奥数培优专题——列方程解应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初复习讲义聚焦列方程解应用题专题，涵盖和差倍、行程、工程等高频题型，通过核心解题五步法梳理、设元技巧精讲、等量关系总结及基础培优与真题拔高分层练习，帮助学生掌握正向逻辑解题方法。 亮点在于融入数学核心素养，如间接设元培养抽象能力，利用不变量构建等量关系发展模型意识，设计年龄问题设今年年龄、浓度问题抓溶质不变等针对性练习。助力学生突破复杂应用题，教师可据此精准教学，提升复习实效。

小升初奥数培优专题讲义：列方程解应用题 知识精讲 一、知识点梳理 （一）列方程解应用题核心定义 列方程解应用题是小升初奥数核心解题方法，区别于算术法逆向思维，该方法通过设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验作答的正向逻辑解题，无需复杂逆向推导，可解决绝大多数复杂奥数应用题，涵盖和差倍、行程、工程、浓度、利润等高频题型，是小升初择校、培优考试的必考重点。 （二）核心解题五步法（必考流程） 第一步：审（审题）：通读题目，梳理已知条件、未知量，找准题目中的关键描述（倍数、和差、相等、比多少、变化前后关系等），剔除无关干扰信息。 第二步：设（设未知数）：分为两种设元方法，奥数解题优先选择最优设元方式，简化计算： 1. 直接设元：题目问什么就设什么为x，适用于单一未知量、简单和差倍、基础应用题； 2. 间接设元：不直接设问题所求量，设题目中最小的标准量、不变量为x，适用于多未知量、关系复杂的奥数题（如年龄问题、多人工程、复杂倍数问题），大幅简化方程。 第三步：找（找等量关系）：这是解题核心、奥数易错关键点！等量关系是题目中隐藏的“相等式子”，所有方程均基于此列出，常见等量关系来源： ① 题目原话：“相等、一样多、总和、差值不变、比……多/少”； ② 公式定理：路程、工程、浓度、利润、几何周长面积等固定公式； ③ 不变量：年龄差不变、总人数不变、总工程量不变、溶质质量不变、总量不变（奥数高频考点）。 第四步：列&解（列方程、解方程）：根据等量关系列出一元一次方程，依据等式性质解方程，奥数中方程多为含括号、含分数、含倍数的复杂方程，需熟练掌握去括号、通分、移项、合并同类项、系数化为1的步骤。 第五步：验&答（检验、作答）：将解出的未知数代入原题，验证是否符合所有已知条件，排除不符合实际的解（如人数、长度不能为负数、小数），最后规范作答。 （三）高频设元技巧（奥数培优专用） 1. 有倍数关系：设“1倍量”为x，另一个量用倍数表示（如甲是乙的3倍，设乙为x，甲为3x）； 2. 有差值关系：优先设小数为x，大数用“x+差值”表示，避免负数计算； 3. 多个未知量且和固定：设其中一个量为x，其余量用“总和-x”或倍数关系推导； 4. 年龄问题：统一设今年年龄为x，利用“年龄差永远不变”列等量关系； 5. 浓度、利润问题：设基础量（溶液质量、成本价）为x，方便套用公式。 （四）奥数高频题型等量关系总结 1. 和差倍问题：大数+小数=和、大数-小数=差、大数=小数×倍数±差值； 2. 行程问题：路程=速度×时间、相遇路程和=总路程、追及路程差=初始距离； 3. 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间、合作效率=各效率之和； 4. 浓度问题：溶质质量=溶液质量×浓度、混合前后溶质总质量不变； 5. 盈亏问题：总数量不变、总份数不变； 6. 利润问题：利润=售价-成本、利润率=利润÷成本。 易错指引 1. 设未知数必须带单位，解方程结果无单位，最终作答带单位； 2. 找准等量关系，避免“等式左右两边意义重复或矛盾”； 3. 复杂题目不要直接设问题量，优先间接设元，简化计算； 4. 解完方程必须检验，排除不符合实际情况的解。 考点练习 基础培优1-10题（夯实核心方法） 第1题：甲数比乙数大24，甲数是乙数的4倍，求甲、乙两数各是多少？ 【详解】：本题为倍数差问题，优先设1倍量乙数为x，则甲数为4x。 根据等量关系：甲数-乙数=24，列方程：4x - x = 24 合并同类项得：3x=24，解得x=8 甲数：4×8=32 【答案】甲数32，乙数8 第2题：两个数的和是96，其中大数比小数的3倍少8，求这两个数。 【详解】：设小数为x，则大数为3x-8。 等量关系：小数+大数=96，列方程：x + (3x - 8) = 96 去括号合并：4x - 8 = 96，移项得4x=104，解得x=26 大数：3×26 -8=70 【答案】小数26，大数70 第3题：一个数的5倍减去18，等于这个数的3倍加上22，求这个数。 【详解】：设这个数为x。 等量关系：数的5倍-18=数的3倍+22，列方程：5x -18 = 3x +22 移项：5x-3x=22+18，合并得2x=40，解得x=20 【答案】20 第4题：果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的2倍，两种树各有多少棵？ 【详解】：设梨树为x棵，苹果树为2x棵。 等量关系：梨树棵数+苹果树棵数=120，列方程：x+2x=120 合并得3x=120，解得x=40 苹果树：2×40=80（棵） 【答案】梨树40棵，苹果树80棵 第5题：小明今年x岁，爸爸今年36岁，4年后爸爸的年龄是小明的3倍，小明今年几岁？ 【详解】：设小明今年x岁，4年后小明(x+4)岁，爸爸(36+4)=40岁。 等量关系：4年后爸爸年龄=4年后小明年龄×3，列方程：3(x+4)=40 去括号：3x+12=40，移项得3x=28，解得x=8 【答案】小明今年8岁 第6题：一批零件，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，两人合作几天可以完成这批零件的一半？ 【详解】：把工作总量看作单位1，甲效率1/10，乙效率1/15。设合作x天完成一半。 等量关系：（甲效率+乙效率）×时间=1/2，列方程：(1/10+1/15)x=1/2 通分计算：(3/30+2/30)x=1/2，即5/30x=1/2，1/6x=1/2，解得x=3 【答案】3天 第7题：一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，3小时到达。若提前1小时到达，每小时需要行多少千米？ 【详解】：路程不变，设提速后每小时行x千米。 总路程：60×3=180千米，新时间：3-1=2小时 等量关系：新速度×新时间=总路程，列方程：2x=180，解得x=90 【答案】90千米/小时 第8题：把浓度为20%的盐水500克，稀释成浓度为10%的盐水，需要加水多少克？ 【详解】：稀释前后溶质盐的质量不变，设加水x克。 原有盐：500×20%=100克，稀释后溶液质量：(500+x)克 列方程：(500+x)×10%=100，50+0.1x=100，0.1x=50，解得x=500 【答案】加水500克 第9题：商店一件商品进价80元，卖出后获利25%，这件商品售价多少元？ 【详解】：设售价为x元，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价。 列方程：(x-80)÷80=25%，x-80=20，解得x=100 【答案】100元 第10题：鸡兔同笼，共有头30个，脚86只，求鸡和兔各有多少只？ 【详解】：设兔有x只，鸡有(30-x)只。兔4只脚，鸡2只脚。 等量关系：兔脚总数+鸡脚总数=86，列方程：4x+2(30-x)=86 去括号：4x+60-2x=86，合并2x=26，解得x=13 鸡：30-13=17（只） 【答案】兔13只，鸡17只 真题拔高 第11题：甲、乙两个仓库共存粮480吨，甲仓库运出20%，乙仓库运进20吨，此时两仓库粮食相等。原来甲、乙各存粮多少吨？ 【详解】：设甲仓库原有x吨，乙仓库原有(480-x)吨。 甲运出20%后剩余：(1-20%)x=0.8x 乙运进20吨后：(480-x)+20=500-x 等量关系：两仓库现有粮食相等，列方程：0.8x=500-x 移项：1.8x=500？修正：0.8x+x=500，1.8x=500错误，重新计算：0.8x=500-x → 1.8x=500 修正：480+20=500，方程正确，x=500÷1.8=2500/9 错误，重新梳理： 正确方程：0.8x = (480 - x) + 20，0.8x = 500 - x，1.8x=500 计算无误，x=2500/9≈277.78（不符合整数实际，题目数据无误，分数解有效） 乙：480 - 2500/9 = (4320-2500)/9=1820/9（吨） 【答案】甲2500/9吨，乙1820/9吨 第12题：今年哥哥的年龄是弟弟的3倍，5年后哥哥的年龄是弟弟的2倍，今年兄弟二人各多少岁？ 【详解】：设今年弟弟x岁，哥哥3x岁。 5年后弟弟(x+5)岁，哥哥(3x+5)岁 列方程：3x+5=2(x+5) 去括号：3x+5=2x+10，解得x=5 哥哥：3×5=15（岁） 【答案】弟弟5岁，哥哥15岁 第13题：一批货物，每天运30吨，12天可以运完。如果每天多运6吨，可以提前几天运完？ 【详解】：货物总量不变，设实际x天运完。 总量：30×12=360吨，实际每天运30+6=36吨 列方程：36x=360，解得x=10 提前天数：12-10=2（天） 【答案】提前2天 第14题：浓度为30%的盐水400克，加入多少克浓度为10%的盐水，可以混合成浓度为25%的盐水？ 【详解】：设加入10%的盐水x克，混合前后总溶质不变。 原有溶质：400×30%=120克，加入溶质：10%x克 混合后总溶液：(400+x)克，总溶质：25%(400+x) 列方程：120+0.1x=0.25(400+x) 展开：120+0.1x=100+0.25x，移项：20=0.15x，解得x=400/3 【答案】400/3克 第15题：一项工程，甲乙合作8天完成，甲单独做12天完成，乙单独做几天完成？ 【详解】：设乙单独做x天完成，工作总量为1。 甲效率1/12，乙效率1/x，合作效率1/8 列方程：1/12 + 1/x = 1/8 移项：1/x=1/8-1/12=3/24-2/24=1/24，解得x=24 【答案】24天 第16题：一辆客车和货车同时从相距480千米的两地相向而行，4小时相遇，已知客车每小时比货车快20千米，两车速度各是多少？ 【详解】：设货车速度为x千米/小时，客车速度(x+20)千米/小时。 相遇问题：速度和×时间=总路程 列方程：4(x+x+20)=480 化简：4(2x+20)=480，2x+20=120，2x=100，x=50 客车速度：50+20=70（千米/小时） 【答案】货车50千米/小时，客车70千米/小时 第17题：商店卖出一件衣服，打八折后售价120元，这件衣服原价比进价高50%，求进价多少元？ 【详解】：先设原价为x元，0.8x=120，解得x=150元。 再设进价为y元，原价比进价高50%，列方程：y(1+50%)=150 1.5y=150，解得y=100 【答案】进价100元 第18题：有一堆苹果，分给若干小朋友，每人分5个剩12个，每人分7个缺4个，求小朋友人数和苹果总数？ 【详解】：盈亏问题，设小朋友有x人，苹果总数不变。 列方程：5x+12=7x-4 移项：2x=16，解得x=8 苹果总数：5×8+12=52（个） 【答案】小朋友8人，苹果52个 第19题：甲存款是乙的4倍，甲取出600元，乙存入150元，此时甲存款是乙的2倍，原来甲乙各存款多少元？ 【详解】：设原来乙存款x元，甲存款4x元。 变化后甲：4x-600，乙：x+150 列方程：4x-600=2(x+150) 展开：4x-600=2x+300，2x=900，解得x=450 甲原有：4×450=1800（元） 【答案】甲1800元，乙450元 第20题：一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将十位和个位数字对调后，新两位数比原两位数小36，求原两位数。 【详解】：奥数数字问题，设个位数字为x，十位数字为2x。 原两位数：10×2x + x=21x 新两位数：10x + 2x=12x 等量关系：原数-新数=36，列方程：21x-12x=36 9x=36，解得x=4 个位4，十位8，原数84 【答案】84 学科网（北京）股份有限公司 $