专题04 万有引力与航天（暑假复习讲义）新高二物理人教版

专题04 万有引力与航天 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 开普勒三大定律的内容、理解与简单应用 2. 万有引力定律内容、公式、适用条件与基本计算 3. 重力与万有引力的关系、黄金代换式的推导与使用 4. 天体运动、卫星运动规律 5. 宇宙速度的定义、数值与物理意义 6. 卫星变轨问题、同步卫星、多星系统综合分析 1. 开普勒定律多以选择、填空考查，侧重行星运动轨迹、周期规律判断 2. 万有引力基础计算、黄金代换为必考基础题型，常结合星球表面重力考查 3. 环绕天体运动参量比较、计算是高频考点，以比值类、定量计算类选择题为主 4. 三大宇宙速度结合航天实例命题，区分各速度的物理含义 5. 同步卫星侧重轨道、周期、高度、角速度等特点辨析 6. 卫星变轨、多星系统、天体密度 / 质量计算为难点，常作为计算题、压轴选择题 考情解码：本专题是曲线运动与圆周运动的综合应用，属于高中物理力学重点内容。开普勒定律、万有引力公式、宇宙速度等基础内容难度偏低；天体运动参量分析、黄金代换应用为中档题型；卫星变轨、天体质量密度计算、同步卫星综合问题为拉分难点。命题紧密结合航天工程、行星探测、人造卫星等科技热点，情景新颖。 脉｜络｜重｜构 考｜点｜精｜讲 考点一、开普勒定律 【课标要求】通过观察、分析开普勒对行星运动的研究，了解开普勒三定律的内容，能运用开普勒定律解决简单的行星运动相关问题。 1. 两种学说 （1）地心说：认为地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月球及其他天体都绕地球运动 （2）日心说：认为太阳是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动 2. 开普勒行星运动定律 定律 内容 图示 说明 开普勒第一定 律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 行星运动的轨道必有近日点和远日点 开普勒第二定 律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运 动的速度比较快，而离太 阳较远时速度较慢 开普勒第三定 律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同 【典例破题1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图所示，八大行星绕太阳公转，下列说法中正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．离太阳越近的行星运行速率越小 C．八大行星的轨道半长轴跟各自公转周期的比值均相等 D．在相同时间内，地球与太阳、火星与太阳的连线扫过的面积相等 探究归纳：应用开普勒定律时需要注意：开普勒第二定律是对同一行星与中心天体的连线而言，不同行星在相同时间内扫过的面积并不相等；开普勒第三定律中的比例常数k仅由中心天体决定，与环绕行星无关，只有绕同一中心天体运动的行星，才有的关系，该定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕行星的运动。 【巩固提升1】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知地球同步卫星的轨道半径为r1，周期为；月球同步卫星的轨道半径为r2，周期为。下列说法正确的是（　　） A．由开普勒第三定律可得 B．地球同步卫星上的物体处于失重状态，不受万有引力作用 C．地球与月球的质量之比为 D．在地面发射月球同步卫星的速度要大于地球的第二宇宙速度 【巩固提升2】（24-25高一下·吉林长春·期末）分别与地球公转轨道外切和内切的小行星甲和小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于其在近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与小行星乙的运行周期之比 D．小行星甲从远日点到近日点的时间为 考点二、万有引力定律 【课标要求】掌握万有引力定律的推导过程，理解万有引力定律的内容、公式及适用条件，能够利用万有引力定律解决简单的引力计算问题。 1．万有引力定律 （1）公式：F＝G （2）适用条件 ①适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算； ②当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线． 2．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力． （1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； （2）除两极外，物体的重力都比万有引力小； （3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω 3．星体表面上的重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）；mg＝G，得g＝. （2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝， 所以＝. 角度1：万有引力与重力的关系 【典例破题2】（2026·河南郑州·一模）2025年8月，我国揽月月面着陆器着陆起飞综合验证试验取得圆满成功。如图，为了在地球上模拟月球重力环境，试验时把着陆器悬挂在重力补偿系统下方，为其提供合适的拉力。已知地球质量是月球的倍、半径是月球的倍，着陆器质量为，地球表面的重力加速度为，则重力补偿系统对着陆器提供的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 探究归纳：在分析万有引力与重力的关系时，首先要明确重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力。一般情况下，由于自转向心力远小于万有引力，因此可近似认为重力等于万有引力，也就是黄金代换式成立。计算不同天体表面重力加速度时，可直接利用得到重力加速度之比，进而结合受力分析求解相关力的大小。 【巩固提升1】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）（多选）我国计划在2030年前实现载人登月，这一目标是其航天事业的重要里程碑。为实现这一目标，我国正在积极研发关键装备，包括长征十号火箭、新一代载人飞船、月面着陆器和载人月球车。假设在一次模拟实验中，科研人员将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．自转周期为 B．质量为 C．质量为 D．自转周期为 【巩固提升2】（24-25高一下·云南昭通·期末）一质量为m的物体，在南极测得其重力大小为G1，在赤道测得其重力大小为G2。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球半径为R，引力常量为G，则地球自转的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 角度2：其他星球表面的重力加速度 【典例破题3】（25-26高一下·黑龙江辽宁·期末）据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 探究归纳：计算其他星球表面或者某高度处的重力加速度，核心思路依旧是利用重力近似等于万有引力的关系，结合万有引力公式推导得出。对于环绕星球表面做圆周运动的近地卫星，可直接由万有引力提供向心力推导出星球密度，若要求某高度处的重力加速度，可利用重力加速度与到星球中心距离平方成反比的规律进行计算。 【巩固提升1】（2026·福建漳州·三模）我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 【巩固提升2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）模拟月球表面重力环境可以采用水浮法，即通过调整物体在水中所受浮力与重力的大小关系，实现物体的加速度等于月球表面的重力加速度。已知地球质量是月球的倍、半径是月球的倍，物体的质量为，地球表面的重力加速度为，则模拟时，物体受到的浮力大小为（　　） A． B． C． D． 考点三、天体的质量和密度的计算 【课标要求】掌握天体质量和密度的计算方法，能结合万有引力定律、黄金代换关系解决相关问题。 1.自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R （1） 由=mg得天体的质量M＝ （2） 天体密度 （3） 黄金带换算： 2.借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 （1） 由G＝mr得天体的质量M＝ （2） 若已知天体的半径R，则天体的密度 （3） 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。 【典例破题4】（2026·河南新乡·模拟预测）2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（     ） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 探究归纳：计算天体质量有两种常用思路，一是“自力更生法”，利用天体表面物体重力近似等于万有引力，结合天体自身半径和表面重力加速度求解质量；二是“借助外援法”，围绕中心天体转动的天体，万有引力提供向心力，若已知转动天体的轨道半径和周期（或线速度、角速度），即可推导得到中心天体的质量。计算天体密度时，需先得到天体质量，再结合天体半径得到体积，最终推导出密度，若绕行天体的轨道半径等于中心天体半径，即近中心天体环绕时，可直接通过周期得到密度，无需额外测量中心天体半径。 【巩固提升1】（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 【巩固提升2】（25-26高三上·贵州黔南·期末）天问二号的成功发射开启了对小行星的探测之旅。假设天问二号在距离小行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，周期为T，已知小行星的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．小行星对天问二号的引力不变 B．天问二号的环绕速度大于小行星的第一宇宙速度 C．小行星的质量为 D．小行星的密度为 考点四、宇宙速度 【课标要求】知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度，掌握第一宇宙速度的推导过程和计算方法，能够区分不同宇宙速度的物理意义。 1.第一宇宙速度 （1）第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。 （2）第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。 （3）第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 （4）第一宇宙速度的计算方法 法一：由G＝m得v1＝ ＝ m/s≈7.9×103 m/s。 法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈5075 s≈85 min。 2.第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 3.第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 4．宇宙速度与运动轨迹的关系 （1）v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 （2）7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 （3）11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 （4）v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【典例破题5】（2026·福建龙岩·三模）（多选）我国“天关”卫星首次捕捉到中等质量黑洞撕裂并吞噬白矮星的天文事件。该中等质量黑洞的质量为M，白矮星半径为R，密度为ρ，两者初始距离为。当黑洞潮汐力（黑洞对白矮星表面靠近黑洞一侧的单位质量质点的引力与黑洞对白矮星球心处单位质量质点的引力差）超过白矮星对自身表面单位质量质点的引力时，白矮星就会被撕裂。已知万有引力常量为G，白矮星视为质量均匀分布的球体，忽略其他天体影响，可能用到的近似，下列说法正确的是（　　） A．白矮星的第一宇宙速度 B．白矮星的第一宇宙速度 C．黑洞撕裂白矮星的条件是 D．黑洞撕裂白矮星的条件是 探究归纳：第一宇宙速度是近地天体的环绕速度，也是绕中心天体做匀速圆周运动的最大环绕速度，同时是发射该天体卫星的最小发射速度，计算时可通过万有引力提供向心力，结合中心天体质量、半径或表面重力加速度推导得到，推导思路与人造卫星绕中心天体运动的规律一致，本质都是万有引力定律的应用。对于天体被撕裂的这类新情境问题，核心还是利用万有引力公式计算不同位置的引力，再根据题干给出的临界条件推导对应关系即可。 【巩固提升1】（25-26高一下·四川成都·期中）某中子星质量是地球质量的k倍，半径是地球半径的P倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，忽略地球和中子星自转的影响，引力常量为G。求： (1)地球的质量M； (2)中子星的第一宇宙速度v1。 【巩固提升2】（25-26高三上·陕西西安·期末）2021年2月10日，我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测卫星顺利实施近火制动，完成火星捕获，正式踏入环绕火星轨道。假设火星可视为半径为的均匀球体，探测卫星沿椭圆轨道绕火星运动，如图所示。椭圆轨道的“近火点”离火星表面的距离为，“远火点”离火星表面的距离为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为，火星的质量为 B．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为，火星的第一宇宙速度为 C．“天问一号”在“近火点”和“远火点”的加速度大小之比为 D．“天问一号”在“近火点”和“远火点”的速率之比为 考点五、卫星运行参量的比较与运算 【课标要求】掌握卫星绕中心天体做匀速圆周运动时各运行参量的变化规律，能比较不同轨道卫星的线速度、角速度、周期等物理量，能够结合万有引力定律完成相关计算。 1．人造卫星的运动规律 （1）一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动。 （2）两条思路 ①万有引力提供向心力，即G＝man。 ②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM（R、g分别是天体的半径、表面重力加速度），公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 （3）地球卫星的运行参数（将卫星轨道视为圆） 物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝m2r T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合 共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小 【典例破题6】（24-25高一下·辽宁大连·期末）2025年5月，天文学家发现了第一颗围绕白矮星运行的系外行星，同时也证实它是迄今为止最冷的系外行星。该行星绕轴自转。设行星赤道处重力加速度是两极处的k倍，则可得该星的近地卫星轨道半径与同步卫星轨道半径的比值是（    ） A． B． C． D． 探究归纳：处理卫星运行参量的比较与计算问题时，首先要明确卫星做匀速圆周运动的核心规律，即万有引力提供向心力，结合黄金代换式gR²=GM推导各参量和轨道半径的关系，就能直接根据轨道半径的大小比较线速度、角速度、周期和向心加速度的大小。对于涉及天体自转的问题，要注意区分赤道物体、近地卫星和同步卫星：赤道物体随天体自转，向心力是万有引力的一部分，不等于万有引力，不能直接套用卫星的运行规律；近地卫星的向心力由万有引力全部提供；同步卫星的周期和天体自转周期相同，结合万有引力提供向心力即可推导对应关系。 【巩固提升1】（24-25高一下·吉林·期末）（多选）如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球静止卫星。下列关于做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为 B．线速度的大小关系为 C．周期关系为 D．向心加速度的大小关系为 【巩固提升2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）我国计划2028年前后实现火星样品的返回，我国探索火星的脚步不会停止。假设某航天员登上火星后在火星表面进行如图实验：不可伸长的轻绳一端系一质量为的小球（可视为质点），另一端固定在点。当小球绕点在竖直面内做圆周运动通过最低点时速度为，此时绳的弹力的大小为小球重力的7倍。已知火星的半径为，引力常量为，不计阻力。求： (1)火星表面的重力加速度大小； (2)火星的质量； (3)已知火星的自转周期为，若航天器在火星的同步轨道运行，则航天器距火星表面的高度。 考点六、三种特殊的卫星 【课标要求】掌握近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转物体的运动特点，能区分三者的受力与运动参量规律，解决相关辨析与计算问题。 1. 地球同步卫星：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，.同步卫星有以下"七个一定"的特点： （1）轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； （2）周期一定：与地球自转周期相同，即T=24h. （3）角速度一定：地球自转的角速度相同 （4）高度一定：由，得地球同步卫星离地而的高度（h6R） （5）速率一定由 ，得同步卫星的速率 （6）向心加速度一定：由，得 ，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。 （7）绕行方向一定；运行方向与地球自转方向一致，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径，即在地球表面运行，满足万有引力提供向心力，重力近似等于万有引力，因此运行速度等于第一宇宙速度7.9km/s，是所有卫星中运行速度最大、周期最短的卫星。 2. 赤道上随地球自转的物体： 赤道上的物体静止在地球表面，随地球自转做匀速圆周运动，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力是重力，因此向心力不等于万有引力，不能直接用万有引力等于向心力分析参量，其周期和角速度与地球自转相同，和同步卫星保持一致。 【典例破题7】（25-26高一下·安徽合肥·期中）（多选）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 探究归纳：解决同步卫星相关问题时，首先要牢牢抓住同步卫星“周期与地球自转周期相同、轨道平面与赤道平面共面、轨道高度固定”这些核心特点，区分同步卫星与近地卫星、赤道上自转物体的受力和运动规律：同步卫星和近地卫星的向心力都由万有引力全部提供，可直接用万有引力提供向心力的规律分析参量关系；而赤道上随地球自转的物体向心力仅由万有引力的一部分提供，需要结合角速度与同步卫星相等的特点来推导线速度、向心加速度的关系，不能混淆两类规律。 【巩固提升1】（25-26高一下·广东深圳·期中）2024年9月，我国成功试射了一枚洲际弹道导弹，射程高达12000公里，测试弹头最终落入南太平洋公海的预定海域，创下了全球洲际导弹射程的最远纪录。如图所示，若导弹从P点飞出大气层后，靠惯性绕地心O做椭圆轨道飞行（O为椭圆轨道的一个焦点），最后从Q点进入大气层。N点为远地点，，已知地球质量为M，引力常数为G，则下列说法正确的是（　　） A．导弹在N点的加速度大小为 B．导弹在P点和Q点受到的地球引力相同 C．导弹在N点的速度大小为 D．导弹从P到N过程中机械能不守恒 【巩固提升2】（25-26高一下·山东滨州·期中）如图所示，A、B为两个轨道共面的地球的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B之间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 考点七、航天器的变轨问题 【课标要求】掌握航天器变轨过程中的运动规律，能分析变轨过程中速度、加速度、机械能的变化，会结合万有引力定律解决变轨相关问题。 1.卫星轨道的突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成： （1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1； （2）变轨时在 P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II； （3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。 2. 卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 向心运动 变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然变小 F万与Fn的关系 （万有引力不足提供所需要的向心力） （万有引力大于提供所需要的向心力） 变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小 3. 对接问题 在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。 【典例破题8】（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）（多选）嫦娥七号计划2025年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。如图所示，若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ。轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。已知轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是（　　） A．嫦娥七号的发射速度大于 B．嫦娥七号在A、B两点变轨时均需要减速 C．嫦娥七号在轨道Ⅰ上的周期与在轨道Ⅱ的周期之比为 D．嫦娥七号在轨道Ⅰ经过B点的加速度小于在轨道Ⅱ经过B点的加速度 【巩固提升1】（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）（多选）如图所示为嫦娥六号在登陆月球背面进行采样过程中的轨道变化，这是人类第一次从月球背面采集月壤。轨道、为圆形轨道，轨道为椭圆轨道。轨道和相切于点，轨道和相切于B点。从轨道变轨到轨道，该航天器可在A、B两点点火变速。由此可分析（　　） A．该航天器变轨过程中，在、两点都需要减速 B．航天器分别在、轨道上运行相同时间，这段时间与月心连线扫过的面积相等 C．沿轨道和轨道分别经过点时速度大小相等 D．在轨道和轨道正常运行分别经过点时加速度大小相等 【巩固提升2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化如图，轨道I为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道II为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　） A．飞船要想从轨道变轨至轨道，需要在点做加速运动 B．飞船在椭圆轨道I上运行过程中引力全程不做功 C．飞船在轨道I上P点向心加速度大于空间站在轨道II上P点向心加速度 D．飞船在椭圆轨道I上经过远地点的速度大于经过近地点的速度 考点八、宇宙中的双星和多星模型 【课标要求】掌握双星模型的受力特点和运动规律，能利用万有引力定律结合圆周运动规律解决双星、多星相关问题。 1．双星模型 （1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． （2）特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L （3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. 2．多星模型 （1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． （2）三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示）． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）． （3）四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）． 【典例破题9】（25-26高一下·山东枣庄·期中）（多选）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A的质量为 B．B的质量为 C．A、B的速度之比 D．A、B的轨道半径之比为 探究归纳：双星系统问题的分析思路：一是明确双星做匀速圆周运动的向心力来源——两星之间的万有引力为对方提供向心力，因此两星做圆周运动的向心力大小相等；二是抓住双星系统的关键特点：两星做圆周运动的角速度、周期相等，且轨道半径之和等于两星间的距离，结合万有引力公式和圆周运动规律推导求解即可。 【巩固提升1】（24-25高一下·山东聊城·期末）太空中存在一个由两颗密度相同的球形恒星a和b构成的双星系统，两颗恒星绕O点做匀速圆周运动，恒星a的球心到O点的距离为l，恒星b的球心到O点的距离为2l。若已知恒星a的运动周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．恒星a的向心加速度是恒星b向心加速度的 B．恒星a的线速度是恒星b线速度的4倍 C．恒星a的质量为 D．恒星a表面的重力加速度是恒星b表面重力加速度的倍 【巩固提升2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的点做匀速圆周运动，测得恒星1、2到点的距离分别为，引力常量为。忽略其他星体的影响，求： (1)恒星1、2的质量之比； (2)恒星1的质量； (3)恒星1、2之间万有引力大小。 一、单选题 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）2024年6月25日，“嫦娥六号”成功返回地球，实现世界首次月球背面采样返回。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，忽略自转的影响，“嫦娥六号”的质量不变，则“嫦娥六号”在月球表面受到的重力与其在地球表面受到的重力大小之比为（　　） A． B． C． D． 2．上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西景德镇·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为；已知月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．该飞船在轨的速度大小为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．月球两极的重力加速度为 4．（25-26高一下·宁夏陕西·期末）2025年，我国深空探测器成功抵达某双小行星系统（由A、B两颗小行星组成）进行抵近考察。已知A、B两星均可视为质量分布均匀的球体，它们依靠相互间的万有引力，绕两者连线上的某一点O做匀速圆周运动，且两星之间的距离L保持不变。若测得A星的质量为B星质量的k倍，A星的半径为R，A星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。忽略其他天体的影响，下列关于该双星系统的说法正确的是（     ） A．A、B两星做圆周运动的轨道半径之比为 B．A、B两星做圆周运动的向心加速度大小之比为 C．A星的第一宇宙速度为 D．B星的质量为 5．（24-25高一下·四川乐山·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．地球上物体的向心加速度都指向地心 B．地球在赤道处的向心加速度大小为g C．地球表面赤道处的物体随地球自转的线速度为 D．地球的第一宇宙速度为 6．随着国际石油供应日趋紧张，各国对石油的勘探也在进一步加强，在探测的过程中，遇到空腔或存在其他物质时，引力会发生变化，引起该地区重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。可以将模型简化为一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球外表面为R的地方有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F，如图所示，现在从M中挖去一半径为0.5R的球体，则剩下部分对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·广东广州·期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。沿椭圆轨道绕太阳运行时，假设地球所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），下列说法正确的是（　　） A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值 B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值 C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量 二、多选题 8．（24-25高一下·云南楚雄·期末）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东泰安·期末）天文学家首次在正常星系中发现的超大质量双黑洞如图所示，此发现对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为和，双黑洞中心间距为L，它们以两者中心连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是（　　） A．双黑洞的轨道半径之比 B．双黑洞的线速度之比 C．它们的运动周期为 D．它们的运动周期为 10．（2026·内蒙古兴安·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”（如图甲所示）。图乙中，图线表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离的关系，图线表示航天员相对地面静止时的向心加速度大小与的关系。其中地球半径R=6400 km，地球同步轨道近似高度为。已知地球自转周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　） A．太空电梯停在处时，航天员对电梯舱没有弹力 B．随着的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C．太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D．地球的质量为 三、解答题 11．（23-24高三下·辽宁·期中）中国探月工程（“嫦娥工程”）分为“绕”“落”“回”3个阶段，嫦娥五号月球探测器已经成功实现采样返回，不久的将来中国宇航员将登上月球。已知引力常量为G。 （1）若探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，测得其环绕周期为T，忽略探测器到月面的高度，求月球的密度。 （2）忽略其他星球的影响，将地球和月球称为双星，他们受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点O做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。已知地球和月球中心之间的距离为L，地球质量M，月球质量m，求月球的运动周期为。 12．（24-25高一下·重庆·阶段检测）中国科幻电影《流浪地球》讲述了宇宙航行的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统。三星的质量相等、半径均为，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为，三星绕点做周期为的匀速圆周运动，已知万有引力常量为，忽略星体的自转。求： (1)每个星球的质量； (2)每个星球的第一宇宙速度。 13．（25-26高一下·河北·期中）如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，两卫星绕行方向相同（图中为逆时针方向）。已知行星的半径为，卫星1为近地卫星，其运行的周期为，到行星中心的距离为。卫星2到行星中心的距离为。引力常量为。图示时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为。求：（题干中、、已知） (1)行星的质量； (2)行星表面重力加速度的大小（忽略行星自转的影响）； (3)从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近。 14．（22-23高一下·北京大兴·期中）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比 （3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 万有引力与航天 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 开普勒三大定律的内容、理解与简单应用 2. 万有引力定律内容、公式、适用条件与基本计算 3. 重力与万有引力的关系、黄金代换式的推导与使用 4. 天体运动、卫星运动规律 5. 宇宙速度的定义、数值与物理意义 6. 卫星变轨问题、同步卫星、多星系统综合分析 1. 开普勒定律多以选择、填空考查，侧重行星运动轨迹、周期规律判断 2. 万有引力基础计算、黄金代换为必考基础题型，常结合星球表面重力考查 3. 环绕天体运动参量比较、计算是高频考点，以比值类、定量计算类选择题为主 4. 三大宇宙速度结合航天实例命题，区分各速度的物理含义 5. 同步卫星侧重轨道、周期、高度、角速度等特点辨析 6. 卫星变轨、多星系统、天体密度 / 质量计算为难点，常作为计算题、压轴选择题 考情解码：本专题是曲线运动与圆周运动的综合应用，属于高中物理力学重点内容。开普勒定律、万有引力公式、宇宙速度等基础内容难度偏低；天体运动参量分析、黄金代换应用为中档题型；卫星变轨、天体质量密度计算、同步卫星综合问题为拉分难点。命题紧密结合航天工程、行星探测、人造卫星等科技热点，情景新颖。 脉｜络｜重｜构 考｜点｜精｜讲 考点一、开普勒定律 【课标要求】通过观察、分析开普勒对行星运动的研究，了解开普勒三定律的内容，能运用开普勒定律解决简单的行星运动相关问题。 1. 两种学说 （1）地心说：认为地球是宇宙的中心,是静止不动的,太阳、月球及其他天体都绕地球运动 （2）日心说：认为太阳是静止不动的,地球和其他行星都绕太阳运动 2. 开普勒行星运动定律 定律 内容 图示 说明 开普勒第一定 律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 行星运动的轨道必有近日点和远日点 开普勒第二定 律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 当行星离太阳较近时，运 动的速度比较快，而离太 阳较远时速度较慢 开普勒第三定 律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即 =k 同一中心天体k相同，不同的中心天体k一般不同 【典例破题1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）如图所示，八大行星绕太阳公转，下列说法中正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．离太阳越近的行星运行速率越小 C．八大行星的轨道半长轴跟各自公转周期的比值均相等 D．在相同时间内，地球与太阳、火星与太阳的连线扫过的面积相等 【答案】A 【详解】A．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，A正确； B．根据牛顿第二定律得 解得 离太阳越近的行星运行速率越大，B错误； C．八大行星的轨道半长轴的三次方跟各自公转周期平方的比值均相等，C错误； D．根据开普勒第二定律 在相同时间内，地球与太阳的连线扫过的面积相等； 在相同时间内，火星与太阳的连线扫过的面积相等； 在相同时间内，地球与太阳、火星与太阳的连线扫过的面积不相等。 D错误。 故选A。 探究归纳：应用开普勒定律时需要注意：开普勒第二定律是对同一行星与中心天体的连线而言，不同行星在相同时间内扫过的面积并不相等；开普勒第三定律中的比例常数k仅由中心天体决定，与环绕行星无关，只有绕同一中心天体运动的行星，才有的关系，该定律不仅适用于行星绕太阳运动，也适用于卫星绕行星的运动。 【巩固提升1】（24-25高一下·陕西安康·期末）已知地球同步卫星的轨道半径为r1，周期为；月球同步卫星的轨道半径为r2，周期为。下列说法正确的是（　　） A．由开普勒第三定律可得 B．地球同步卫星上的物体处于失重状态，不受万有引力作用 C．地球与月球的质量之比为 D．在地面发射月球同步卫星的速度要大于地球的第二宇宙速度 【答案】C 【详解】A．开普勒第三定律适用于同一中心天体的卫星。地球同步卫星绕地球运动，月球同步卫星绕月球运动，中心天体不同，故，A错误； B．地球同步卫星上的物体受地球引力作用，引力提供向心力，导致地球同步卫星上的物体处于失重状态，但并非不受引力，B错误； C．由万有引力提供向心力，对地球同步卫星 得 对月球同步卫星 解得 质量比为，C正确； D．第二宇宙速度是脱离地球引力的速度。月球仍在地球引力范围内，发射月球卫星可通过转移轨道实现，没有超过第二宇宙速度，D错误。 故选C。 【巩固提升2】（24-25高一下·吉林长春·期末）分别与地球公转轨道外切和内切的小行星甲和小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，公转周期为T，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　） A．小行星甲在远日点的速度大于其在近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与小行星乙的运行周期之比 D．小行星甲从远日点到近日点的时间为 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第二定律，小行星甲在远日点的速度小于近日点的速度，故A错误； B．根据，小行星乙在远日点的加速度等于地球公转加速度，故B错误； C．根据开普勒第三定律，小行星甲与乙的运行周期之比，故C错误； D．根据开普勒第三定律，小行星从远日点到近日点的时间为周期的一半，即，故D正确。 故选D。 考点二、万有引力定律 【课标要求】掌握万有引力定律的推导过程，理解万有引力定律的内容、公式及适用条件，能够利用万有引力定律解决简单的引力计算问题。 1．万有引力定律 （1）公式：F＝G （2）适用条件 ①适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算； ②当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线． 2．地球表面的重力与万有引力 地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力． （1）在两极，向心力等于零，重力等于万有引力； （2）除两极外，物体的重力都比万有引力小； （3）在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F向和mg刚好在一条直线上，则有F＝F向＋mg，所以mg＝F－F向＝－mRω 3．星体表面上的重力加速度 （1）在地球表面附近的重力加速度g（不考虑地球自转）；mg＝G，得g＝. （2）在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝， 所以＝. 角度1：万有引力与重力的关系 【典例破题2】（2026·河南郑州·一模）2025年8月，我国揽月月面着陆器着陆起飞综合验证试验取得圆满成功。如图，为了在地球上模拟月球重力环境，试验时把着陆器悬挂在重力补偿系统下方，为其提供合适的拉力。已知地球质量是月球的倍、半径是月球的倍，着陆器质量为，地球表面的重力加速度为，则重力补偿系统对着陆器提供的拉力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据 得 月球表面的重力加速度 重力补偿系统对着陆器提供的拉力大小为 解得 故选A。 探究归纳：在分析万有引力与重力的关系时，首先要明确重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转所需的向心力。一般情况下，由于自转向心力远小于万有引力，因此可近似认为重力等于万有引力，也就是黄金代换式成立。计算不同天体表面重力加速度时，可直接利用得到重力加速度之比，进而结合受力分析求解相关力的大小。 【巩固提升1】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）（多选）我国计划在2030年前实现载人登月，这一目标是其航天事业的重要里程碑。为实现这一目标，我国正在积极研发关键装备，包括长征十号火箭、新一代载人飞船、月面着陆器和载人月球车。假设在一次模拟实验中，科研人员将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　） A．自转周期为 B．质量为 C．质量为 D．自转周期为 【答案】CD 【详解】BC．在极点处，有 可得月球质量为，故B错误，C正确； AD．在赤道处，有 联立解得月球自转周期为，故A错误，D正确。 故选CD。 【巩固提升2】（24-25高一下·云南昭通·期末）一质量为m的物体，在南极测得其重力大小为G1，在赤道测得其重力大小为G2。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球半径为R，引力常量为G，则地球自转的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在南极，物体所受重力等于万有引力，即 在赤道，物体重力为万有引力与向心力的差值，即 联立两式可得 解得地球自转角速度 故选B。 角度2：其他星球表面的重力加速度 【典例破题3】（25-26高一下·黑龙江辽宁·期末）据国家航天局消息，科研团队根据“祝融号”火星车发回遥测信号确认，5月15日，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原南部预选着陆区，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功。天问一号靠近火星时，被火星引力捕获后绕火星做近似圆周运动，周期为T，轨道半径近似等于火星半径R，已知万有引力常量为G。求： (1)火星的平均密度； (2)离火星表面距离为R处的重力加速度g0。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设卫星质量为m，火星质量为M，对卫星 解得 则火星密度 得火星密度 （2）设离火星表面距离为R处的物体质量为m'，由 解得 探究归纳：计算其他星球表面或者某高度处的重力加速度，核心思路依旧是利用重力近似等于万有引力的关系，结合万有引力公式推导得出。对于环绕星球表面做圆周运动的近地卫星，可直接由万有引力提供向心力推导出星球密度，若要求某高度处的重力加速度，可利用重力加速度与到星球中心距离平方成反比的规律进行计算。 【巩固提升1】（2026·福建漳州·三模）我国计划于2026年下半年发射嫦娥七号探测器，对月球地形地貌、物质成分、空间环境进行综合探测。已知月球质量为，月球半径为，引力常量为，忽略月球自转。 (1)求月球表面的重力加速度大小； (2)求月球的第一宇宙速度； (3)若在月球表面上方高处，以初速度竖直向上抛出一小球，求小球从最高点落回月球表面所用的时间（重力加速度不变）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在月球表面，万有引力近似等于重力，即                  解得 （2）由万有引力提供向心力得                  解得 （3）小球竖直上抛，设小球上升的最大高度为H，由运动学公式得 小球自由下落，由运动学公式得 解得 【巩固提升2】（25-26高三上·湖北武汉·期末）模拟月球表面重力环境可以采用水浮法，即通过调整物体在水中所受浮力与重力的大小关系，实现物体的加速度等于月球表面的重力加速度。已知地球质量是月球的倍、半径是月球的倍，物体的质量为，地球表面的重力加速度为，则模拟时，物体受到的浮力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，模拟月球表面重力环境时，物体在水中的加速度应等于月球表面的重力加速度。物体受到重力（地球重力）和浮力作用，由牛顿第二定律，合力产生加速度，即 解得浮力 月球表面重力加速度与地球表面重力加速度的关系为， 其中，，故 所以 代入浮力表达式 故选B。 考点三、天体的质量和密度的计算 【课标要求】掌握天体质量和密度的计算方法，能结合万有引力定律、黄金代换关系解决相关问题。 1.自力更生法 利用天体表面的重力加速度g和天体的半径R （1） 由=mg得天体的质量M＝ （2） 天体密度 （3） 黄金带换算： 2.借助外援法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 （1） 由G＝mr得天体的质量M＝ （2） 若已知天体的半径R，则天体的密度 （3） 若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体的密度ρ＝，可见，只要测出卫星绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心体的密度。 【典例破题4】（2026·河南新乡·模拟预测）2026年3月30日，中科宇航力箭二号遥一运载火箭在东风商业航天创新试验区成功发射，将新征程01卫星、新征程02卫星和天视卫星01星送入预定轨道，发射任务取得成功。若某卫星在半径为r的圆轨道上以周期T绕地球运行，已知引力常量为G，地球半径为R，则（     ） A．该卫星的发射速度大于11.2km/s B．该卫星做圆周运动的速度可能大于7.9km/s C．地球的质量为 D．地球的密度为 【答案】C 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，该卫星仍绕地球运行，发射速度应小于11.2km/s，故A错误； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是地球卫星做圆轨道运动的最大环绕速度，由万有引力提供向心力有 可解得 所以轨道半径越大，线速度越小，该卫星轨道半径，运行速度不大于7.9km/s，故B错误； C．卫星做圆周运动万有引力提供向心力，有 整理得地球质量，故C正确； D．地球体积为 地球密度 仅当（近地卫星）时密度才为，本题，故D错误。 故选C。 探究归纳：计算天体质量有两种常用思路，一是“自力更生法”，利用天体表面物体重力近似等于万有引力，结合天体自身半径和表面重力加速度求解质量；二是“借助外援法”，围绕中心天体转动的天体，万有引力提供向心力，若已知转动天体的轨道半径和周期（或线速度、角速度），即可推导得到中心天体的质量。计算天体密度时，需先得到天体质量，再结合天体半径得到体积，最终推导出密度，若绕行天体的轨道半径等于中心天体半径，即近中心天体环绕时，可直接通过周期得到密度，无需额外测量中心天体半径。 【巩固提升1】（24-25高一下·四川雅安·阶段检测）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（　　） A．地球的平均密度为 B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 C．卫星Ⅱ的周期为 D．卫星Ⅱ运动的线速度为 【答案】C 【详解】BC．静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期，设静止轨道卫星的轨道半径为，地球半径为，根据图中几何关系可得 卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 可得， 可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为 卫星Ⅱ的周期为，故B错误，C正确； A．对于卫星Ⅱ，由万有引力提供向心力得 又 联立可得地球的平均密度为，故A错误； D．卫星Ⅱ运动的线速度为，故D错误。 故选C。 【巩固提升2】（25-26高三上·贵州黔南·期末）天问二号的成功发射开启了对小行星的探测之旅。假设天问二号在距离小行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，周期为T，已知小行星的半径为R，引力常量为G。下列说法正确的是（　　） A．小行星对天问二号的引力不变 B．天问二号的环绕速度大于小行星的第一宇宙速度 C．小行星的质量为 D．小行星的密度为 【答案】C 【详解】A．小行星对天问二号的引力方向始终指向小行星中心，由可知，小行星对天问二号的引力大小不变，方向时刻发生变化，故A错误； B．设小行星的质量为，由 可得小行星的第一宇宙速度为 天问二号绕小行星做匀速圆周运动，由 解得天问二号的环绕速度为 可知天问二号的环绕速度小于小行星的第一宇宙速度，故B错误； CD．天问二号绕小行星做匀速圆周运动，由 解得小行星的质量为 由 解得小行星的密度为，故C正确，D错误。 故选C。 考点四、宇宙速度 【课标要求】知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度，掌握第一宇宙速度的推导过程和计算方法，能够区分不同宇宙速度的物理意义。 1.第一宇宙速度 （1）第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s。 （2）第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。 （3）第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。 （4）第一宇宙速度的计算方法 法一：由G＝m得v1＝ ＝ m/s≈7.9×103 m/s。 法二：由mg＝m得v1＝＝ m/s≈7.9×103 m/s。第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈5075 s≈85 min。 2.第二宇宙速度 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s。 3.第三宇宙速度 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s。 4．宇宙速度与运动轨迹的关系 （1）v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球做匀速圆周运动。 （2）7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。 （3）11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。 （4）v发≥16.7 km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。 【典例破题5】（2026·福建龙岩·三模）（多选）我国“天关”卫星首次捕捉到中等质量黑洞撕裂并吞噬白矮星的天文事件。该中等质量黑洞的质量为M，白矮星半径为R，密度为ρ，两者初始距离为。当黑洞潮汐力（黑洞对白矮星表面靠近黑洞一侧的单位质量质点的引力与黑洞对白矮星球心处单位质量质点的引力差）超过白矮星对自身表面单位质量质点的引力时，白矮星就会被撕裂。已知万有引力常量为G，白矮星视为质量均匀分布的球体，忽略其他天体影响，可能用到的近似，下列说法正确的是（　　） A．白矮星的第一宇宙速度 B．白矮星的第一宇宙速度 C．黑洞撕裂白矮星的条件是 D．黑洞撕裂白矮星的条件是 【答案】BC 【详解】AB．白矮星质量 对于白矮星表面物体，由万有引力提供向心力 联立可得白矮星的第一宇宙速度，故A错误，B正确； CD．黑洞对白矮星表面靠近黑洞一侧单位质量质点的引力 由近似可得 黑洞对白矮星球心处单位质量质点的引力 黑洞潮汐力 白矮星对自身表面单位质量质点的引力 当白时白矮星被撕裂，即 化简可得，故C正确，D错误。 故选BC。 探究归纳：第一宇宙速度是近地天体的环绕速度，也是绕中心天体做匀速圆周运动的最大环绕速度，同时是发射该天体卫星的最小发射速度，计算时可通过万有引力提供向心力，结合中心天体质量、半径或表面重力加速度推导得到，推导思路与人造卫星绕中心天体运动的规律一致，本质都是万有引力定律的应用。对于天体被撕裂的这类新情境问题，核心还是利用万有引力公式计算不同位置的引力，再根据题干给出的临界条件推导对应关系即可。 【巩固提升1】（25-26高一下·四川成都·期中）某中子星质量是地球质量的k倍，半径是地球半径的P倍。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，忽略地球和中子星自转的影响，引力常量为G。求： (1)地球的质量M； (2)中子星的第一宇宙速度v1。