精品解析：山东济宁市泗水县2025－2026学年第二学期考前模拟质量监测九年级数学试题

2025-2026学年第二学期第三次模拟质量监测 九年级数学试题 （测试时间：120分钟满分：120分） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的结果是（ ） A. B. 2026 C. D. 2. 年山东省总量约为万亿元，成为全国第三个突破万亿元的省份．万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是两个或多个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出来的部分叫榫（或榫头），凹进去的部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图1，这是某个构件的简图，图2是“卯”部位，则该“卯”的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜“的盛赞．某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象（如图所示）．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，静坐60分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 10. 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中的点的个数是（　　） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：____________． 12. 关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 13. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 14. 在分别写有，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为 ________. 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 2026年4月24日将迎来第十一个“中国航天日”，今年恰逢中国航天事业创建70周年，今年的“中国航天日”主题为“七秩问天路，携手探九霄”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】七年级学生竞赛成绩分别为： 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：．绘制了不完整的统计图： 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图 （2）七年级学生竞赛成绩的众数是______，八年级学生竞赛成绩的中位数是______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为______度； （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加参加此次竞赛，请估计七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 18. 如图，四边形是矩形，，点F是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想证明：若，试判断和的数量关系并说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 20. 某商店计划购进一批、两种型号的计算器，若购进型计算器10只和型计算器8只，共需要资金880元；若购进型计算器2只和型计算器5只，共需要资金380元． （1）求、两种型号的计算器每只进价各是多少元？ （2）该商店计划购进这两种型号的计算器共50只．根据市场行情，销售一只型计算器可获利9元，销售一只型计算器可获利18元．该商店希望销售完这50只计算器，所获利润不少于购进总成本的25%．则该商店至少要采购型计算器多少只？ 21. 如图，为的直径，为上一点，直线l经过点C，，垂足为D，且平分． （1）求证：直线l为的切线； （2）连接，若，求． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 23. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期第三次模拟质量监测 九年级数学试题 （测试时间：120分钟满分：120分） 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的结果是（ ） A. B. 2026 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 年山东省总量约为万亿元，成为全国第三个突破万亿元的省份．万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：万亿． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A： ，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D： ，故D错误． 4. 榫卯是两个或多个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出来的部分叫榫（或榫头），凹进去的部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图1，这是某个构件的简图，图2是“卯”部位，则该“卯”的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由图可知，该“卯”的主视图是： 5. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意； 6. 新郑红枣是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜“的盛赞．某生态示范园计划种植一批枣树，原计划总产值为万公斤，为满足市场需求，示范园决定改良枣树品种，改良后平均亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩，设原来平均亩产量为x万公斤，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是原来的万公斤，根据“总产量比原计划增加了万公斤，种植亩数减了亩”列出分式方程即可． 【详解】解：设原来平均亩产量为x万公斤，则改良后平均亩产量是原来的万公斤，则， 故选：A 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． 7. 如图，中弦，相交于点P，连接，，则图中与相等的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．根据圆周角定理得出即可． 【详解】解：根据圆周角定理得：， 故选：C． 8. 如图，放风筝的人与风筝的水平距离是90米，若拉紧的风筝线与水平线的夹角，则放出的线的长度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据余弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：A． 9. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象（如图所示）．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，静坐60分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，静坐60分钟， 乳酸浓度高于，不能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确； 故选：D． 10. 观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第（为正整数）个图形中的点的个数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，设第个图形共有个点（为正整数），由图可得，，，，…，由此即可得解． 【详解】解：设第个图形共有个点（为正整数）， 观察图形，可知，，，，…， 所以（为正整数）． 故选B． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 12. 关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 13. 已知扇形的半径是3、圆心角，则这个扇形的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是扇形的面积公式，根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵扇形的半径是3、圆心角， ∴扇形的面积． 故答案为：． 14. 在分别写有，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1的概率为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据概率公式，所抽取的数字平方后等于1共有2张，除以总卡片数即为所求的概率． 【详解】试题解析：因为，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于1共有2张， 所以所抽取的数字平方后等于1的概率为， 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，的圆心为原点，半径，点P是圆O上的一个动点，求的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】在上取一点，证明，得出，则，当三点共线时，取得最小值，即线段的长度，根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：已知半径，， ， 在上取一点， 此时， ， ， ，即， ， 当三点共线时，取得最小值，即线段的长度， ， ， 故的最小值为． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先分别计算特殊值三角函数值，零指数幂，立方根及负指数幂，再进行实数加减的运算即可； （2）先计算括号内的分式加减，再计算分式的除法，得到化简结果，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 2026年4月24日将迎来第十一个“中国航天日”，今年恰逢中国航天事业创建70周年，今年的“中国航天日”主题为“七秩问天路，携手探九霄”．为迎接中国航天日，我校举行了七、八年级航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． 【收集、整理数据】七年级学生竞赛成绩分别为： 八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为：．绘制了不完整的统计图： 【问题解决】 请根据上述信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图 （2）七年级学生竞赛成绩的众数是______，八年级学生竞赛成绩的中位数是______，八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为______度； （3）如果该校七年级有名学生，八年级有名学生参加参加此次竞赛，请估计七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）88和89分；分； （3）七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数为人 【解析】 【分析】（1）根据频数分布直方图求出，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数、众数的定义即可求解，求出名八年级学生中，成绩D组占总数的百分比乘以即可求解； （3）用乘以七年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比，用乘以八年级竞赛成绩不低于分的学生人数的占比，再把两者相加即可． 【小问1详解】 解：， 如图所示： 【小问2详解】 解：∵七年级学生竞赛成绩的中出现次数最多，都是次， ∴七年级学生竞赛成绩的众数是88和89分， ∵，即：A，B两组共人， ∴将八年级学生竞赛成绩按从小到大排列第的成绩为， ∴八年级学生竞赛成绩的中位数是分， ∵， ∴八年级学生成绩D组在扇形统计图中所占扇形的圆心角为度； 【小问3详解】 解：（人） 答：七年级和八年级竞赛成绩不低于分的学生人数为人． 18. 如图，四边形是矩形，，点F是延长线上一点，连接． （1）尺规作图：过点A作的垂线交于点E．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）猜想证明：若，试判断和的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，长为半径画弧，交于两点，分别以这两点为圆心，大于二分之一这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接这一点和点A交于点E，即为所求； （2）由得，由四边形是矩形和得，从而，故． 【小问1详解】 解：作图如下： ∴即为所求； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）为轴上的一动点，当的面积为3时，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，求反比例函数、一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，设，则，表示出，，结合得出，求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入，得，解得， 一次函数的解析式为， 把点代入，得， ∴ 把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 【小问2详解】 解：把代入，得， ， 设，则， ，， ， ， 或， 或． 20. 某商店计划购进一批、两种型号的计算器，若购进型计算器10只和型计算器8只，共需要资金880元；若购进型计算器2只和型计算器5只，共需要资金380元． （1）求、两种型号的计算器每只进价各是多少元？ （2）该商店计划购进这两种型号的计算器共50只．根据市场行情，销售一只型计算器可获利9元，销售一只型计算器可获利18元．该商店希望销售完这50只计算器，所获利润不少于购进总成本的25%．则该商店至少要采购型计算器多少只？ 【答案】（1）种型号的计算器每只进价40元，种型号的计算器每只进价为60元；（2）该经销商至少要采购型计算器13只． 【解析】 【分析】（1）设种型号的计算器每只进价元，种型号的计算器每只进价为元，根据题意，列出二元一次方程组，并解方程组即可； （2）设该经销商要采购型计算器只，根据“所获利润不少于购进总成本的25%”列不等式，并解不等式即可． 【详解】解：（1）设种型号的计算器每只进价元，种型号的计算器每只进价为元，根据题意，得 解得： 答：种型号的计算器每只进价40元，种型号的计算器每只进价为60元． （2）设该经销商要采购型计算器只，根据题意，得 解之，得 所以，该经销商至少要采购型计算器13只 答：该经销商至少要采购型计算器13只． 【点睛】此题考查的是二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． 21. 如图，为的直径，为上一点，直线l经过点C，，垂足为D，且平分． （1）求证：直线l为的切线； （2）连接，若，求． 【答案】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 点C在上，为的半径， 直线l为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据角平分线及等腰三角形的性质可证明，结合，即可证明结论； （2）设直线l交的延长线于点P，过点B作于点H，连接，设，根据直角三角形的性质及解直角三角形的知识，可逐步求得，，，，即可根据正切函数的定义求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设直线l交的延长线于点P，过点B作于点H，连接， ， 又为的直径， ， ， ， ， 在中，设， 则， ， 在中，， ， 在中，， ， 在中，． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】（1） （2）①，②5 【解析】 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【小问1详解】 解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． 【小问2详解】 解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 23. 【模型建立】 （1）如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系； 【模型迁移】 （3）如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）10或26． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由可知，再利用证明，得到，然后结合勾股定理即可得出结论； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，利用证明，得到，再根据勾股定理即可得出结论； （3）延长到点，使，连接，易得是等腰直角三角形，利用证明，得到，因此得到是等腰直角三角形，进而可求出，故．如解图3，过点A作交于点E，利用证明，得到，由勾股定理得，所以，进而可得． 【详解】解：（1）．理由如下： 由题意，得与均为等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）．理由如下： 如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． （3）如解图2，延长到点，使，连接． ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：， ， ， ， ， ． 如解图3，过点A作交于点E，则． ， ． ， ． 又， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的面积为10或26． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $