奥数培优专题——列方程解应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初奥数培优专题讲义聚焦列方程解应用题，旨在帮助学生掌握从审题设元到列方程求解的完整流程。通过知识梳理、题型归类、真题演练、分层练习四个环节，系统覆盖和差倍分、行程、工程等高频考点。 亮点在于注重数学思维与模型意识培养，如讲解相遇问题时引导学生画线段图构建等量关系，设计“基础巩固（如和差问题）-进阶提升（如浓度问题）-高阶培优（如盈亏问题）”的阶梯式练习。助力学生将逆向思维转化为顺向思维，教师可依托真题解析把握命题规律，提升复习针对性。

小升初奥数培优专题：列方程解应用题 知识精讲 一、知识点梳理 列方程解应用题是小学数学向初中数学过渡的关键桥梁。其核心优势在于将逆向思维转化为顺向思维，通过引入未知数 ，使复杂数量关系变得直观清晰。 1. 基本步骤 1. 审题与设元：仔细阅读题目，找出已知量和未知量。通常设所求量为 ，但若直接设所求量导致方程复杂，可设中间量为 （间接设元）。 2. 找等量关系这是解题的关键。常见的等量关系来源包括： · 基本公式（如：路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间）。 · 关键词句（如：“比...多/少”，“是...的几倍”，“相等”，“总和”）。 · 不变量（如：年龄差不变，溶液中的溶质质量不变，两车相遇时时间相同）。 3. 列方程：用含 的代数式表示相关量，根据等量关系列出方程。 4. 解方程：运用移项、合并同类项、系数化为1等方法求解。 5. 检验与作答：将解代入原题情境检验是否符合实际意义（如人数不能为小数，时间不能为负），最后写出答案。 2. 常见题型模型 (1) 和差倍分问题 · 特征：已知两个数的和、差、倍数或分数关系。 · 策略：通常设“1倍量”或较小的数为 。 · 示例：甲乙两数和为100，甲是乙的4倍。设乙为 ，则甲为 ，方程： 。 (2) 行程问题 · 相遇问题：速度和 相遇时间 = 总路程。 · 追及问题：速度差 追及时间 = 路程差。 · 流水行船：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速。 · 策略：画线段图辅助分析，抓住“时间相等”或“路程关系”列方程。 (3) 工程问题 · 特征：涉及工作总量、工作效率、工作时间。 · 策略：通常将工作总量看作单位“1”。若多人合作，效率相加。 · 方程形式： 或 。 (4) 浓度问题 · 核心公式：溶质质量 = 溶液质量 浓度。 · 策略：抓住混合前后“溶质质量守恒”或“溶剂质量守恒”列方程。 (5) 盈亏问题与分配问题 · 特征：物品分配给若干人，每种分配方案下有多余或不足。 · 策略：设人数为 ，根据物品总数不变列方程；或设物品数为 ，根据人数不变列方程。 3. 培优技巧 · 整体设元法：当题目中出现多个相关联的未知量时，可设其中一个为主要未知数，其余用该未知数表示。 · 比例转化法：若已知比例关系（如 ），可设 ，避免分数运算。 · 分段处理法：对于阶梯计价、分段行程等问题，需分段表示费用或路程，再求和。 真题拔高 【基础巩固篇】 1. 一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去7，求这个数。 【详解】 设这个数为 。 根据题意得： 移项得： 【答案】6 2. 甲、乙两数之和是84，甲数是乙数的2倍，求甲、乙两数各是多少？ 【详解】 设乙数为 ，则甲数为 。 根据题意得： 甲数： 【答案】甲数56，乙数28 3. 小明买了一支钢笔和3本笔记本，共花了25元。已知一支钢笔的价格等于2本笔记本的价格，求钢笔和笔记本的单价。 【详解】 设笔记本单价为 元，则钢笔单价为 元。 根据题意得： 钢笔单价： 元 【答案】钢笔10元，笔记本5元 4. 某班男生人数是女生人数的1.5倍，全班共有45人，求男生和女生各多少人？ 【详解】 设女生人数为 ，则男生人数为 。 根据题意得： 男生人数： 人 【答案】男生27人，女生18人 5. 父亲今年40岁，儿子今年12岁，几年后父亲的年龄是儿子年龄的2倍？ 【详解】 设 年后父亲的年龄是儿子的2倍。 此时父亲年龄为 ，儿子年龄为 。 根据题意得： 【答案】16年 考点练习 【进阶提升篇】 6. 甲乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，经过3小时相遇。已知客车每小时比货车快20千米，求两车的速度。 【详解】 设货车速度为 千米/时，则客车速度为 千米/时。 根据相遇公式： 客车速度： 千米/时 【答案】客车70千米/时，货车50千米/时 7. 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。两人合作几天可以完成这项工程？ 【详解】 设两人合作 天完成。 将工作总量看作1，甲效率为 ，乙效率为 。 根据题意得： 【答案】6天 8. 某商品按标价打八折出售，仍获利20%。若该商品进价为100元，求标价是多少？ 【详解】 设标价为 元。 售价为 元。 利润 = 售价 - 进价，且利润 = 进价 利润率。 即： 【答案】150元 9. 鸡兔同笼，头共35个，脚共94只，求鸡和兔各有多少只？ 【详解】 设兔有 只，则鸡有 只。 兔脚4只，鸡脚2只。 根据题意得： 鸡的数量： 只 【答案】鸡23只，兔12只 10. 一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，如果把十位数字和个位数字对调，得到的新数比原数小36，求原数。 【详解】 设个位数字为 ，则十位数字为 。 原数为 。 新数为 。 根据题意得： 十位数字： 原数为84。 【答案】84 【高阶培优篇】 11. 某校组织学生春游，如果每辆车坐45人，则有15人没座位；如果每辆车坐50人，则空出一辆车。求共有多少名学生？ 【详解】 设共有 辆车。 根据学生总数不变列方程： 学生总数： 人 【答案】600名 12. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度是60米/分，乙的速度是40米/分。两人在距中点100米处相遇，求A、B两地的距离。 【详解】 设经过 分钟相遇。 甲走的路程比乙多： 米（因为相遇点偏离中点100米，说明快的人多走了两个100米）。 或者利用路程差： 总距离： 米 【答案】1000米 13. 现有浓度为20%的盐水100克，要将其稀释成浓度为10%的盐水，需要加水多少克？ 【详解】 设需要加水 克。 稀释前后溶质（盐）的质量不变。 原溶质： 克。 新溶液质量： 克。 根据题意得： 【答案】100克 14. 某商店购进一批服装，按40%的利润定价，卖出80%后，剩下的打折出售。全部卖完后，实际获得的利润是原定利润的86%。问剩下的服装打了几折？ 【详解】 设进货总成本为1，总数量为1。 原定总利润为 。 实际总利润为 。 前80%的利润： 。 剩下20%获得的利润： 。 剩下20%的成本为 。 设剩下部分的售价为成本的 倍（即利润率为 ）。 即剩下部分的售价是成本的1.12倍。 原定价是成本的 倍。 折扣 = 即八折。 【答案】八折 15. 一条船顺水航行48千米需要4小时，逆水航行48千米需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度。 【详解】 设船在静水中的速度为 千米/时，水流速度为 千米/时。 顺水速度： 逆水速度： 联立方程组： 两式相加： 代入第一式： 【答案】船速10千米/时，水速2千米/时 16. 某次数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错或不做倒扣2分。小明得了79分，他做对了多少道题？ 【详解】 设小明做对了 道题，则做错或不做的有 道。 根据得分规则： 【答案】17道 17. 甲、乙、丙三数之和是100，甲数除以乙数，商5余1；丙数除以甲数，商5余1。求乙数。 【详解】 设乙数为 。 由“甲数除以乙数，商5余1”得：甲 。 由“丙数除以甲数，商5余1”得：丙 。 根据三数之和为100： 【答案】3 18. 有一个三位数，百位数字是1，如果把1移到个位上，所得的新三位数比原三位数的2倍还多15，求原三位数。 【详解】 设原三位数的十位数字为 ，个位数字为 。 原数可表示为： 。 新数（1移到个位，原十位变百位，原个位变十位）： 。 根据题意： 化简得： 由于 均为0-9的整数，左边 必为偶数，右边107为奇数，此路不通？ 重新审题：“把1移到个位上”，通常指循环移位。原数 ，新数 。 原数值： 新数值： 方程： 此处无整数解。检查题目逻辑，通常这类题是“新数比原数大...”或倍数关系不同。 修正常见题型逻辑：若题目为“新数是原数的2倍多15”，可能数字有误或理解偏差。 让我们尝试另一种理解：原数 (x为后两位)，新数 。 (非整数) 再次检查常见真题库：此类题通常为“新数比原数小”或倍数不同。 假设题目是：新数比原数的2倍少XX？或者原数百位不是1？ 鉴于这是生成任务，我们调整题目数据使其有解，以便展示方法。 调整题目：若新数比原数大，且原数百位是1。 例如：原数123 -> 新数231。 ? . 符合！ 即：新数 = 2 * 原数 - 15。 方程： 原数为123。 注：原题描述“多15”导致无整数解，此处按“少15”或调整倍数为常见有解情况演示。若必须按“多15”，则无解。为了讲义有效性，此处假定题目意图为有解情况，修正为：所得的新三位数比原三位数的2倍少15。 【详解】（基于修正后的合理逻辑） 设原数后两位组成的数为 。 原数 。 新数 。 方程： 原数为123。 【答案】123 19. 某水池有甲、乙两个进水管和一个丙出水管。单开甲管6小时注满，单开乙管8小时注满，单开丙管12小时放完。若三管齐开，多少小时能注满水池？ 【详解】 设 小时注满。 甲效率 ，乙效率 ，丙效率 （出水为负）。 通分（公分母24）： 【答案】4.8小时 20. 哥哥和弟弟现在的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这么大时，弟弟的年龄恰好是哥哥当时年龄的一半。求哥哥现在的年龄。 【详解】 设哥哥现在 岁，弟弟现在 岁。 年龄差为 。 “当哥哥像弟弟现在这么大时”，即哥哥年龄为 时，那是 年前。 那时弟弟的年龄为 。 根据题意：那时弟弟的年龄是哥哥当时年龄（即 ）的一半。 将 代入： 弟弟： 岁。 验证：哥哥18，弟弟12，差6岁。哥哥12岁时（6年前），弟弟6岁。6是12的一半。符合。 【答案】18岁 学科网（北京）股份有限公司 $