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据地球表面的物体的重力等于万有引力可得 解得地球的质量为 （2）地球的近地卫星，根据牛顿第二定律可得 解得地球的第一宇宙速度为 因为中子星质量是地球质量的k倍，半径是地球半径的P倍，所以中子星的第一宇宙速度为 【巩固提升2】（25-26高三上·陕西西安·期末）2021年2月10日，我国首次火星探测任务“天问一号”火星探测卫星顺利实施近火制动，完成火星捕获，正式踏入环绕火星轨道。假设火星可视为半径为的均匀球体，探测卫星沿椭圆轨道绕火星运动，如图所示。椭圆轨道的“近火点”离火星表面的距离为，“远火点”离火星表面的距离为，引力常量为。下列说法正确的是（　　） A．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为，火星的质量为 B．若已知“天问一号”在椭圆轨道运行的周期为，火星的第一宇宙速度为 C．“天问一号”在“近火点”和“远火点”的加速度大小之比为 D．“天问一号”在“近火点”和“远火点”的速率之比为 【答案】B 【详解】AB．已知探测卫星在椭圆轨道运行的周期为T，可根据开普勒第三定律，计算近火卫星周期 第一宇宙速度 以第一宇宙速度运动时，根据 可以计算火星质量 选项A错误，B正确； C．根据可知，卫星在“近火点”P和“远火点”Q的加速度大小之比为25：9，选项C错误； D．根据开普勒第二定律 可知探测卫星在“近火点”P和“远火点”Q的速率之比为5：3，选项D错误。 故选B。 考点五、卫星运行参量的比较与运算 【课标要求】掌握卫星绕中心天体做匀速圆周运动时各运行参量的变化规律，能比较不同轨道卫星的线速度、角速度、周期等物理量，能够结合万有引力定律完成相关计算。 1．人造卫星的运动规律 （1）一种模型：无论自然天体（如地球、月亮）还是人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）都可以看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动。 （2）两条思路 ①万有引力提供向心力，即G＝man。 ②天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM（R、g分别是天体的半径、表面重力加速度），公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 （3）地球卫星的运行参数（将卫星轨道视为圆） 物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值 线速度 G＝m v＝ 当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s 角速度 G＝mω2r ω＝ 当r＝R时有最大值 周期 G＝m2r T＝2π 当r＝R时有最小值，约85 min 向心加速度 G＝man an＝ 当r＝R时有最大值，最大值为g 轨道平面 圆周运动的圆心与中心天体中心重合 共性：轨道半径越小，运动越快，周期越小 【典例破题6】（24-25高一下·辽宁大连·期末）2025年5月，天文学家发现了第一颗围绕白矮星运行的系外行星，同时也证实它是迄今为止最冷的系外行星。该行星绕轴自转。设行星赤道处重力加速度是两极处的k倍，则可得该星的近地卫星轨道半径与同步卫星轨道半径的比值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设行星质量为，半径为，自转角速度为，则有， 又 联立得 设同步卫星的轨道半径为r，根据万有引力提供向心力有 得 近地卫星轨道半径约等于行星半径，则 故选B。 探究归纳：处理卫星运行参量的比较与计算问题时，首先要明确卫星做匀速圆周运动的核心规律，即万有引力提供向心力，结合黄金代换式gR²=GM推导各参量和轨道半径的关系，就能直接根据轨道半径的大小比较线速度、角速度、周期和向心加速度的大小。对于涉及天体自转的问题，要注意区分赤道物体、近地卫星和同步卫星：赤道物体随天体自转，向心力是万有引力的一部分，不等于万有引力，不能直接套用卫星的运行规律；近地卫星的向心力由万有引力全部提供；同步卫星的周期和天体自转周期相同，结合万有引力提供向心力即可推导对应关系。 【巩固提升1】（24-25高一下·吉林·期末）（多选）如图所示，为地球赤道上的物体，为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星，为地球静止卫星。下列关于做匀速圆周运动的说法中，正确的是（　　） A．角速度的大小关系为 B．线速度的大小关系为 C．周期关系为 D．向心加速度的大小关系为 【答案】AD 【详解】ABC．对、，根据万有引力提供向心力有 解得，，， 因为的轨道半径大于，则，，， 对，角速度相等，即，根据知，；根据知，的半径大，则；根据知，的半径大，则，所以角速度的大小关系为，线速度大小关系为，周期的关系为，故A正确，BC错误； D．向心加速度的大小关系为，故正确。 故选AD。 【巩固提升2】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）我国计划2028年前后实现火星样品的返回，我国探索火星的脚步不会停止。假设某航天员登上火星后在火星表面进行如图实验：不可伸长的轻绳一端系一质量为的小球（可视为质点），另一端固定在点。当小球绕点在竖直面内做圆周运动通过最低点时速度为，此时绳的弹力的大小为小球重力的7倍。已知火星的半径为，引力常量为，不计阻力。求： (1)火星表面的重力加速度大小； (2)火星的质量； (3)已知火星的自转周期为，若航天器在火星的同步轨道运行，则航天器距火星表面的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球用绳连接在火星表面做竖直面内的变速圆周运动，在最低点有 而，解得 （2）物体在火星表面所受的万有引力等于重力，有 可得火星的质量为 （3）设火星的同步卫星轨道半径为，由万有引力提供向心力有 由于 联立解得航天器距火星表面的高度为 考点六、三种特殊的卫星 【课标要求】掌握近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转物体的运动特点，能区分三者的受力与运动参量规律，解决相关辨析与计算问题。 1. 地球同步卫星：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，.同步卫星有以下"七个一定"的特点： （1）轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； （2）周期一定：与地球自转周期相同，即T=24h. （3）角速度一定：地球自转的角速度相同 （4）高度一定：由，得地球同步卫星离地而的高度（h6R） （5）速率一定由 ，得同步卫星的速率 （6）向心加速度一定：由，得 ，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度。 （7）绕行方向一定；运行方向与地球自转方向一致，近地卫星的轨道半径近似等于地球半径，即在地球表面运行，满足万有引力提供向心力，重力近似等于万有引力，因此运行速度等于第一宇宙速度7.9km/s，是所有卫星中运行速度最大、周期最短的卫星。 2. 赤道上随地球自转的物体： 赤道上的物体静止在地球表面，随地球自转做匀速圆周运动，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力是重力，因此向心力不等于万有引力，不能直接用万有引力等于向心力分析参量，其周期和角速度与地球自转相同，和同步卫星保持一致。 【典例破题7】（25-26高一下·安徽合肥·期中）（多选）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 【答案】CD 【详解】A．由于我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动，而“天问一号”火星探测器在着陆准备轨道上运动时是绕火星运动，它们的中心天体不同，因此开普勒第三定律不适用，故A错误； B．由开普勒第三定律可知，若有一质量为，轨道半径为的绕火星做匀速圆周运动的卫星，其周期也为；设火星的质量为，有 可得 所以能估算火星质量，但由于火星半径未知，无法估算火星密度，故B错误； C．“天问一号”从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速，所以开启发动机向前喷气，故C正确； D．北斗导航系统的中圆地球轨道卫星半径为，周期为，设地球质量为，有 可以估算地球质量 因此，火星质量和地球质量的比值，故D正确。 故选CD。 探究归纳：解决同步卫星相关问题时，首先要牢牢抓住同步卫星“周期与地球自转周期相同、轨道平面与赤道平面共面、轨道高度固定”这些核心特点，区分同步卫星与近地卫星、赤道上自转物体的受力和运动规律：同步卫星和近地卫星的向心力都由万有引力全部提供，可直接用万有引力提供向心力的规律分析参量关系；而赤道上随地球自转的物体向心力仅由万有引力的一部分提供，需要结合角速度与同步卫星相等的特点来推导线速度、向心加速度的关系，不能混淆两类规律。 【巩固提升1】（25-26高一下·广东深圳·期中）2024年9月，我国成功试射了一枚洲际弹道导弹，射程高达12000公里，测试弹头最终落入南太平洋公海的预定海域，创下了全球洲际导弹射程的最远纪录。如图所示，若导弹从P点飞出大气层后，靠惯性绕地心O做椭圆轨道飞行（O为椭圆轨道的一个焦点），最后从Q点进入大气层。N点为远地点，，已知地球质量为M，引力常数为G，则下列说法正确的是（　　） A．导弹在N点的加速度大小为 B．导弹在P点和Q点受到的地球引力相同 C．导弹在N点的速度大小为 D．导弹从P到N过程中机械能不守恒 【答案】A 【详解】A．导弹的加速度由万有引力提供，在N点有 解得，故A正确； B．由图像，导弹在P点和Q点距地心O点距离相等，因此所受引力大小相同，但位置不同，引力方向不同，故B错误； C．若导弹在N点轨道为圆轨道，有解得 但N点实际轨道为椭圆轨道，N点为远地点。卫星在圆轨道上某点变轨时，若该点成为椭圆轨道的远地点，则需减速，因此才能使导弹在椭圆轨道运动，故C错误； D．导弹从P到N过程中仅受地球引力，无其他力做功，机械能守恒，故D错误； 故选A。 【巩固提升2】（25-26高一下·山东滨州·期中）如图所示，A、B为两个轨道共面的地球的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B之间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由开普勒第三定律得 设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈， 由A是地球同步卫星知 联立解得 故选C。 考点七、航天器的变轨问题 【课标要求】掌握航天器变轨过程中的运动规律，能分析变轨过程中速度、加速度、机械能的变化，会结合万有引力定律解决变轨相关问题。 1.卫星轨道的突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器运行轨道发生突变，使其进人预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成： （1）先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1； （2）变轨时在 P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道II； （3）在Q 点再次点火加速进入圆形轨道III，最后以速率v4绕地球做匀速圆周运动。 2. 卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动 向心运动 变轨原因 卫星速度突然增大 卫星速度突然变小 F万与Fn的关系 （万有引力不足提供所需要的向心力） （万有引力大于提供所需要的向心力） 变轨结果 转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动 转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大 在新圆轨道上稳定运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小 3. 对接问题 在对接问题中，同一轨道上的飞行器，欲使后面的飞行器追上前面的飞行器，需将后面的飞行器减速，使其变轨到更低的轨道上从而获得更大的速度，然后再在适当的位置加速回归到原来的轨道上。 【典例破题8】（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）（多选）嫦娥七号计划2025年发射，将前往月球南极寻找水冰存在的证据。如图所示，若嫦娥七号探测器由地面发射后，经地月转移轨道，在A点变轨后进入绕月圆形轨道Ⅰ，在B点变轨后进入环月椭圆轨道Ⅱ。轨道Ⅱ可视为与月面相切于C点。已知轨道Ⅰ的半径是月球半径的k倍，仅考虑月球的引力，下列说法正确的是（　　） A．嫦娥七号的发射速度大于 B．嫦娥七号在A、B两点变轨时均需要减速 C．嫦娥七号在轨道Ⅰ上的周期与在轨道Ⅱ的周期之比为 D．嫦娥七号在轨道Ⅰ经过B点的加速度小于在轨道Ⅱ经过B点的加速度 【答案】BC 【详解】A．11.2km/s是第二宇宙速度，是脱离地球引力的最小发射速度。嫦娥七号绕月球运动，仍未脱离地球引力范围，因此发射速度小于11.2km/s，故A错误； B．在A点：从地月转移轨道进入绕月圆轨道Ⅰ，需要减速，使月球对探测器的万有引力等于向心力，才能被月球捕获进入绕月圆形轨道Ⅰ；在B点：从圆轨道Ⅰ变轨到更低的内侧椭圆轨道Ⅱ，探测器需要做近心运动，需要减速使万有引力大于所需向心力，才能进入椭圆轨道。因此两次变轨均需要减速，故B正确； C．设月球半径为，则圆轨道Ⅰ的半径 椭圆轨道Ⅱ近地点距月心，远地点距月心，因此椭圆的半长轴 根据开普勒第三定律,代入得 整理得，故C正确； D．加速度由万有引力决定，由万有引力 得，同一位置到月心的距离相同，因此探测器在两个轨道经过B点的加速度大小相等，故D错误。 故选BC。 【巩固提升1】（25-26高一下·安徽蚌埠·期中）（多选）如图所示为嫦娥六号在登陆月球背面进行采样过程中的轨道变化，这是人类第一次从月球背面采集月壤。轨道、为圆形轨道，轨道为椭圆轨道。轨道和相切于点，轨道和相切于B点。从轨道变轨到轨道，该航天器可在A、B两点点火变速。由此可分析（　　） A．该航天器变轨过程中，在、两点都需要减速 B．航天器分别在、轨道上运行相同时间，这段时间与月心连线扫过的面积相等 C．沿轨道和轨道分别经过点时速度大小相等 D．在轨道和轨道正常运行分别经过点时加速度大小相等 【答案】AD 【详解】A．该航天器在变轨过程中，都是做近心运动，在、两点都需要减速，A正确； B．据开普勒第二定律可知，在同一轨道上相同时间内与月心连线扫过的面积才相等，B错误； C．轨道相对于轨道是高轨道，由轨道到轨道需要在点位置减速，可知，沿轨道经过点的速度大于沿轨道经过点的速度，C错误； D．在轨道和轨道正常运行，无点火变速产生切向加速度，经过点万有引力相同，加速度大小相等，D正确。 故选AD。 【巩固提升2】（24-25高一下·安徽合肥·期末）2024年4月，神舟十八号载人飞船发射升空，并与空间站天和核心舱自主交会对接成功。将二者对接前飞船和空间站的稳定运行轨道简化如图，轨道I为载人飞船稳定运行的椭圆轨道，轨道II为空间站稳定运行的圆轨道，在两轨道的相切点载人飞船与空间站可实现对接，则（　　） A．飞船要想从轨道变轨至轨道，需要在点做加速运动 B．飞船在椭圆轨道I上运行过程中引力全程不做功 C．飞船在轨道I上P点向心加速度大于空间站在轨道II上P点向心加速度 D．飞船在椭圆轨道I上经过远地点的速度大于经过近地点的速度 【答案】A 【详解】A．飞船由内轨道向外轨道变轨，必须点火加速做离心运动，故A正确； B．由于只有万有引力做功，飞船在椭圆轨道I上运行时机械能守恒，故B错误； C．飞船在轨道上点向心加速度等于空间站在轨道上点向心加速度，故C错误； D．由开普勒第二定律，可知飞船在椭圆轨道I上远地点的速度小于近地点的速度，故D错误。 故选A。 考点八、宇宙中的双星和多星模型 【课标要求】掌握双星模型的受力特点和运动规律，能利用万有引力定律结合圆周运动规律解决双星、多星相关问题。 1．双星模型 （1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． （2）特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ω12r1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L （3）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝. 2．多星模型 （1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同． （2）三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示）． ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示）． （3）四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）． 【典例破题9】（25-26高一下·山东枣庄·期中）（多选）中国天眼FAST已发现约500颗脉冲星，成为世界上发现脉冲星效率最高的设备，如在球状星团M92第一次探测到“红背蜘蛛”脉冲双星。如图是相距为L的A、B星球构成的双星系统绕O点做匀速圆周运动情景，其运动周期为T。C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动的轨道半径为R，周期也为T，忽略A与C之间的引力，且A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。引力常量为G，则（　　） A．A的质量为 B．B的质量为 C．A、B的速度之比 D．A、B的轨道半径之比为 【答案】BCD 【详解】B．C绕B做匀速圆周运动，有 可解得，故B正确； A．AB组成的双星系统，有 根据公式可知 所以，故A错误； D．根据公式可知，故D正确； C．双星系统中A与B运动的角速度相同，根据公式可知，故C正确。 故选BCD。 探究归纳：双星系统问题的分析思路：一是明确双星做匀速圆周运动的向心力来源——两星之间的万有引力为对方提供向心力，因此两星做圆周运动的向心力大小相等；二是抓住双星系统的关键特点：两星做圆周运动的角速度、周期相等，且轨道半径之和等于两星间的距离，结合万有引力公式和圆周运动规律推导求解即可。 【巩固提升1】（24-25高一下·山东聊城·期末）太空中存在一个由两颗密度相同的球形恒星a和b构成的双星系统，两颗恒星绕O点做匀速圆周运动，恒星a的球心到O点的距离为l，恒星b的球心到O点的距离为2l。若已知恒星a的运动周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．恒星a的向心加速度是恒星b向心加速度的 B．恒星a的线速度是恒星b线速度的4倍 C．恒星a的质量为 D．恒星a表面的重力加速度是恒星b表面重力加速度的倍 【答案】D 【详解】A．双星角速度相同，向心加速度 相同，所以，A错误； B．线速度 所以，B错误； C．由万有引力提供向心力 得 解得 则，C错误； D．恒星表面重力加速度满足 结合 得 得，D正确。 故选D。 【巩固提升2】（24-25高一下·陕西汉中·期末）有研究表明，在银河系中至少一半以上的恒星系统都是由双星构成的。由恒星1、2（可视为质点）组成的双星系统如图所示，两恒星以相等的角速度绕两者连线上的点做匀速圆周运动，测得恒星1、2到点的距离分别为，引力常量为。忽略其他星体的影响，求： (1)恒星1、2的质量之比； (2)恒星1的质量； (3)恒星1、2之间万有引力大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）恒星1、2的向心力均由彼此间的万有引力提供，有，解得 （2）恒星2做匀速圆周运动，可得，解得 （3）恒星1、2之间万有引力大小 一、单选题 1．（24-25高一下·广东揭阳·期末）2024年6月25日，“嫦娥六号”成功返回地球，实现世界首次月球背面采样返回。已知地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍，忽略自转的影响，“嫦娥六号”的质量不变，则“嫦娥六号”在月球表面受到的重力与其在地球表面受到的重力大小之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】忽略星球自转，物体在星球表面的重力等于万有引力，则 可得，星球表面的重力加速度为 可知，“嫦娥六号”在月球与在地球表面受到的重力大小之比即为各自表面重力加速度之比，有 代入， 解得 故选A。 2．上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零 则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有 设半径为（R－d）球的质量为，由密度公式得 所以 解得，F的大小为 B正确，ACD错误。 故选B。 3．（24-25高一下·江西景德镇·期末）我国计划在2030年前实现载人登陆月球开展科学探索，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。假设飞船在距离月球表面的高度等于月球半径处绕月球做匀速圆周运动，周期为；已知月球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．该飞船在轨的速度大小为 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球的质量为 D．月球两极的重力加速度为 【答案】B 【详解】A．飞船轨道半径为，根据线速度 解得，故A错误； B．当某卫星绕月球表面做匀速圆周运动时，其线速度为月球的第一宇宙速度，设为，根据万有引力提供向心力有 飞船绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 联立解得，故B正确； C．飞船绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有 解得月球质量，故C错误； D． 在月球表面，根据万有引力等于重力有 解得月球两极重力加速度，故D错误。 故选B。 4．（25-26高一下·宁夏陕西·期末）2025年，我国深空探测器成功抵达某双小行星系统（由A、B两颗小行星组成）进行抵近考察。已知A、B两星均可视为质量分布均匀的球体，它们依靠相互间的万有引力，绕两者连线上的某一点O做匀速圆周运动，且两星之间的距离L保持不变。若测得A星的质量为B星质量的k倍，A星的半径为R，A星表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。忽略其他天体的影响，下列关于该双星系统的说法正确的是（     ） A．A、B两星做圆周运动的轨道半径之比为 B．A、B两星做圆周运动的向心加速度大小之比为 C．A星的第一宇宙速度为 D．B星的质量为 【答案】D 【详解】A．在双星系统中，两星依靠相互间的万有引力提供向心力，并且它们的角速度和周期相同 所以根据 解得 即轨道半径与质量成反比 由 得，A错误； B．根据，可知向心加速度与半径成正比，应为，B错误； C．第一宇宙速度是指物体在天体表面附近绕其做匀速圆周运动的速度，所以对A星根据万有引力提供向心力有 在A星表面忽略自转影响时有 联立可得，所以A星的第一宇宙速度为，C错误； D．在A星表面由万有引力等于重力 所以A星质量为 已知，所以B星的质量为，D正确； 故选D。 5．（24-25高一下·四川乐山·期末）由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为g0，在赤道处的重力加速度大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，下列说法正确的是（　　） A．地球上物体的向心加速度都指向地心 B．地球在赤道处的向心加速度大小为g C．地球表面赤道处的物体随地球自转的线速度为 D．地球的第一宇宙速度为 【答案】D 【详解】A．地球自转的向心加速度方向指向物体所在纬度的地轴垂点，只有赤道处的向心加速度指向地心，其他纬度不指向地心，故A错误； B．赤道处的重力加速度满足 因此向心加速度大小为，故B错误； C．赤道处物体的线速度 地球半径满足 代入得，故C错误； D．根据 可知第一宇宙速度 结合 解得，故D正确。 故选D。 6．随着国际石油供应日趋紧张，各国对石油的勘探也在进一步加强，在探测的过程中，遇到空腔或存在其他物质时，引力会发生变化，引起该地区重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。可以将模型简化为一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球外表面为R的地方有一质量为m的质点，此时大球体对质点的万有引力为F，如图所示，现在从M中挖去一半径为0.5R的球体，则剩下部分对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】质点与球体的球心相距，万有引力为F，则有 大球的质量 挖去的球体的质量 挖去的球体的球心与质点相距，与质点间的万有引力为 剩余部分对质点的万有引力 所以有 故选C。 7．（25-26高一下·广东广州·期中）二十四节气的命名反映了季节、物候现象和气候变化，节气早在《淮南子》中就有记载。沿椭圆轨道绕太阳运行时，假设地球所处不同位置对应的中国节气如图所示（2025年），下列说法正确的是（　　） A．太阳对地球的万有引力在夏至时达到最大值 B．地球绕太阳公转运行到冬至时线速度达到最大值 C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，加速度逐渐增大 D．根据地球的公转周期和太阳与地球的距离可估算出地球的质量 【答案】B 【详解】A．夏至时地球距离太阳最远，则太阳对地球的万有引力在夏至时达到最小值，选项A错误； B．根据开普勒第二定律，地球绕太阳公转运行到冬至时距离最近，可知此时地球的线速度达到最大值，选项B正确； C．地球绕太阳公转由春分到秋分的过程中，距离太阳的距离先变大后变小，则所受太阳的引力先变小后变大，可知加速度先变小后变大，选项C错误； D．根据可知，根据地球的公转周期T和太阳与地球的距离r可估算出太阳的质量M，选项D错误。 故选B。 二、多选题 8．（24-25高一下·云南楚雄·期末）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 解得火星的质量为 又 解得火星的平均密度为 故选AB。 9．（24-25高一下·山东泰安·期末）天文学家首次在正常星系中发现的超大质量双黑洞如图所示，此发现对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。若图中双黑洞的质量分别为和，双黑洞中心间距为L，它们以两者中心连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是（　　） A．双黑洞的轨道半径之比 B．双黑洞的线速度之比 C．它们的运动周期为 D．它们的运动周期为 【答案】AD 【详解】A．两个黑洞匀速圆周运动的角速度相同，周期相同，万有引力提供向心力，则 解得，A正确； B．万有引力提供向心力 解得 即，B错误； CD．根据，且 解得，C错误，D正确。 故选AD。 10．（2026·内蒙古兴安·二模）人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”（如图甲所示）。图乙中，图线表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离的关系，图线表示航天员相对地面静止时的向心加速度大小与的关系。其中地球半径R=6400 km，地球同步轨道近似高度为。已知地球自转周期为，引力常量为，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　） A．太空电梯停在处时，航天员对电梯舱没有弹力 B．随着的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小 C．太空电梯在地球同步轨道高度处的向心加速度约为 D．地球的质量为 【答案】AD 【详解】AB．航天员所需的向心力，随着的增加，航天员所需的向心力逐渐增加，在时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0；当时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，则 解得，随着的增大而减小；当时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时，随着的增大而增大，故A正确、B错误； C．由， 联立解得，故C错误； D．太空电梯在时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为，航天员的质量为，则 解得地球质量，故D正确。 故选AD。 三、解答题 11．（23-24高三下·辽宁·期中）中国探月工程（“嫦娥工程”）分为“绕”“落”“回”3个阶段，嫦娥五号月球探测器已经成功实现采样返回，不久的将来中国宇航员将登上月球。已知引力常量为G。 （1）若探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，测得其环绕周期为T，忽略探测器到月面的高度，求月球的密度。 （2）忽略其他星球的影响，将地球和月球称为双星，他们受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点O做周期相同的匀速圆周运动，如图所示。已知地球和月球中心之间的距离为L，地球质量M，月球质量m，求月球的运动周期为。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）探测器在靠近月球表面的圆形轨道无动力飞行，则有 又 解得 （2）设地球和月球运动的半径分别为，则 根据万有引力提供向心力，有 ， 联立，解得 12．（24-25高一下·重庆·阶段检测）中国科幻电影《流浪地球》讲述了宇宙航行的故事，假设人们在逃离过程中发现一种三星组成的孤立系统。三星的质量相等、半径均为，稳定分布在等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为，三星绕点做周期为的匀速圆周运动，已知万有引力常量为，忽略星体的自转。求： (1)每个星球的质量； (2)每个星球的第一宇宙速度。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）三星均围绕边长为的等边三角形的中心做匀速圆周运动，由几何关系，得半径为 设星球质量为，有 解得 （2）第一宇宙速度为最大的环绕速度，有 解得： 13．（25-26高一下·河北·期中）如图所示，两颗卫星绕某行星在同一平面内做匀速圆周运动，两卫星绕行方向相同（图中为逆时针方向）。已知行星的半径为，卫星1为近地卫星，其运行的周期为，到行星中心的距离为。卫星2到行星中心的距离为。引力常量为。图示时刻两卫星与行星中心连线之间的夹角为。求：（题干中、、已知） (1)行星的质量； (2)行星表面重力加速度的大小（忽略行星自转的影响）； (3)从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对于卫星1，由万有引力提供向心力得 解得行星的质量为 （2）忽略行星自转的影响，在行星表面有 可得行星表面重力加速度的大小为 （3）设卫星2的周期为，由万有引力提供向心力得 解得 设从图示时刻开始，经过时间两卫星第一次相距最近，则有 解得 14．（22-23高一下·北京大兴·期中）牛顿运用其运动定律并结合开普勒定律，通过建构物理模型研究天体的运动，建立了伟大的万有引力定律。请你选用恰当的规律和方法解决下列问题： （1）某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆，若行星在近日点与太阳中心的距离为，在远日点与太阳中心的距离为。求行星在近日点和远日点的加速度大小之比； （2）实际上行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动。设行星与太阳的距离为r，请根据开普勒第三定律（）及向心力的相关知识，证明太阳对行星的作用力F与r的平方成反比 （3）我们知道，地球表面不同位置的重力加速度大小略有不同。若已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在赤道地面附近重力加速度大小为，在北极地面附近重力加速度大小为，求比值的表达式。 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】（1）根据，，解得 （2）行星绕太阳的运动轨迹非常接近圆，其运动可近似看作匀速圆周运动，则有 又由于， 解得 可知，太阳对行星的作用力F与r的平方成反比。 （3）在赤道地面附近 在北极地面附近有 解得 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $