钟）， 答：所抽取学生中每日课间主动运动时间达到“超高活跃”等级的平均数为17分钟． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计每日课间主动运动时间达到中等活跃及以上的学生人数有510人． 21. 河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． （1）求每个太阳帽、旅行包的进价； （2）该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个 （2）购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个，根据“购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元”列方程组求解即可； （2）设购进太阳帽m个，旅行包个，设销售完后获得的利润为w元，根据“总利润=太阳帽的利润+旅行包的利润”建立函数，根据函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设太阳帽进价x元/个，旅行包进价y元/个， 根据题意，得， 解得， 答：太阳帽进价4元/个，旅行包进价15元/个； 【小问2详解】 解：设购进太阳帽m个，旅行包个，获得的利润为w元， 根据题意，得， 解得， ∵ ， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进旅行包280个，购进太阳帽420个，可使销售所获利润最大，最大利润为2240元． 22. 如图，在中，，平分． （1）请在边上找一点O，并作圆O，使它满足以下条件： ①点B在圆O上； ②与边切于点D；（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的图中，若，，求的长． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由题意，当与边切于点，且点在圆上，圆心在边上，则，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，进而证明，则有，从而确定作线段的垂直平分线即可得到答案； （2）解得到，设，则，解得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由切线的性质可得， 在中，， ∴可设， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点M在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点N，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，且为或或 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，解方程组即可． （2）根据得到，，对称轴为直线，设，．利用分类思想和中点坐标公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接． ∴， 解得， 故抛物线的解析式为， 令得， ∴． 【小问2详解】 存在点N,使得四边形为平行四边形，且或或．理由如下： ∵， ∴对称轴为直线， 设，． 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 当，两点为一条对角线时，此时中点坐标为 ，两点为另一条对角线，此时中点坐标为， 故， 解得，此时， 故； 综上所述，点或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，与坐标轴的交点，平行四边形的存在问题，中点坐标公式，分类思想，熟练掌握待定系数法，平行四边形的性质是解题的关键． 24. （1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形的中心，作，将它分成4份．所分成的四部分和以为边的正方形恰好能拼成以为边的正方形．若，求的值； （3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形的边长为定值，小正方形的边长分别为．已知，当角变化时，探究与的关系式，并写出该关系式及解答过程（与的关系式用含的式子表示）． 【答案】（1）见详解；（2）EF=或；（3）c+b=n，理由见详解 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即可得到结论； （2）设EF=a，FD=b，由图形的特征可知：a+b=12，a-b=±5，进而即可求解； （3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f，由相似三角形的性质可知：，结合勾股定理，可得，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． ∴c2＝ab×4＋（b−a）2， 化简得：a2＋b2＝c2； （2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形， 设EF=a，FD=b， ∴a+b=12， ∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成， ∴，，， 当EF>DF时， ∵， ∴a-b=5， ∴，解得：a=， ∴EF=； 同理，当EF<DF时，EF= 故EF=或 （3）设正方形E的边长为e，正方形F的边长为f， ∵， ∴图中①与②与③，三个直角三角形相似， ∴，即：， ∵图形③是直角三角形， ∴， ∴，即：c+b=n， 【点睛】 本题主要考查勾股定理及其证明过程，相似三角形的判定和性质，找准图形中线段长和面积的数量关系，是解题的关键． 25. 如图，是的切线，D是直径延长线上的一点，连接、，设（）． （1）若，求． （2）延长至E，使，过点E作的垂线，分别交、于点F，H． ①若，直径，求的长． ②求证：． 【答案】（1） （2）①； ② 证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得根据圆周角定理可得，进而求得； （2）①根据已知求得，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②先证明得出，进而可得， 证明得出，进而得出，再求比值，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，因为是的切线， ， 【小问2详解】 ①∵是直径 ∴ ∵在中，， 设， ∴ ∴ 解得： ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴， 解得：； ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $