专题02 长方体和正方体及体积（专项训练）五升六数学暑假专项提升（冀教版）

**基本信息** 聚焦长方体和正方体及体积，以“概念-公式-应用”为主线，系统梳理特征、表面积、体积等核心知识，通过分层训练培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|2大板块|表面积分类计算（含无底/盖）、体积公式逆用、单位换算技巧|从几何特征到度量计算，构建“特征-表面积-体积-容积”递进逻辑| |综合提升练|5类题型|拼接/切割表面积变化、排水法求体积、土石方计算|以生活情境题（如游泳池、礼盒）承载知识应用，强化模型意识|

2025-2026五年级下册数学暑假专项提升 专题二 长方体和正方体及体积 【知识点梳理】 长方体和正方体 一、长方体和正方体的特征 1.长方体 ①有⑥个面，（相对的面）完全相同；长方体放桌面上，最多只能看到③个面。 ②有（12）条棱，（相对）的棱长长度相等，而且相对的棱互相（平行）；长方体的棱长总和=长×4+宽×4+高×4=（长+宽+高）×4 ③有(8)个顶点，每个顶点上的三条棱分别称为长方体的(长、宽、高)。 2.正方体 ①有(6)个(完全相同)的面；正方体放桌面上，最多只能看到3个面。 ②有(12)条(长度相等)的棱，每条棱的长度称为正方体的棱长；正方体的总棱长=棱长×12。 ③有(8)个顶点。 二、长方体和正方体的表面积 1.定义：长方体或正方体6个面的(总面积),叫做它的(表面积)。 2.长方体表面积计算法一： 长方体的表面积(有六个面)=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2 长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2【因为长方体相对的面完全相同】 无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+(长×高+宽×高)×2 无底又无盖长方体表面积=(长×高+宽×高)×2 3.长方体表面积计算法二： 前、后面的表面积：长×高×2 左、右面的表面积：宽×高×2 上、下面的表面积：长×宽×2 则长方体的表面积(有六个面)=长×高×2+宽×高×2+长×宽×2 4.正方体的表面积(有六个面)=棱长×棱长×6【因为正方体的六个面完全相同】 5.解决问题：在解决一些问题时，要充分考虑实际情况，想清楚要算几个面。 在解答时，可以把这几个面的面积分别算出来，再相加，也可以先算出六个面的面积总和，再减去不需要的那个(些)面。 (1)具有六个面的长方体或正方体物品：(油箱)、(罐头盒)等； (2)具有五个面的长方体或正方体物品：(水池)、(鱼缸)等； (3)具有四个面的长方体或正方体物品：(水管)、(烟囱)等。 6.一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。 7.长方体或正方体的长、宽、高同时扩大(或缩小)几倍，表面积会扩大(或缩小)倍数的平方倍。如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍。长、宽、高各缩小，表面积就会缩小到原来的。 8.把长方体或正方体截成若干个小长方体(或正方体)后，表面积增加了，体积不变。 9.表面积相等的长方体和正方体的体积相比，正方体体积大。 10.体积相等的长方体和正方体的表面积相比，长方体表面积大。用刀分开物体时，每分一次增加两个面。(表面积相应增加) 11.长方体或正方体底面的面积叫做底面积。(横截面积相当于底面积，长相当于高)。 长方体和正方体的体积 一、认识体积和体积单位 1、物体都占有一定的空间，物体大小不同，所占的空间也不同。 2、物体所占空间的大小叫做物体的体积。 3、物体所占的空间越大，物体的体积就越大；物体所占的空间越小，物体的体积就越小。 4、常用的体积单位有立方厘米(cm³)、立方分米(dm³)、立方米(m³)。 5、cm是长度单位，长度单位计量线段的长短。cm²是面积单位，面积单位计量平面的大小。 cm³是体积单位，体积单位计量物体所占空间的大小。 6、cm、cm²、cm³是不同种类的量，它们之间不能进行大小比较。 二、长方体和正方体的体积 1、长方体体积公式的字母表达式 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积公式可以写成：V=abh。 2、长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。 3、根据长方体的体积公式，已知体积和长、宽、高中的任意两个量，可以求出长、宽、高中的第三个量。 已知长方体的体积、宽和高，求长：a=V÷b÷h或a=V÷(bh)。 已知长方体的体积、长和高，求宽：b=V÷a÷h或b=V÷(ah)。 已知长方体的体积、长和宽，求高：h=V÷a÷b或h=V÷(ab)。 三、容积 1.容积：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 计量容积一般用体积单位：(立方厘米、立方分米和立方米)。但计量液体的体积，如水、油等，常用(升和毫升)(即L和ml)。 容积和体积的计算方法相同，但计算容积时需要从容器里面测量数据。所有的物体都有体积，但不是所有的物体都有容积。 2.体积单位与容积单位：1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升 1L=1dm³ 1ml=1cm³ 1L=1000ml 3.换算单位要注意： (1)要看清需要换算的是不是相邻的体积单位，只有相邻的两个体积单位间的进率才是1000。 (2)换算时，0的个数要数清。 4、单名数化复名数： 整数部分直接写在高级单位前，小数部分乘进率写在低级单位前。 5、复名数化高级单位的单名数：低级单位的数除以进率，再加上高级单位的数。 6、复名数化低级单位的单名数：高级单位的数乘进率，再加上低级单位的数。 四、土石方问题 1、生活中，计量沙、土、石子等的体积时，常常把“立方米”简称为“方”。 2、拦河坝的体积=横断面的面积×长。拦河坝的横断面是梯形，拦河坝的体积=梯形面积×长。 3、组合图形的体积等于各部分体积的和。求组合图形的表面积要根据具体情况进行分析，不能盲目套用公式计算。 【综合提升练】 一、填空题 1．在（    ）里填上合适的单位和数。 天和核心舱是中国空间站发射入轨的首个舱段，也是我国目前研制的规模最大的航天器，起飞质量为22.5( )。天和核心舱全长16.6( )，竖立起来，比五层楼还高。舱内可供3名航天员长期在轨驻留，供航天员活动的空间至少有50( )。 2．在横线上填入合适的体积单位。 土豆的体积约是120________  电蒸锅的体积约是24________        移动垃圾箱的体积约是4.5_______ 3．做一个长8cm、宽4cm、高6cm的长方体框架需要( )cm长的铁丝；若用同样长的铁丝做一个正方体，这个正方体的棱长是( )cm。 4．想一想。 老师为同学们准备了小棒（如图）、小棒数量有剩余，用这些小棒搭成一个长方体，它的长是( )，宽是( )，高是( )，棱长总和是( )。 5．成才小学要修一个长100米，宽50米的长方形运动场，需要铺10厘米厚的沙土，共需要沙土( )立方米。 6．家具厂订购了400根方木，每根方木横断面的面积是2.4平方分米，长是2米。这些木料一共( )立方米。 7．1040升( )立方米    25秒＝( )分 3平方米3平方分米＝( )平方分米    80.08立方分米＝( )升( )毫升 8．一根长方体木料，长5米，如果沿横截面锯成两段，表面积增加12平方分米，这根木料的体积是( )立方米。 9．爸爸用一根铁丝正好围成了一个长是18厘米，宽是12厘米，高是6厘米的长方体框架，用彩纸把这个长方体框架全部包住，最少需要___________平方厘米的包装纸；如果爸爸用这根铁丝围成一个正方体框架，他所围成的正方体框架的棱长是___________厘米，用包装纸把这个正方体框架全部包住，至少需要___________平方厘米的包装纸。 10．把两个完全一样的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是600，原来每个小正方体表面积是( )。 11．一个正方体灯笼的棱长总和是72厘米，它的棱长是( )厘米，表面积是( )平方厘米。 12．一种益生菌固体饮料的外包装盒是一个长10厘米、宽6厘米、高15厘米的长方体。在外包装盒的侧面贴有一圈标签纸（不包含上、下底面），这圈标签纸的面积至少是( )平方厘米。 13．把一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体截成两个相同的小长方体，表面积最多增加( )平方分米，最少增加( )平方分米。 二、选择题 14．花生油油桶标签上印有“净含量1.8L”，这里1.8L指的是（    ）。 A．油桶的容积 B．油桶的体积 C．油桶内所装花生油的体积 D．既是油桶的容积也是所装花生油的体积 15．下面的图形中，（    ）不是正方体的平面展开图。 A． B． C． 16．下面正方体的展开图是（    ）。 A． B． C． 17．妈妈买了一个无盖的正方体鱼缸，棱长是3dm，那么制作这个鱼缸至少需要（    ）dm2的玻璃。 A．9 B．27 C．45 18．用一根长60厘米的铁丝刚好能焊成一个长7厘米、宽5厘米的长方体框架，这个长方体框架的高是（    ）厘米。 A．3 B．4 C．5 19．一个无盖的长方体鱼缸，它最多有（    ）个面是相同的长方形。（玻璃厚度忽略不计） A．2 B．4 C．5 20．下面的图形，（    ）沿虚线折起来不可能围成长方体。 A． B． C． 21．修一条拦河大坝需要1100方土石，已知这条拦河大坝长50米，那么横断面面积是（    ）平方米。 A．22 B．44 C．66 三、判断题 22．把一个长方体铁块熔铸成一个正方体，虽然形状变了，但体积没有变化。( ) 23．棱长是6dm的正方体，它的体积和表面积相等。( ) 24．体积是1立方分米的物体，棱长一定是1分米。( ) 25．正方体的棱长是a时，它的表面积是6a2。( ) 26．把一个长方体切成两个小长方体，两个小长方体的表面积之和与原长方体相比，表面积增加了。( ) 27．表面积不相等的两个正方体，体积也一定不相等。( ) 28．正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和与表面积都扩大到原来的2倍。( ) 29．看到一个盒子一面是正方形，则这个盒子一定是正方体。( ) 30．一个长是20米、宽是10米、高是5米的长方体货箱，占地面积是1000平方米。( ) 31．一个正方体一个顶点处的3条棱长和是15厘米，则这个正方体所有棱的棱长和是60厘米。( ) 四、计算题 32．计算下面图形的表面积。（单位：cm） 33．计算下面立体图形的体积。        五、解答题 34．暑假盼盼想去学游泳，妈妈告诉她，游泳馆的游泳池长25米，宽18米，深1.4米，池内水深1.2米，它的内壁和池底涂有一层蓝色的防水涂料。 (1)这个游泳池涂蓝色防水涂料的面积有多大？ (2)游泳池内水的体积是多少立方米？ 35．每年农历五月初五是中华民族的传统节日——“端午节”。如图是用丝带捆好的粽子礼盒（单位：厘米），礼盒中有12个粽子。 (1)打结处需要25厘米的丝带，用1.5米长的丝带捆扎这个礼盒够吗？ (2)把煮好的12个粽子完全浸没进一个长50厘米、宽25厘米、高35厘米的长方体容器中冰镇，容器中的水面上升了6厘米（水未溢出）。平均每个粽子的体积是多少立方厘米？ 36．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6厘米，5厘米，4厘米，那么正方体的棱长是多少厘米？它们的体积相等吗？ 37．为了让学生有参与种植的体验，王老师为花箱购置一些营养土并指导学生把营养土平整地铺进花箱（如图），上面要预留出2厘米高的空间不铺土方便浇水。若箱子厚度忽略不计，至少需要买几袋这样的营养土？ 38．小方有一些高度不一样的长方体积木，如图，他先拿出一个长方体积木，然后在上面放一个高2厘米的长方体积木，就拼成了一个正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米。这个正方体的体积是多少立方厘米？ 39．通过本学期学习，我们知道“乌鸦喝水”故事中，乌鸦能喝到水的原因是石子占用了瓶中水的空间，导致水面上升。下图中，现在的水面高度是容器高度的一半，请算一算，乌鸦至少要衔多少立方厘米的小石头放进瓶里才能喝到水？ 40．在棱长为3厘米的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1厘米的正方形（如图），挖洞后木块的体积是多少立方厘米？ 试卷第1页，共3页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1． 吨/t 米/m 立方米/m3 【分析】常见质量单位包括克、千克、吨，航天器属于质量极大的物体，结合数据22.5，选择“吨”作单位更合适； 常见长度单位包括毫米、厘米、分米、米、千米，16.6米与5层楼的高度（约15米）接近，因此选择“米”作单位更合适； 常见体积单位包括立方厘米、立方分米、立方米，棱长为1米的正方体体积为1立方米。舱内航天员活动空间属于较大的容积，结合数据50，选择“立方米”作单位更合适。 【详解】天和核心舱是中国空间站发射入轨的首个舱段，也是我国目前研制的规模最大的航天器，起飞质量为22.5吨（t）。天和核心舱全长16.6米（m），竖立起来，比五层楼还高。舱内可供3名航天员长期在轨驻留，供航天员活动的空间至少有50立方米（m3）。 2． 立方厘米/ 立方分米/ 立方米/ 【分析】结合生活经验和常见体积单位的大小（1立方厘米、1立方分米、1立方米），据此判断不同物体对应的合适体积单位。 1立方厘米：约1个手指尖的大小，适合较小的物体； 1立方分米：约1个粉笔盒的大小，适合中等大小的物体； 1立方米：约1个洗衣机的大小，适合较大的物体。 【详解】土豆体积较小，120立方厘米（或）符合实际； 电蒸锅体积中等，24立方分米（或）符合实际； 移动垃圾箱体积较大，4.5立方米（或）符合实际。 3． 72 6 【分析】铁丝长度相当于长方体和正方体的棱长总和。长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长＝棱长总和÷12。 【详解】铁丝长度：（8＋4＋6）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 正方体的棱长：72÷12＝6（cm） 4． 20厘米 20厘米/10厘米 10厘米/20厘米 200厘米 【分析】长方体有4个长、4个宽和4个高，而28厘米长的小棒只有2根，所以做长方体框架时不能用28厘米长的小棒，只能用8根20厘米长的小棒和4根10厘米长的小棒；再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出长方体框架的棱长总和即可。 【详解】第一种情况：长20厘米，宽20厘米，高10厘米 （20＋20＋10）×4＝50×4＝200（厘米） 第二种情况：长20厘米，宽10厘米，高20厘米 （20＋10＋20）×4＝50×4＝200（厘米） 5．500 【分析】根据长方形体积＝长×宽×高，据此解答，注意单位统一。 【详解】10厘米＝0.1米 100×50×0.1 ＝5000×0.1 ＝500（立方米） 6．19.2 【分析】长方体体积＝底面积×高，求出每根方木的体积，再乘400即可解答，注意单位统一。 【详解】2.4平方分米＝0.024平方米 0.024×2×400 ＝0.048×400 ＝19.2（立方米） 7． 1.04/ 303 80 80 【分析】低级单位换算成高级单位，要除以进率；高级单位换算成低级单位，要乘进率。先将升换算成立方分米，立方分米和立方米之间的进率是1000，秒和分之间的进率是60，平方米与平方分米之间的进率是100，1立方分米＝1升，升与毫升之间的进率是1000。 复名数换算成单名数，先将高级单位的数乘进率，化成和后面相同的低级单位，再加上原本的低级单位的数值。 单名数换算成复名数，先把单名数的数值拆成整数部分和小数部分，整数部分直接作为高级单位的数，小数部分乘进率换算成低级单位的数。 【详解】1040升＝1040立方分米，1040÷1000＝1.04（立方米） 25÷60＝＝（分） 3×100＝300平方分米，300＋3＝303（平方分米） 80.08立方分米＝80.08升，0.08×1000＝80（毫升），80.08立方分米＝80.08升＝80升80毫升 8．0.3 【分析】如下图，增加的表面积是两个相等的长方形的面积的和。其中一个长方形的面积就是长方体的宽×长方体的高。先求出长方体的宽×长方体的高，再利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出木料的体积。 【详解】12÷2＝6（平方分米） 1平方米＝100平方分米 6÷100＝0.06（平方米） 木料的体积： 0.06×5＝0.3（立方米） 9． 792 12 864 【分析】根据题目，用彩纸把长方体框架包住，要求的包装纸面积，就是长方体的表面积；因铁丝未变，用这个铁丝围正方体，那需要先用长、宽、高算出铁丝的总长度，再通过正方体棱长＝铁丝总长度÷12，计算出一条棱长，有棱长，再求正方体表面积S＝a×a×6。 【详解】（18×12＋12×6＋18×6）×2 ＝（216＋72＋108）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） （18＋12＋6）×4 ＝36×4 ＝144（厘米） 144÷12＝12（厘米） 12×12×6 ＝144×6 ＝864（平方厘米） 10．360 【分析】一个小正方体有6个完全相同的正方形面，两个小正方体原本总共有6×2＝12个正方形面，两个小正方体拼成一个长方体时，会有2个面重合贴在一起，不再属于长方体的表面积，因此拼成的长方体的表面积相当于12－2＝10个小正方形面的面积和，长方体表面积÷10＝正方体每个面的面积，每个面的面积×6＝正方体表面积。 【详解】600÷（6×2－2）×6 ＝600÷（12－2）×6 ＝600÷10×6 ＝60×6 ＝360（cm2） 11． 6 216 【分析】先根据“正方体的棱长＝棱长总和÷12”求出它的棱长，再根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出它的表面积。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 12．480 【分析】求这圈标签纸的面积就是求长方体前、后、左、右，4个面的面积和，这圈标签纸的面积＝长×高×2＋宽×高×2。 【详解】10×15×2＋6×15×2 ＝300＋180 ＝480（平方厘米） 13． 108 48 【分析】将一个长方体截成两个完全相同的小长方体，一共有3种不同的截法。 竖着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是左面和右面； 横着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是上面和下面； 侧着切，截成的长方体的表面积之和比原来增加了2个截面的面积，分别是前面和后面。 分别求出3种截法对应的截面的面积，最后比较大小即可求得。 【详解】横着切，表面积增加： 6×4×2 ＝24×2 ＝48（平方分米） 横着切，表面积增加： 9×6×2 ＝54×2 ＝108（平方分米） 侧着切，表面积增加： 9×4×2 ＝36×2 ＝72（平方分米） 108平方分米＞72平方分米＞48平方分米 表面积最多增加108平方分米，最少增加48平方分米。 14．C 【分析】体积是物体所占空间的大小，容积是容器所能容纳物体的体积，而净含量是指容器内实际装有的物体的量。 【详解】A．油桶的容积是指油桶内部空间的大小，通常略大于净含量，以便装填，此选项错误。 B．油桶的体积是指油桶本身（包括铁皮厚度）所占空间的大小，此选项错误。 C．标签上的净含量1.8L指的是油桶内所装花生油的体积，此选项正确。 D．容积是容器的属性，净含量是内装物的量，两者概念不同，不一定相等，此选项错误。 15．C 【分析】根据正方体展开图的11种模型判断。11种模型分别是“1－4－1型”6种，4个正方形相连，两边各1个正方形；“2－3－1型”3种，第一排2个正方形相连，第2排3个正方形相连，第3排1个正方形；“2－2－2型”1种，两两相连；“3－3型”1种，三个两排一对齐。 【详解】A．符合“1－4－1型”，能围成正方体。 B．符合“2－3－1型”，能围成正方体。 C．不符合正方体展开图的11种模型，不能围成正方体。 16．B 【分析】从图中可以看出笑脸，心形和圆环所在的面是相邻的三个面，由此分析。 【详解】A．通过折叠可知，圆环与笑脸所在的面相对，与原正方体中三者的位置不一致，不符合要求。 B．折叠后，笑脸，心形和圆环所在的面是相邻的三个面，与原正方体中三者的位置一致，符合要求。 C．折叠后，心形与笑脸所在的面相对，与原正方体中三者的位置不一致，不符合要求。 17．C 【分析】玻璃的面积＝棱长×棱长×5。 【详解】3×3×5＝45（dm2） 制作这个鱼缸至少需要45dm2的玻璃。 18．A 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【详解】60÷4－7－5 ＝15－7－5 ＝3（厘米） 这个长方体框架的高是3厘米。 19．B 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 【详解】 当无盖的长方体鱼缸的底面是正方形时，如图，前后左右4个面是相同的长方形，因此它最多有4个面是相同的长方形。 20．C 【分析】长方体展开图的特征：有6个面，一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），分为3组，3组相对的面完全相同，且相对的面在展开图中是间隔出现的，据此逐项分析。 【详解】 A．沿虚线折起来可以围成长方体； B．沿虚线折起来可以围成长方体； C．两个完全相同的面相邻，不是间隔出现，所以沿虚线折起来不可能围成长方体。 沿虚线折起来不可能围成长方体。 21．A 【分析】把这条拦河大坝看作一个长方体，土石方的体积就是这个长方体的体积，大坝的长就是长方体的高，横断面的面积就是长方体的底面积。长方体的体积＝底面积×高，因此底面积＝体积÷高。1100方就是1100立方米。 【详解】1100÷50＝22（平方米） 22．√ 【分析】体积指的是物体所占空间的大小；铁块熔铸过程中，只是形状发生改变，所占空间的大小没有变化，据此判断。 【详解】把一个长方体铁块熔铸成一个正方体，虽然形状变了，但体积没有变化；原说法正确。 故答案为：√ 23．× 【分析】分析题目，这个正方体的体积单位是dm3，表面积单位是dm2，单位不相同，无法比较大小。 【详解】根据分析可知：正方体的体积和表面积因为单位不同，所以无法比较大小；原说法错误。 故答案为：× 24．× 【分析】根据体积的定义，物体所占空间的大小叫做物体的体积。体积相同的物体，形状不一定相同。题干中只给出了物体的体积，未规定物体的形状是正方体。若物体是长方体，长、宽、高的乘积为1立方分米即可，其棱长不一定都是1分米。 【详解】体积是1立方分米的物体，形状不确定，不一定是正方体。若该物体是长方体，根据长方体体积公式：体积 ＝ 长×宽×高。当长2分米，宽0.5分米，高1分米时，2×0.5×1＝1（立方分米）。此时体积是1立方分米，但棱长不全是1分米。所以体积是1立方分米的物体，棱长不一定是1分米。 故答案为：× 25．√ 【分析】已知正方体的棱长是a，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，把字母代入公式中化简即可。 【详解】a×a×6＝6a2 正方体的棱长是a时，它的表面积是6a2。 原题说法正确。 故答案为：√ 26．√ 【分析】把一个长方体切成两个小长方体，因为面数目增加，所以表面积增加。 【详解】 如图，把一个长方体切成两个小长方体，表面积增加了2个切面，两个小长方体的表面积之和与原长方体相比，表面积增加了，说法正确。 故答案为：√ 27．√ 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的表面积和体积均由棱长决定。若两个正方体的表面积不相等，则它们的棱长必然不同。由于体积是棱长的立方，棱长不同则体积必定不同。 【详解】假设两个正方体的棱长分别为a和b。表面积：a×a×6＝6a2，b×b×6＝6b2；体积：a×a×a＝a3，b×b×b＝b3。若表面积不相等，则6a2≠6b2，可得a≠b。a3与b3必然不相等。因此，表面积不相等的两个正方体，体积一定不相等。 故答案为：√ 28．× 【分析】假设正方体的棱长为1，棱长扩大到原来的2倍，正方体的棱长变为2，根据正方体的棱长和＝棱长×12，求出扩大前后正方体的棱长和，进而求出它们变化前后的关系；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出扩大前后正方体的表面积，进而求出它们变化前后的关系。据此解答。 【详解】假设正方体的棱长为1， 原来的棱长和：1×12＝12 原来的表面积：1×1×6＝6 棱长扩大到原来的2倍， 1×2＝2 现在的棱长和：2×12＝24 现在的表面积：2×2×6＝24 24÷12＝2 24÷6＝4 正方体的棱长扩大到原来的2倍，棱长总和扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的4倍。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了正方体棱长和公式、正方体表面积公式的灵活应用。 29．× 【分析】长方体有6个面，最多可以有2个面是正方形，据此回答即可。 【详解】看到一个盒子一面是正方形，它有可能是一个有2个面是正方形的长方体，所以这个盒子不一定是正方体。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查从不同位置观察单个物体和长方体的特点，熟练掌握即可。 30．× 【分析】面积的意义：物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。长方体货箱的占地面积指的是底面积，长是20米、宽是10米。根据长方体底面积＝长×宽，列式计算即可。 【详解】20×10＝200（平方米） 占地面积是200平方米，原题说法错误。 故答案为：× 31．√ 【分析】正方体有12条棱，每条棱的长度相等。相交于一个顶点的3条棱的长度和已知，利用正方体棱长总和与相交于一个顶点处3条棱长和的倍数关系进行计算，再与题干数据对比即可判断。 【详解】12÷3＝4 所以所有棱的棱长和是相交于一个顶点处3条棱长和的4倍。 15×4＝60（厘米） 所以这个正方体所有棱的棱长和是60厘米。 原题说法正确。 故答案为：√ 32．304cm2 【分析】这个组合图形是棱长为3cm的正方体叠放在长10cm、宽8cm、高3cm的长方体上，计算总表面积时：正方体底面和长方体被盖住的区域都不外露，因此总表面积＝长方体的表面积＋正方体4个外露侧面的面积。 计算长方体表面积根据长方体表面积公式S＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高）； 计算正方体外露的表面积正方体只外露4个侧面，先计算单个侧面，再乘4。 【详解】长方体表面积： 2×（10×8＋10×3＋8×3） ＝2×（80＋30＋24） ＝2×134 ＝268（cm2） 正方体单个侧面面积：3×3＝9（cm2） 正方体4个外露侧面的面积；4×9＝36（cm2） 总表面积：268＋36＝304（cm2） 图形表面积是304cm2。 33．147cm3；86.4m3 【分析】（1）组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。代入数值即可解答。 （2）先利用梯形面积公式（上底＋下底）×高÷2算出横截面面积，再用横截面面积乘高，求出体积。 【详解】（1）6×4×5＋3×3×3 ＝120＋27 ＝147（cm3） （2）（2＋2.8）×1.8÷2×20 ＝4.8×1.8÷2×20 ＝8.64÷2×20 ＝4.32×20 ＝86.4（m3） 34．(1)570.4平方米 (2)540立方米 【分析】（1）求游泳池涂蓝色防水涂料的面积就是求长方体的表面积，利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出长方体的表面积，最后减去一个上面的面积。 （2）长方体的长是25米，宽是18米，池内水深1.2米，利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出游泳池内水的体积，据此解答。 【详解】（1）（25×18＋25×1.4＋18×1.4）×2－25×18 ＝（450＋35＋25.2）×2－25×18 ＝510.2×2－25×18 ＝1020.4－450 ＝570.4（平方米） 答：这个游泳池涂蓝色防水涂料的面积是570.4平方米。 （2）25×18×1.2 ＝450×1.2 ＝540（立方米） 答：游泳池内水的体积是540立方米。 35．(1)够 (2)625立方厘米 【分析】（1）由图可知，礼盒是长10厘米，宽35厘米，高8厘米的长方体。丝带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结的长度。计算出需要的丝带的长度后与1.5米比较小，先将1.5米换算单位。 （2）根据排水法原理，12个粽子的体积之和是上升的那部分水的体积，可利用公式“长方体的体积＝长×宽×高”进行计算。再用上升的那部分水的体积除以12，就是平均每个粽子的体积。 【详解】（1）10×2＋35×2＋8×4＋25 ＝20＋70＋32＋25 ＝147（厘米） 1.5米＝150厘米 150＞147 答：够。 （2）50×25×6÷12＝625（立方厘米） 答：平均每个粽子的体积是625立方厘米. 36．5厘米；不相等 【分析】根据题长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4 即可计算出棱长总和，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，即可求出正方体的棱长。 再利用长方体的体积＝长×宽×高和正方体的体积＝棱长×棱长×棱长计算出各自的体积，最后通过比较数值得出结论。 【详解】（6＋5＋4）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝60÷12 ＝5（厘米） 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方厘米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 120立方厘米≠125立方厘米 答：正方体的棱长是5厘米，它们的体积不相等。 37．3袋 【分析】先用花箱总高度减去预留不铺土的2厘米，求出营养土铺设高度，再根据长方体体积＝长×宽×铺土高度求出营养土总体积，把体积单位换算成立方分米，最后用总体积除以每袋营养土体积求出需要的袋数。 【详解】100×50×（20－2） ＝5000×18 ＝90000（立方厘米） 90000立方厘米＝90立方分米 90÷30＝3（袋） 答：至少需要买3袋这样的营养土。 38．216立方厘米 【分析】根据题意，两个长方体的底面和拼成的正方体的底面大小相等，都是正方形。那么两个长方体都是上面、下面两个面是正方形，前面、后面、左面、右面4个面是长方形的特殊长方体。表面积比原来增加的部分是上面这个长方体的前面、后面、左面、右面4个面，这4个面都是高为2厘米的长方形、大小都相等，因此每个面的面积都是48÷4＝12平方厘米，长是12÷2＝6厘米。因此正方体棱长是6厘米，再根据正方体的体积公式即可求出。 【详解】 答：这个正方体的体积是216立方厘米。 39． 960立方厘米 【分析】求放进瓶里的小石头的体积，就是求上升部分的水的体积；先求出容器中现在的水的高度，再求出水面距离容器口2厘米时需要上升的高度，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出放进瓶里的小石头的体积。 【详解】20÷2＝10（厘米） 20－10－2＝8（厘米） 10×12×8 ＝120×8 ＝960（立方厘米） 答：乌鸦至少要衔960立方厘米的小石头放进瓶里才能喝到水。 40．立方厘米 【分析】所剩木块的体积是原正方体的体积减去挖去的三个洞（长方体）的体积。三个洞在正方体的正中心相交成一个棱长1厘米的正方体，在减去三个洞的体积时多减了两个相交的正方体的体积，最后再把它加上。正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】3×3×3－1×1×3×3＋1×1×1×2 ＝27－9＋2 ＝20（立方厘米） 答：挖洞后木块的体积是20立方厘米。 8 / 27 9 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $