专题02 抛体运动及其分析（暑假复习讲义）新高二物理人教版

专题02 抛体运动及其分析 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 抛体运动的定义、分类与基本特征 2. 平抛运动的规律、分解方法与典型计算 3. 斜抛运动的运动规律 4. 抛体运动的临界、多体、图像类综合问题 1. 基础概念以选择题为主，考查抛体运动受力、运动性质、速度 / 位移变化规律 2. 平抛运动为核心考点，结合实际情景考查分解思想、落点、时间、偏转角计算 3. 斜抛运动侧重最高点、对称规律、射程与射高分析 4. 综合题常结合斜面、挡板、多物体相遇、图像命题，区分度较高 考情解码：本专题是曲线运动的重点应用，承接运动的合成与分解，是高考物理核心必考内容。本专题在高考中考查形式覆盖选择题、实验题与计算题，既可以单独命题考查核心规律的应用，也可以结合圆周运动、带电粒子在复合场中的运动等内容综合考查。知识层面，本专题的分解思想是处理所有曲线运动问题的核心方法，掌握抛体运动的分析逻辑，能够为后续复杂曲线运动的学习打好基础。我们可以结合梳理出的高频考点，快速对照自身的掌握情况，标记出知识掌握薄弱的板块，为后续针对性复习做好准备。 ( 脉 ｜ 络 ｜ 重 ｜ 构 ) ( 考 ｜ 点 ｜ 精 ｜ 讲 ) 知识点一 平抛运动的基本规律 【课标要求】通过实验探究抛体运动，掌握平抛运动的规律，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 角度1：平抛运动的基本规律 【典例破题1】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中，空气阻力及水流之间的相互作用可忽略不计。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度与实际速度之比为（　　） A． B． C．1 D．5 【方法提炼】处理平抛运动基本规律类问题时，要牢牢抓住“水平方向匀速直线运动、竖直方向自由落体运动”的分解思路，分别对应两个方向列位移、速度关系式，再结合题目给出的比例、几何关系联立求解即可，遇到比例类问题时，要找准各物理量的比例对应关系，避免盲目缩放出错。 【巩固提升1】（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0=6m/s，乙同学在离地h2=0.7m处将排球垫起。垫起前后球的速度大小相等，方向相反。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x； (2)排球被垫起前瞬间速度v的大小和方向。 【巩固提升2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，将面削出飞到开水锅里。假设小面片均沿着开水锅的半径方向水平飞出，最后落入锅中，且小面片刚被削离时距开水锅的高度为，与锅沿的水平距离为，锅的半径为，如图所示。若将削出的小面片视为质点，其运动视为平抛运动，忽略空气阻力，重力加速度为，则下列关于小面片的描述中正确的是（　　） A．所有小面片的运动时间都不相同 B．小面片落到点时的速度大小为 C．落入锅中的小面片，从飞出到落水前，速度的变化量相同 D．若落入锅中的小面片初速度为，则的范围 角度2：平抛运动的推论应用 【典例破题2】（25-26高一上·江苏扬州·期末）“刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈（可视为质点）从距离开水锅高为处被水平削离，与锅沿最近的水平距离为，锅的半径也为。忽略空气阻力且小面圈都落入锅中，重力加速度为。求： (1)小面圈在空中运动的时间； (2)小面圈落到锅的左边沿时速度与水平方向夹角的正切值； (3)要使小面圈都能落入锅内，则刚抛出时初速度的范围。 【易错警示】本题考查平抛运动规律的应用，解题关键在于明确小面圈落到锅的左右沿时对应的水平位移大小，不要混淆左右位移的计算，错把左边沿的水平位移当成最大位移，得出错误的初速度范围；同时要牢记平抛运动的推论tanα＝2tanθ，可以快速检验计算结果是否正确。 【巩固提升1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【巩固提升2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在具体的物理情景中，由基本规律和公式可以推导出一些“二级结论”，例如“做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点”，直接应用此类推论，有时能大幅提高解题效率。如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的。飞镖A与竖直墙壁成α角，飞镖B与竖直墙壁成β角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，抛出点的位置足够高，已知重力加速度为g。试求： (1)射出点离墙壁的水平距离； (2)若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小的速度击中墙壁，则C的初速度应为多大？ (3)在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角多大？射出点离水平地面的高度应该满足什么条件？ 角度3：平抛运动中的临界问题 【典例破题3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【易错警示】解决平抛运动的临界问题时，要准确找到临界状态对应的位移、速度条件，本题中碰到挡板反弹的情况要注意反弹后水平速度仅方向反向、大小不变，不要错误改变速度的大小；同时要分清楚“直接落入盒子”和“碰撞一次后落入盒子”的不同情景，不要混淆情景对应的位移范围，计算过程中要注意几何长度的叠加，避免位移关系分析错误。 【巩固提升1】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）（多选）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 【巩固提升2】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点二 与斜面有关的平抛运动 【课标要求】结合实际情景，掌握不同落点、碰撞情形下平抛运动的分析方法，能灵活运用平抛运动的规律解决相关问题。 1.沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2.垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 3.撞斜面平抛运动中的最小位移问题 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 角度1：与斜面结合的平抛运动 【典例破题4】（25-26高一上·江西景德镇·期末）（多选）2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为的速度从轨道边缘上的点沿轨道的竖直切面滑出轨道，速度方向与轨道边缘的夹角为，腾空后沿轨道边缘上的点进入轨道，腾空过程（从点运动到点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．两点的距离为 【易错警示】当运动员从斜面外抛出且最终落在斜面上时，要求抛出点到落点的最小位移，核心思路是利用几何关系确定最小位移的方向——位移方向与斜面垂直时位移最小，再将平抛运动分解到水平和竖直方向，结合平抛运动规律联立求解即可，不要错误将速度垂直斜面的情况当成位移最小的条件。 【巩固提升1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）某一冰雪项目的训练场地，如图所示，运动员从距平台边缘处收起滑雪杖，保持姿态不变，以的初速度向平台边缘滑去，滑雪运动员从A点沿水平方向飞出，离开平台后经过1.2s落到斜坡上的B点雪地。运动员与水平雪道的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度。求运动员： (1)滑离平台时速度的大小； (2)斜面倾角θ； (3)运动员在空中距离斜面最远时的速度大小。 【巩固提升2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，一弹性小球从倾角为的斜面A点正上方h处由静止下落，第一次与A点碰撞弹起后，第二次与斜面碰撞于B点。小球与斜面碰撞前后瞬间沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度大小不变、方向相反。重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．A、B两点间的距离为 B．小球从A点弹起后距斜面的最远距离为 C．小球从A到B的时间为 D．小球从A到B的过程中速度变化量的方向沿AB方向 角度2：与曲面结合的平抛运动 【典例破题5】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【易错警示】当平抛运动与圆弧曲面结合时，题干中“恰好无碰撞滑入曲面”的条件，实质是告知平抛运动到B点时，速度方向与曲面在该点的切线方向平行，速度方向与OB半径垂直，需要结合几何关系得到速度方向与水平方向的夹角，再结合平抛运动的分运动规律求解，不能忽略该隐含条件直接分析计算。 【巩固提升1】（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【巩固提升2】（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 知识点三 斜抛运动 【课标要求】知道斜抛运动的运动规律，能分析斜抛运动的射高和射程，能应用分解法处理斜抛运动的相关问题。 1.运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2.轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： 3.对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4.两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 角度1：斜抛运动的基本规律 【典例破题6】（25-26高一上·江西景德镇·期末）将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．之间的高度差为 【巩固提升1】（25-26高一上·河南郑州·期末）（多选）（如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从A点垂直于缓冲坡以速度大小为20m/s起跳，最后落在缓冲坡上的B点。已知缓冲坡倾角，不计空气阻力，，，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．运动员从A点到B点速度变化量的方向竖直向下 B．运动员从A点运动到轨迹最高点用时2s C．缓冲坡上A、B两点间的距离为75m D．运动员落在B点的速度方向与斜面夹角的正切值是 【巩固提升2】（25-26高一上·湖北孝感·期末）某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图甲所示，喷口与水平地面成一固定夹角将水喷出，同时喷口也在绕竖直轴不停地转动，从而覆盖喷灌机周边区域。现在将该喷灌机的工作状态简化为图乙所示，忽略喷口距离地面的高度。喷水速度可以在0到最大速度之间变化，若以最大速度喷水则水从喷口O处喷出后经历1s落到地面上的A点，g取，，不计空气阻力。求： (1)喷水能达到的最大高度h； (2)喷口与水平地面间的夹角； (3)一台灌溉机喷水能灌溉的面积S。 一、单选题 1．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 2．（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图所示，某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角，不计空气阻力(sin53°=0.8  cos53°=0.6 )。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）如图所示，倾角的斜面，在斜面顶端向左水平抛出小球，同时在底端正上方与点等高度处水平向右抛出小球，小球、同时落在点，点为斜边的中点，则（    ） A．小球落在点时速度方向与斜面的夹角为 B．小球、的初速度大小可以不相等 C．小球一定垂直撞在斜面上 D．改变小球的初速度，小球落在斜面上的速度方向都相同 4．（25-26高一上·山西晋城·期末）如图所示，一辆小车（只画了车厢）正沿水平面向左直线运动，高台上的人水平抛出一个小球，能将球抛入小车内。假设小车和小球在同一平面内运动。已知抛球点与小车上表面竖直高度差，小车的长度为。当小车左端运动至距离高台处时，小车的速度，其将以大小为的加速度向高台做匀减速运动，同时高台上的人将手上的小球水平抛出，结果小球落入小车中。重力加速度g取，小球大小和空气阻力可忽略不计，则小球抛出时的初速度大小范围为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡处着陆。测得、间距离为，斜坡与水平方向间夹角为。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离越近 B．运动员在空中的飞行时间为 C．运动员从跳台处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为 6．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）某小队执行投弹训练，如图所示，从倾角的固定斜坡坡底O点正上方的A点将两颗可视为质点的炮弹投出。第一次将其中一颗炮弹以水平速度投出，落在斜坡上面的B点；第二次以平行于斜坡的速度将另一颗炮弹投出，同样也落在B点。已知OA的距离和OB的距离均为h，不计空气阻力，忽略炮弹爆炸对斜坡的影响，则的大小为（　　） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·甘肃金昌·期中）如图所示，内径为R，内壁光滑的空心圆柱体竖直固定在水平地面上，内壁O点有一小滑块，现给小滑块水平切向的初速度v0，小滑块沿着柱体的内壁旋转一周经过O1点后继续运动，最终落在柱体的底面上。已知小滑块的质量为m，重力加速度为g。则在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小滑块的机械能不守恒 B．小滑块到达O1的速度为 C．小滑块旋转一周所用的时间为 D．小滑块对内壁的弹力逐渐增大 二、多选题 8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图，光滑固定斜面的倾角为，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 9．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，竖直墙、间距为，竖直线到两边墙面等距。从离地高度一定的点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上点、点各发生一次碰撞后恰好落在地面上的点，小球每次与墙壁碰撞时竖直方向分速度不变，水平方向分速度大小不变，方向相反。设点距点高度为，点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计，下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距加倍而仍在两墙中央点平抛，小球不会落在点 D．仅将初速度增为（为正整数），小球一定落在点 10．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，：：2，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则：：4 B．若，则：：1 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆的水量更大 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 三、解答题 11．（25-26高一下·广东茂名·期中）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，其装置简化原理如图所示。“抛石机”长臂的长度，短臂的长度。在某次攻城战中，敌人城墙高度，士兵们为了能将石块投入敌人城中，在城外堆出了高的小土丘，在小土丘上使用“抛石机”对敌人进行攻击。士兵将质量的石块装在长臂末端的弹筐中，开始时长臂处于静止状态，其与水平面夹角。现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出且恰好击中城墙正面与小土丘等高的P点，P点与抛出位置间的水平距离。不计空气阻力，重力加速度。 (1)求石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v (2)求最高点时弹筐对石块竖直方向的作用力 (3)若城墙上端的水平宽度，则石块抛出时速度多大才可以击中敌人城墙顶部？ 12．（25-26高一下·宁夏陕西·期末）如图所示，长度为的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量小物块（可视为质点），现使小物块在竖直平面内做顺时针圆周运动，当小物块运动到最低点时绳子断裂，绳断前瞬间轻绳承受的最大张力大小为，小物块飞行一段时间垂直地撞在倾角的斜面上，当地重力加速度大小，求 (1)绳断瞬间小物块的线速度大小； (2)从小物块绳断到垂直撞击斜面的过程中下落的竖直距离； 13．（25-26高一上·浙江杭州·期末）小沈同学设计了一款益智玩具装置如图所示，动摩擦因数的水平面HB与一竖直且半径的半圆轨道BC相切于B点。C点的正下方（略低于C点）右侧放置一水平顺时针匀速转动的传送带CD，传送带转轮的大小忽略不计，一倾角为的斜面与D点和HB上的E点相连。现有一质量金属小滑块（可视为质点）从A点以水平初速度开始向B点运动，经过B点滑上竖直半圆轨道后再经C点滑上传送带，并由D点向右水平抛出。已知AB之间的距离，传送带长度，滑块与传送带间的滑动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若滑块初速度，求滑块经过B点时对半圆轨道的压力； (2)若滑块恰好能滑上传送带，传送带的速度，滑块经过传送带的过程中会在传送带上留下划痕，求传送带上划痕的长度。 (3)若滑块恰好能滑上传送带，改变传送带速度v的大小，请通过计算确定滑块从D点水平抛出后在空中飞行的时间t与传送带速度v的关系。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 抛体运动及其分析 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解核心知识，重构整合形成体系 脉络重构：快速扫描高频考点，定位薄区 典例破题：精选例题，呈现思路点拨+规范解答+方法提炼 巩固提升：趁热打铁练一练，强化巩固所学 03综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 04错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 抛体运动的定义、分类与基本特征 2. 平抛运动的规律、分解方法与典型计算 3. 斜抛运动的运动规律 4. 抛体运动的临界、多体、图像类综合问题 1. 基础概念以选择题为主，考查抛体运动受力、运动性质、速度 / 位移变化规律 2. 平抛运动为核心考点，结合实际情景考查分解思想、落点、时间、偏转角计算 3. 斜抛运动侧重最高点、对称规律、射程与射高分析 4. 综合题常结合斜面、挡板、多物体相遇、图像命题，区分度较高 考情解码：本专题是曲线运动的重点应用，承接运动的合成与分解，是高考物理核心必考内容。本专题在高考中考查形式覆盖选择题、实验题与计算题，既可以单独命题考查核心规律的应用，也可以结合圆周运动、带电粒子在复合场中的运动等内容综合考查。知识层面，本专题的分解思想是处理所有曲线运动问题的核心方法，掌握抛体运动的分析逻辑，能够为后续复杂曲线运动的学习打好基础。我们可以结合梳理出的高频考点，快速对照自身的掌握情况，标记出知识掌握薄弱的板块，为后续针对性复习做好准备。 ( 脉 ｜ 络 ｜ 重 ｜ 构 ) ( 考 ｜ 点 ｜ 精 ｜ 讲 ) 知识点一 平抛运动的基本规律 【课标要求】通过实验探究抛体运动，掌握平抛运动的规律，体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 角度1：平抛运动的基本规律 【典例破题1】（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的水池中，空气阻力及水流之间的相互作用可忽略不计。现制作一个为实际尺寸的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度与实际速度之比为（　　） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【详解】水流从槽道流出后做平抛运动，竖直方向：自由落体位移满足 得运动时间 已知模型是实际尺寸的，因此竖直位移满足 代入得时间比 水平方向：匀速位移满足，得初速度，水平位移满足 因此速度比 故选B。 【方法提炼】处理平抛运动基本规律类问题时，要牢牢抓住“水平方向匀速直线运动、竖直方向自由落体运动”的分解思路，分别对应两个方向列位移、速度关系式，再结合题目给出的比例、几何关系联立求解即可，遇到比例类问题时，要找准各物理量的比例对应关系，避免盲目缩放出错。 【巩固提升1】（25-26高三上·广东珠海·阶段检测）体育课上，甲同学在距离地面高h1=2.5m处将排球击出，球的初速度沿水平方向，大小为v0=6m/s，乙同学在离地h2=0.7m处将排球垫起。垫起前后球的速度大小相等，方向相反。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力。求： (1)排球被垫起前在水平方向飞行的距离x； (2)排球被垫起前瞬间速度v的大小和方向。 【答案】(1)3.6m (2)，与水平方向成45°斜向左下方 【详解】（1）排球被垫起前做平抛运动，竖直方向有 水平方向有 联立解得 （2）排球被垫起前瞬间竖直方向速度为 排球的速度大小为 解得 设ν与水平方向夹角为θ，则有 解得 即v与水平方向成45°斜向左下方。 【巩固提升2】（25-26高一上·湖南郴州·期末）中国的面食文化博大精深，种类繁多，其中“山西刀削面”堪称天下一绝，传统的操作手法是一手托面一手拿刀，将面削出飞到开水锅里。假设小面片均沿着开水锅的半径方向水平飞出，最后落入锅中，且小面片刚被削离时距开水锅的高度为，与锅沿的水平距离为，锅的半径为，如图所示。若将削出的小面片视为质点，其运动视为平抛运动，忽略空气阻力，重力加速度为，则下列关于小面片的描述中正确的是（　　） A．所有小面片的运动时间都不相同 B．小面片落到点时的速度大小为 C．落入锅中的小面片，从飞出到落水前，速度的变化量相同 D．若落入锅中的小面片初速度为，则的范围 【答案】C 【详解】A．平抛过程运动中，在竖直方向 解得 削面时面片的下落高度相同，则运动的时间相同，故A错误； B．小面片落到O点时，水平位移大小为 则小面片水平分速度大小为 竖直分速度大小为 小面片落到O点时的速度大小为，故B错误； C．速度的变化量 下落时间相同则速度的变化量相同，故C正确； D．落入锅中的小面片，在水平方向的位移大小满足 根据 可得，的范围，故D错误。 故选C。 角度2：平抛运动的推论应用 【典例破题2】（25-26高一上·江苏扬州·期末）“刀削面”堪称天下一绝，如图所示，小面圈（可视为质点）从距离开水锅高为处被水平削离，与锅沿最近的水平距离为，锅的半径也为。忽略空气阻力且小面圈都落入锅中，重力加速度为。求： (1)小面圈在空中运动的时间； (2)小面圈落到锅的左边沿时速度与水平方向夹角的正切值； (3)要使小面圈都能落入锅内，则刚抛出时初速度的范围。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据 可得小面圈在空中运动的时间 （2）小面圈落到锅的左边沿时水平速度 竖直速度 则速度与水平方向夹角的正切值 （3）小面圈落到锅的左边沿时抛出的初速度 小面圈落到锅的右边沿时抛出的初速度 可知要使小面圈都能落入锅内，则刚抛出时初速度的范围。 【易错警示】本题考查平抛运动规律的应用，解题关键在于明确小面圈落到锅的左右沿时对应的水平位移大小，不要混淆左右位移的计算，错把左边沿的水平位移当成最大位移，得出错误的初速度范围；同时要牢记平抛运动的推论tanα＝2tanθ，可以快速检验计算结果是否正确。 【巩固提升1】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示光滑直管倾斜固定在水平地面上，直管与水平地面间的夹角为45°，管口到地面的竖直高度为；在距地面高为处有一固定弹射装置，可以沿水平方向弹出直径略小于直管内径的小球。某次弹射的小球恰好无碰撞地从管口处进入管内，设小球弹出点到管口的水平距离为，弹出的初速度大小为，重力加速度取。关于和的值，下列选项正确的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由题意可知，弹出后小球做平抛运动，到管口时的速度方向沿直管方向，根据平抛运动特点，做平抛运动的物体任意时刻速度方向的反向延长线交此前水平位移于中点，如图所示 根据几何关系得 小球在竖直方向做自由落体运动，可得小球从到的运动时间为 水平方向匀速运动有 故选A。 【巩固提升2】（24-25高一上·浙江杭州·期末）在具体的物理情景中，由基本规律和公式可以推导出一些“二级结论”，例如“做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点”，直接应用此类推论，有时能大幅提高解题效率。如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的。飞镖A与竖直墙壁成α角，飞镖B与竖直墙壁成β角，两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，抛出点的位置足够高，已知重力加速度为g。试求： (1)射出点离墙壁的水平距离； (2)若在该射出点水平射出飞镖C，要求它以最小的速度击中墙壁，则C的初速度应为多大？ (3)在第（2）问情况下，飞镖C与竖直墙壁的夹角多大？射出点离水平地面的高度应该满足什么条件？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，则有， 又 联立解得射出点离墙壁的水平距离为 （2）若在该射出点水平射出飞镖C，初速度为，则有 飞镖C击中墙壁时的竖直分速度为 则飞镖C击中墙壁时的速度大小为 根据基本不等式可知，当时，飞镖C击中墙壁时的速度最小；此时C的初速度为 （3）在第（2）问情况下，飞镖C击中墙壁时的竖直分速度为 则有 可知飞镖C与竖直墙壁的夹角为；飞镖C下落的高度为 则射出点离水平地面的高度应该满足 角度3：平抛运动中的临界问题 【典例破题3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2)3~4m/s (3) 【详解】（1）竖直方向有 解得 小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，有 可得小球到达斜面的速度大小 （2）竖直方向有 速度最小时 解得 当小球刚好落到第2块挡板最低处，有， 解得 可得从平台边缘飞出的速度取值范围为3~4m/s。 （3）竖直方向有 与挡板碰撞一次，速度最小时 解得 速度最大时 解得 因此速度取值范围为 【易错警示】解决平抛运动的临界问题时，要准确找到临界状态对应的位移、速度条件，本题中碰到挡板反弹的情况要注意反弹后水平速度仅方向反向、大小不变，不要错误改变速度的大小；同时要分清楚“直接落入盒子”和“碰撞一次后落入盒子”的不同情景，不要混淆情景对应的位移范围，计算过程中要注意几何长度的叠加，避免位移关系分析错误。 【巩固提升1】（25-26高一上·甘肃兰州·期末）（多选）乒乓球发球机是一个很好的辅助练习者练球的工具。甲图是乒乓球发球机的实物图，乙图是简化示意图。设乒乓球桌面ABCD的AB边长为L1，BC边长为L2，球网JK位于桌面的正中间，网高为h；发球机简化为EF，其中E点固定在AB边的中点，F点为乒乓球发射点，EF始终保持竖直，高度为H（可调）。乒乓球看成质点，每次均从F点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，则下列说法不正确的是（　　） A．要让乒乓球能越过球网，最小发射速率一定为 B．若乒乓球的发射速率超过，则乒乓球一定会落在边界CD之外 C．只要H大于h，就一定能设置合适的发球速率，使球落在JKCD区域 D．调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射能够擦网而过后直接落到CD边上，则适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的 【答案】ABC 【详解】A．要让乒乓球能越过球网，则在乒乓球到达球网前下落的高度为 水平方向的位移 解得最小发射速率为，故A错误，符合题意； B．从抛出点到角C、D时水平位移最大，故最大水平位移为 当发射的速率等于时，有 可知发射的速率超过时，如果发球高度满足 则，即乒乓球有可能落在界内，故B错误，符合题意； C．设置好H后，存在乒乓球刚好过网和球刚好不出界的临界条件，由A分析可知，乒乓球刚好过网的速度为 球刚好不出界的速度为 设，解得 则当时，球落在JKCD区域，故C错误，符合题意； D．结合高度求出平抛运动的时间，可以发现调整H和h的高度，若球以垂直于AB边的方向发射擦网而过后直接落到CD边上，球从发射到球网的时间和球从球网到CD边的时间相等，设为T，则H的高度满足 适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球，通过球网的位置仍然是水平方向的位移的中点，即仍然是T时刻通过球网，则只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的，故D正确，不符合题意。 本题选择错误选项，故选ABC。 【巩固提升2】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发球点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为。若乒乓球的发射速率为v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】水平方向匀速直线运动，水平位移最小即沿中线方向水平发射恰好过球网，此时从发球点到球网，下降高度为 水平位移大小为 对应的最小初速度 水平位移最大即斜向对方台面的两个角发射，根据几何关系此时的位移大小为 由 对应的最大初速度 所以平抛的初速度的取值范围为。 故选D。 知识点二 与斜面有关的平抛运动 【课标要求】结合实际情景，掌握不同落点、碰撞情形下平抛运动的分析方法，能灵活运用平抛运动的规律解决相关问题。 1.沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2.垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 3.撞斜面平抛运动中的最小位移问题 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 角度1：与斜面结合的平抛运动 【典例破题4】（25-26高一上·江西景德镇·期末）（多选）2022年2月18日，我国运动员夺得北京冬奥会自由式滑雪女子形场地技巧赛冠军。比赛场地可简化为如图甲所示的模型：滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道连接而成，轨道的倾角为。某次腾空时，运动员（视为质点）以大小为的速度从轨道边缘上的点沿轨道的竖直切面滑出轨道，速度方向与轨道边缘的夹角为，腾空后沿轨道边缘上的点进入轨道，腾空过程（从点运动到点的过程）的左视图如图乙所示。重力加速度大小为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员腾空过程中处于超重状态 B．运动员腾空过程中离开的最大距离为 C．运动员腾空的时间为 D．两点的距离为 【答案】BD 【详解】A．运动员腾空过程中仅受重力处于完全失重状态，故A错误； B．运动员在M点时垂直AD方向的速度大小为 设运动员在ABCD面内垂直AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 设运动员腾空过程中离开AD的最大距离为d，根据匀变速直线运动的规律有 解得，故B正确； C．运动员在M点时平行AD方向的速度大小 设运动员在ABCD面内平行AD方向的加速度大小为，根据牛顿第二定律有 可得运动员从M点到离开AD最远的时间 根据对称性可知，运动员腾空的时间，故C错误； D．根据匀变速直线运动的规律可知，M、N两点的距离，故D正确。 故选BD。 【易错警示】当运动员从斜面外抛出且最终落在斜面上时，要求抛出点到落点的最小位移，核心思路是利用几何关系确定最小位移的方向——位移方向与斜面垂直时位移最小，再将平抛运动分解到水平和竖直方向，结合平抛运动规律联立求解即可，不要错误将速度垂直斜面的情况当成位移最小的条件。 【巩固提升1】（25-26高一上·辽宁大连·期末）某一冰雪项目的训练场地，如图所示，运动员从距平台边缘处收起滑雪杖，保持姿态不变，以的初速度向平台边缘滑去，滑雪运动员从A点沿水平方向飞出，离开平台后经过1.2s落到斜坡上的B点雪地。运动员与水平雪道的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度。求运动员： (1)滑离平台时速度的大小； (2)斜面倾角θ； (3)运动员在空中距离斜面最远时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）运动员在平台滑行时，根据牛顿第二定律有 规定向左为正方向，根据 联立解得 （2）根据平抛运动规律有，（其中t=1.2s） 因为 联立解得 （3）运动员在空中距离斜面最远时，速度方向与斜面平行，此时的速度大小 【巩固提升2】（25-26高一上·湖南衡阳·期末）如图所示，一弹性小球从倾角为的斜面A点正上方h处由静止下落，第一次与A点碰撞弹起后，第二次与斜面碰撞于B点。小球与斜面碰撞前后瞬间沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度大小不变、方向相反。重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．A、B两点间的距离为 B．小球从A点弹起后距斜面的最远距离为 C．小球从A到B的时间为 D．小球从A到B的过程中速度变化量的方向沿AB方向 【答案】A 【详解】D．小球从A到B的过程只受重力作用，速度变化量 速度变化量的方向竖直向下，故D错误； B．小球落在A点前做自由落体运动，落到A点时的速度大小 小球从A到B运动过程可以分解为垂直于斜面与平行于斜面方向的分运动，当小球垂直于斜面方向的速度为零时距离斜面最远，小球从A点弹起后距离斜面的最远距离，故B错误； C．小球从A到B的运动时间，故C错误； A．A、B两点间的距离，故A正确。 故选A。 角度2：与曲面结合的平抛运动 【典例破题5】（25-26高三上·河北衡水·期中）如图所示，质量为m的滑块（可视为质点）从光滑平台的端点A以一定初速度水平飞出后，恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道BC。A、B两点的高度差为h，光滑圆弧半径OB与竖直方向夹角为53°，重力加速度为g，不计空气阻力，sin53°=0.8，cos53°=0.6。求： (1)滑块从A到B的时间t； (2)滑块从A点飞出的速度v0和在B点时的速度v1的大小。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据平抛运动竖直方向的运动规律有，解得 （2）滑块在B点，竖直方向的速度为 滑块恰好从B点无碰撞滑入竖直平面内的光滑圆弧轨道，则有， 解得， 【易错警示】当平抛运动与圆弧曲面结合时，题干中“恰好无碰撞滑入曲面”的条件，实质是告知平抛运动到B点时，速度方向与曲面在该点的切线方向平行，速度方向与OB半径垂直，需要结合几何关系得到速度方向与水平方向的夹角，再结合平抛运动的分运动规律求解，不能忽略该隐含条件直接分析计算。 【巩固提升1】（24-25高一下·湖北荆州·期末）如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37°。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，若不计空气阻力，则（　　） A． B．AM之间的距离为 C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】A 【详解】A．小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37° 小球在N点竖直方向的速度 小球从M到N运动的时间 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 ，解得 小球从M到N水平位移 ，故A正确； B．由A选项知，AM之间的距离为，故B错误； C．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故C错误； D．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选A。 【巩固提升2】（2025·广东·模拟预测）如图所示，是四分之一圆弧，固定在竖直面内，是圆心，竖直，是圆弧上的一点，是上一点，水平，、、三点将四等分，在、、、四点分别水平抛出一个小球，小球均落在点，若小球落在点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】小球垂直打在点时，速度方向的反向延长线过点，且交于水平位移的中点，如图所示 由几何关系可知抛出点一定在点。 故选C。 知识点三 斜抛运动 【课标要求】知道斜抛运动的运动规律，能分析斜抛运动的射高和射程，能应用分解法处理斜抛运动的相关问题。 1.运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2.轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： 3.对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4.两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 角度1：斜抛运动的基本规律 【典例破题6】（25-26高一上·江西景德镇·期末）将一物体以某一初速度沿与水平方向成角从点斜向上抛出，经过点时速度与水平方向的夹角为。已知之间的水平距离为，忽略空气阻力的影响，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．从点抛出时的速度大小为 B．从到过程中速度的最小值为 C．从到的时间为 D．之间的高度差为 【答案】B 【详解】AC．设初速度为v，则水平方向的速度为 竖直方向的速度为 由于水平方向速度不变，所以末状态下的竖直方向的速度 取竖直向下为正方向，所以A到B的时间为 水平方向上有 联立解得， 故AC错误； B．速度最小值是最高点的速度，此时竖直方向速度为零，即最小速度，故B正确； D．取竖直向下为正方向，从A到B过程有 联立解得，故D错误。 故选B。 【巩固提升1】（25-26高一上·河南郑州·期末）（多选）（如图所示，滑雪运动员通过助滑道加速后从A点垂直于缓冲坡以速度大小为20m/s起跳，最后落在缓冲坡上的B点。已知缓冲坡倾角，不计空气阻力，，，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．运动员从A点到B点速度变化量的方向竖直向下 B．运动员从A点运动到轨迹最高点用时2s C．缓冲坡上A、B两点间的距离为75m D．运动员落在B点的速度方向与斜面夹角的正切值是 【答案】AC 【详解】A．运动员从A点到B点过程中只受重力，加速度为重力加速度，方向竖直向下，速度变化量的方向与加速度的方向相同，竖直向下，故A正确； B．运动员在A点时，竖直分速度大小为 则运动员从A点运动到轨迹最高点用时，故B错误； C．把运动员的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，如图所示 由图可知 解得 缓冲坡上A、B两点间的距离为，故C正确； D．设运动员落在B点时速度与斜面夹角为，沿斜面方向的速度 其中 解得 则，故D错误。 故选AC。 【巩固提升2】（25-26高一上·湖北孝感·期末）某旋转喷灌机进行农田喷灌的示意图如图甲所示，喷口与水平地面成一固定夹角将水喷出，同时喷口也在绕竖直轴不停地转动，从而覆盖喷灌机周边区域。现在将该喷灌机的工作状态简化为图乙所示，忽略喷口距离地面的高度。喷水速度可以在0到最大速度之间变化，若以最大速度喷水则水从喷口O处喷出后经历1s落到地面上的A点，g取，，不计空气阻力。求： (1)喷水能达到的最大高度h； (2)喷口与水平地面间的夹角； (3)一台灌溉机喷水能灌溉的面积S。 【答案】(1)1.25m (2) (3) 【详解】（1）喷出的水经过1s落地，故在竖直方向上上升和下降各用时； 上升高度 （2）由竖直方向上上升和下降各用时，解得 由，得， （3）水平速度 水平方向总位移 故该喷灌机的喷灌面积 一、单选题 1．如图所示，在竖直平面内有一曲面，曲面方程为，在轴上有一点P，坐标为（0，6m）。从P点将一小球水平抛出，初速度为1m/s。则小球第一次打在曲面上的位置为（不计空气阻力）（　　）    A．（3m，3m） B．（2m，4m） C．（1m，1m） D．（1m，2m） 【答案】C 【详解】小球做平抛运动，水平方向有 竖直方向有 球第一次打在曲面上的坐标为，有 解得 ，， 故球第一次打在曲面上的坐标为（1m，1m）。 故C正确。 2．（24-25高三上·安徽宣城·期末）如图所示，某同学在进行投篮练习。已知A、B、C是篮球运动轨迹中的三个点，其中A为球抛出点，B为球运动轨迹的最高点，C为球落入篮框的点，且A、B连线垂直于B、C连线，A、B连线与水平方向的夹角，不计空气阻力(sin53°=0.8  cos53°=0.6 )。则篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为（　　） A．3∶4 B．4∶3 C．9∶16 D．16∶9 【答案】D 【详解】设篮球在A点的竖直分速度为，在C点的竖直分速度为，篮球的水平分速度为，篮球从A到B过程，根据逆向思维将篮球看成从B到A的平抛运动，篮球在A点时，根据平抛运动推论可得 根据几何关系可知B、C连线与水平方向的夹角为 篮球从B到C做平抛运动，篮球在C点时，根据平抛运动推论可得 又， 联立可得篮球从A到B与从B到C的运动时间之比为 故选D。 3．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）如图所示，倾角的斜面，在斜面顶端向左水平抛出小球，同时在底端正上方与点等高度处水平向右抛出小球，小球、同时落在点，点为斜边的中点，则（    ） A．小球落在点时速度方向与斜面的夹角为 B．小球、的初速度大小可以不相等 C．小球一定垂直撞在斜面上 D．改变小球的初速度，小球落在斜面上的速度方向都相同 【答案】D 【详解】A．对球1， 落在点时速度方向与水平的夹角 则，即落在点时速度方向与斜面的夹角不等于，选项A错误； B．小球1、2下落的竖直高度相等，则运动时间相等，水平位移相等，可知两球的初速度大小相等，选项B错误； C．由A的分析可知，小球2落在斜面上时速度方向与水平方向的夹角也为，可知小球2不是垂直撞在斜面上，选项C错误； D．根据A的分析可知，小球1落在斜面上的速度方向与水平方向的夹角为定值，可知改变小球1的初速度，小球1落在斜面上的速度方向都相同，选项D正确。 故选D。 4．（25-26高一上·山西晋城·期末）如图所示，一辆小车（只画了车厢）正沿水平面向左直线运动，高台上的人水平抛出一个小球，能将球抛入小车内。假设小车和小球在同一平面内运动。已知抛球点与小车上表面竖直高度差，小车的长度为。当小车左端运动至距离高台处时，小车的速度，其将以大小为的加速度向高台做匀减速运动，同时高台上的人将手上的小球水平抛出，结果小球落入小车中。重力加速度g取，小球大小和空气阻力可忽略不计，则小球抛出时的初速度大小范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，小球从抛出到落入小车所用时间为 设小球抛出时的初速度为v，则小球的水平位移为，小车向左运动的位移为 当小球恰好落入小车左端时，满足 解得 当小球恰好落入小车右端时，满足 解得 所以小球抛出时的初速度大小范围为，故D正确，ABC错误。 故选D。 5．（25-26高一下·北京·期中）如图所示，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台处水平飞出，在空中飞行一段距离，最后在斜坡处着陆。测得、间距离为，斜坡与水平方向间夹角为。不计空气阻力，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．运动员的质量越大，落点离越近 B．运动员在空中的飞行时间为 C．运动员从跳台处水平飞出的初速度大小为 D．运动员落到斜坡上的速度大小为 【答案】B 【详解】A．平抛运动的加速度为重力加速度，与运动员质量无关，初速度相同时，运动轨迹、落点与质量无关，A错误。 B．已知间距，斜坡倾角，竖直下落高度： 竖直方向为自由落体运动 解得飞行时间： B正确。 C．水平位移 水平方向匀速运动 得初速度： C错误。 D．落点竖直速度 合速度 D错误。 故选B。 6．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）某小队执行投弹训练，如图所示，从倾角的固定斜坡坡底O点正上方的A点将两颗可视为质点的炮弹投出。第一次将其中一颗炮弹以水平速度投出，落在斜坡上面的B点；第二次以平行于斜坡的速度将另一颗炮弹投出，同样也落在B点。已知OA的距离和OB的距离均为h，不计空气阻力，忽略炮弹爆炸对斜坡的影响，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一次将其中一颗炮弹以水平速度投出，落在斜坡上面的B点，则， 第二次以平行于斜坡的速度将另一颗炮弹投出，同样也落在B点，则， 解得 故选C。 7．（25-26高一下·甘肃金昌·期中）如图所示，内径为R，内壁光滑的空心圆柱体竖直固定在水平地面上，内壁O点有一小滑块，现给小滑块水平切向的初速度v0，小滑块沿着柱体的内壁旋转一周经过O1点后继续运动，最终落在柱体的底面上。已知小滑块的质量为m，重力加速度为g。则在整个运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小滑块的机械能不守恒 B．小滑块到达O1的速度为 C．小滑块旋转一周所用的时间为 D．小滑块对内壁的弹力逐渐增大 【答案】B 【详解】A．小滑块受柱体的内壁支持力不做功，故小滑块的机械能守恒，故A错误； B C．小滑块的运动可看作水平方向的匀速圆周运动和竖直方向的自由落体运动，从O点到O1点的时间 O1点竖直方向的分速度为 O1的速度为，故B正确，C错误； D．由牛顿第二定律 由牛顿第三定律小滑块对内壁的弹力，大小不变，故D错误。 故选B。 二、多选题 8．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图，光滑固定斜面的倾角为，高为，一小球在处以水平速度射出，最后从处离开斜面。对小球在斜面上的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度为 C．小球从处到达处所用的时间为 D．小球到达处的速度大小为 【答案】ABC 【详解】AB．由牛顿第二定律可知小球的加速度为，方向沿斜面向下，小球初速度与加速度方向垂直且加速度不变，因此小球的运动轨迹为抛物线，故AB正确； C．小球垂直于初速度方向的在斜面上运动的位移 解得，故C正确； D．小球到达处的速度大小，故D错误。 故选ABC。 9．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，竖直墙、间距为，竖直线到两边墙面等距。从离地高度一定的点垂直墙面以初速度水平抛出一个小球，小球与墙上点、点各发生一次碰撞后恰好落在地面上的点，小球每次与墙壁碰撞时竖直方向分速度不变，水平方向分速度大小不变，方向相反。设点距点高度为，点距地面高度为，所有摩擦和阻力均不计，下列说法正确的是（　　） A． B． C．仅将间距加倍而仍在两墙中央点平抛，小球不会落在点 D．仅将初速度增为（为正整数），小球一定落在点 【答案】AD 【详解】A．小球与墙发生弹性碰撞，水平方向的速度大小不变，设小球从A到B所用时间为，则下落和所用时间之比为 根据平抛运动规律可得， 解得，故A正确，B错误； C．整个运动过程中小球水平方向运动的路程为，若仅将间距加倍而仍在两墙中央A点平抛，小球将与墙壁碰撞一次后仍落在中点O点，故C错误； D．仅将初速度增为(k为正整数），高度不变则下落的时间不变，则小球水平方向的路程为 小球从中点A抛出，则小球一定落在O点，故D正确。 故选AD。 10．（24-25高一上·浙江宁波·期末）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、和为半径的同心圆上，：：2，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用、、和、、表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．若，则：：4 B．若，则：：1 C．若，，喷水嘴各转动一周，则落入外圈每个花盆的水量更大 D．若，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则 【答案】AD 【详解】A．喷出的水做平抛运动，则有， 联立解得， 若，则，故A正确； B．若，则，故B错误； C．若，根据可知，喷水嘴各转动一周的时间T相同，因，出水口的截面积相同，根据可知，喷水嘴的流量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，外圈上的花盆总数量较多，则落入外圈每个花盆的水量更小，故C错误； D．若，则喷水嘴各转动一周的时间T相同，若 则 根据 可知，喷水嘴的流量之比为，转动一周喷出的水量之比为，因为内圈花盆的数量和外圈花盆的数量之比也是，所以落入每个花盆的水量相同，故D正确。 故选AD。 三、解答题 11．（25-26高一下·广东茂名·期中）“抛石机”是古代战争中常用的一种设备，其装置简化原理如图所示。“抛石机”长臂的长度，短臂的长度。在某次攻城战中，敌人城墙高度，士兵们为了能将石块投入敌人城中，在城外堆出了高的小土丘，在小土丘上使用“抛石机”对敌人进行攻击。士兵将质量的石块装在长臂末端的弹筐中，开始时长臂处于静止状态，其与水平面夹角。现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，石块被水平抛出且恰好击中城墙正面与小土丘等高的P点，P点与抛出位置间的水平距离。不计空气阻力，重力加速度。 (1)求石块刚被抛出时短臂末端的速度大小v (2)求最高点时弹筐对石块竖直方向的作用力 (3)若城墙上端的水平宽度，则石块抛出时速度多大才可以击中敌人城墙顶部？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）石块抛出后做平抛运动，有 则石块抛出时的速度 长臂和短臂的角速度相同，有 代入数据解得 （2）石块转到最高点时，弹筐对石块竖直方向的作用力和石块的重力的合力提供石块做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得 解得 则最高点时弹筐对石块竖直方向作用力的大小为177N，方向竖直向下。 （3）石块击中城墙顶部时，根据公式，有 代入数据解得 石块击中城墙顶部的水平位移 抛出时初速度 代入数据解得 12．（25-26高一下·宁夏陕西·期末）如图所示，长度为的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量小物块（可视为质点），现使小物块在竖直平面内做顺时针圆周运动，当小物块运动到最低点时绳子断裂，绳断前瞬间轻绳承受的最大张力大小为，小物块飞行一段时间垂直地撞在倾角的斜面上，当地重力加速度大小，求 (1)绳断瞬间小物块的线速度大小； (2)从小物块绳断到垂直撞击斜面的过程中下落的竖直距离； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对小物块在圆周的最低点进行受力分析，应用牛顿第二定律，有 解得 （2）小物块做平抛运动，垂直打在斜面上时速度方向与竖直方向成，此时有 是小物块的竖直方向分速度，满足公式 代入数据可解得 13．（25-26高一上·浙江杭州·期末）小沈同学设计了一款益智玩具装置如图所示，动摩擦因数的水平面HB与一竖直且半径的半圆轨道BC相切于B点。C点的正下方（略低于C点）右侧放置一水平顺时针匀速转动的传送带CD，传送带转轮的大小忽略不计，一倾角为的斜面与D点和HB上的E点相连。现有一质量金属小滑块（可视为质点）从A点以水平初速度开始向B点运动，经过B点滑上竖直半圆轨道后再经C点滑上传送带，并由D点向右水平抛出。已知AB之间的距离，传送带长度，滑块与传送带间的滑动摩擦因数，重力加速度取。 (1)若滑块初速度，求滑块经过B点时对半圆轨道的压力； (2)若滑块恰好能滑上传送带，传送带的速度，滑块经过传送带的过程中会在传送带上留下划痕，求传送带上划痕的长度。 (3)若滑块恰好能滑上传送带，改变传送带速度v的大小，请通过计算确定滑块从D点水平抛出后在空中飞行的时间t与传送带速度v的关系。 【答案】(1)6，方向竖直向下 (2)0.5m (3)见解析 【详解】（1）滑块从A运动到B的过程中，由动能定理得 在B点，由牛顿第二定律得 代入数据解得 根据牛顿第三定律，滑块对半圆轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （2）滑块恰好能滑上传送带，说明滑块恰好能通过C点，由牛顿第二定律得 解得 滑块滑上传送带后，由于，滑块做匀减速运动，加速度大小 设滑块减速至与传送带共速所需时间为，则 解得 此过程中滑块的位移 恰好等于传送带长度。传送带的位移 划痕长度 （3）滑块从C点滑上传送带的初速度。D点离地高度 斜面水平长度 若滑块落在斜面上，由 得 此时需满足水平位移 解得 若滑块落在水平面上，由 得 此时 分析传送带上的运动：当时，滑块一直减速，到达D点速度 此时 当时，滑块先变速后匀速，到达 D 点速度，此时 当时，无论滑块是否达到共速，到达D点速度，滑块落在水平面上，。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $