奥数培优专题——列方程解应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

小升初奥数培优专题：列方程解应用题

知识精讲

一、知识点梳理

列方程解应用题是小学数学向初中数学过渡的关键桥梁。其核心优势在于将逆向思维转化为顺向思维，通过引入未知数 ，使复杂数量关系变得直观清晰。

1. 基本步骤

1. 审题与设元：仔细阅读题目，找出已知量和未知量。通常设所求量为 ，但若直接设所求量导致方程复杂，可设中间量为 （间接设元）。
2. 找等量关系这是解题的关键。常见的等量关系来源包括：
   • 基本公式（如：路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间）。
   • 关键词句（如：“比...多/少”，“是...的几倍”，“相等”，“总和”）。
   • 不变量（如：年龄差不变，溶液中的溶质质量不变，两车相遇时时间相同）。
3. 列方程：用含 的代数式表示相关量，根据等量关系列出方程。
4. 解方程：运用移项、合并同类项、系数化为1等方法求解。
5. 检验与作答：将解代入原题情境检验是否符合实际意义（如人数不能为小数，时间不能为负），最后写出答案。

2. 常见题型模型

(1) 和差倍分问题

• 特征：已知两个数的和、差、倍数或分数关系。
• 策略：通常设“1倍量”或较小的数为 。
• 示例：甲乙两数和为100，甲是乙的4倍。设乙为 ，则甲为 ，方程： 。

(2) 行程问题

• 相遇问题：速度和 相遇时间 = 总路程。
• 追及问题：速度差 追及时间 = 路程差。
• 流水行船：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。
• 策略：画线段图辅助分析，抓住“时间相等”或“路程关系”列方程。

(3) 工程问题

• 特征：涉及工作总量、工作效率、工作时间。
• 策略：通常将工作总量看作单位“1”。若多人合作，效率相加。
• 方程形式： 或 。

(4) 浓度问题

• 核心公式：溶质质量 = 溶液质量 浓度。
• 策略：抓住混合前后“溶质质量守恒”或“溶剂质量守恒”列方程。

(5) 盈亏问题与分配问题

• 特征：物品分配给若干人，每种分配方案下有多余或不足。
• 策略：设人数为 ，根据物品总数不变列方程；或设物品数为 ，根据人数不变列方程。

3. 培优技巧

• 整体设元法：当题目中出现多个相关联的未知量时，可设其中一个为主要未知数，其余用该未知数表示。
• 比例转化法：若已知比例关系（如 ），可设 ，避免分数运算。
• 分段处理法：对于阶梯计价、分段行程等问题，需分段表示费用或路程，再求和。

真题拔高

【基础巩固篇】

1. 一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去7，求这个数。

 

 

【详解】
设这个数为 。
根据题意得：
移项得：


【答案】6

2. 甲、乙两数之和是84，甲数是乙数的2倍，求甲、乙两数各是多少？

 

 

 

 

 

【详解】
设乙数为 ，则甲数为 。
根据题意得：


甲数：
【答案】甲数56，乙数28

3. 小明买了一支钢笔和3本笔记本，共花了25元。已知一支钢笔的价格等于2本笔记本的价格，求钢笔和笔记本的单价。

 

 

 

 

 

【详解】
设笔记本单价为 元，则钢笔单价为 元。
根据题意得：


钢笔单价： 元
【答案】钢笔10元，笔记本5元