命题大赛 湖北省2025-2026学年高三下学期数学周测卷

**基本信息** 高三下数学周测卷以核心素养为导向，通过原创情境（非对称双勾函数）、实际问题（射击概率）及新定义（ε-数列），构建基础巩固到创新应用的能力梯度，适配高三复习周测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|集合、函数极值、向量、统计回归|残差图分析回归模型假设（题5）| |多选题|3|圆锥、双曲线光学性质、ε-数列|双曲线光学性质与切线方程结合（题10）| |填空题|3|抛物线、导数不等式、原创函数|k阶奇宇称双勾函数最值探究（题14）| |解答题|5|立体几何、椭圆、曲率、射击概率|曲率定义应用与零点证明（题18）、射击概率分布列（题19）|

高三下数学周测卷 一、单选题 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 3．如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的极值点与的零点完全相同，则（   ） A． B． C．1 D．2 5．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（    ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 6．已知，则（    ） A．4 B．2 C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8.已知为实数，不等式对于恒成立，求的最大值为（ ） A． B． C． D．2 二、多选题 9．已知圆锥的母线长为4，其侧面积是底面积的2倍，则（   ） A．该圆锥母线与底面所成角为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥侧面展开图的面积为 D．该圆锥侧面展开图为半圆 10．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ）附：双曲线在其上一点处的切线方程为.为坐标原点 A． B． C．作于点，则 D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 11．已知数列，其前项和为，若存在常数，对任意的，恒有，则称为－数列．则下列说法正确的是（    ） A．若是以1为首项，为公比的等比数列，则为－数列 B．若为数列，则也为数列 C．若为数列，则也为数列 D．若均为数列，则也为数列 三、填空题 12．已知拋物线，的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点．若，则四边形的周长为 ． 13．已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 . 14．（原创）已知为非对称双勾函数，k为非对称双勾函数的阶数。当且k为奇数时，为k阶奇宇称非对称双勾函数；当且k为偶数时，为k阶偶宇称非对称双勾函数.设点在k阶奇宇称非对称双勾函数的图像上，且分别位于第一、三象限，|PQ|k表示线段PQ在k阶奇宇称非对称双勾函数的长度，在不同阶数k下分别求线段PQ的最小值，并将此时点P的横坐标记录下来，形成数列{ak}(且k为奇数)，则ak的取值范围是 . 四、解答题 15．如图，圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且. (1)证明：平面平面； (2)若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图，内一点满足. (1)若，求的值； (2)若，求的长. 17．已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 18．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率． (1)已知函数，求曲线在处的曲率的值； (2)已知函数，求曲线在点处的曲率的最大值； (3)对（2）中的，记，证明：在区间上有且仅有2个零点． 19．2024年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习. (1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有发子弹，甲每次打靶的命中率均为，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射 击相互独立且均随机，在进行次射击后，记弹巢中空包弹的发数为， ①当时，请直接写出数学期望与的关系； ②求出关于的表达式. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2026学科网命题大赛 数学学科命题多维细目表 考试时长 120分钟 考试范围 高考 命题团队信息 程敏 难度系数 0.65 小题编号 主客观题 题型 满分值 难度 预计得分 知识/专题板块* 知识点 学科素养指向* 1 客观 单选 5 0.96 4.8 集合 集合的运算 数学运算 2 客观 单选 5 0.96 4.8 复数 复数的运算 逻辑推理，数学运算 3 客观 单选 5 0.9 4.5 平面向量 向量的线性表示 逻辑推理，数学运算 4 客观 单选 5 0.9 4.5 三角函数 三角函数的零点极值点 逻辑推理，数学运算 5 客观 单选 5 0.85 4.25 统计 残差图 逻辑推理，数学建模 6 客观 单选 5 0.85 4.25 三角函数 三角恒等变换 逻辑推理、数学运算 7 客观 单选 5 0.5 2.5 不等式 比较大小 逻辑推理、数学运算 8 客观 单选 5 0.4 2 函数与导数 双参数最值问题 逻辑推理，数学运算 9 客观 多选 6 0.9 5.4 立体几何 圆锥表面积体积 逻辑推理，数学运算 10 客观 多选 6 0.4 2.4 圆锥曲线 双曲线的性质 数学抽象，逻辑推理，直观想象，数学运算 11 客观 多选 6 0.3 1.8 数列新定义 数列的综合运用 逻辑推理，数学运算 12 主观 填空 5 0.9 4.5 圆锥曲线 抛物线的性质 逻辑推理，数学运算 13 主观 填空 5 0.6 3 函数的性质 函数与不等式 直观想象、数学运算 14 主观 填空 5 0.2 1 导数 导数的应用 数学抽象、逻辑推理、数学运算 15 主观 解答题 13 0.8 10.4 立体几何 面面垂直，线面角 直观想象、数据分析、数学运算 16 主观 解答题 15 0.8 12 解三角形 求三角形的角度与边长 逻辑推理、数学运算 17 主观 解答题 15 0.75 11.3 解析几何 椭圆中证明平行 逻辑推理，数学运算 18 主观 解答题 17 0.45 7.65 三角函数与导数 新定义解零点问题 逻辑推理、数学运算 19 主观 解答题 17 0.35 6 概率 概率的综合运用 逻辑推理，数学运算，数学抽象 $ 《高三下数学周测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A C B A C B B ABD BCD ACD 1．B 【分析】根据对数函数的单调性以及幂函数的定义域，可得集合的元素，即可得答案. 【详解】由， ， 则. 故选：B. 2．A 【分析】根据复数除法运算、共轭复数、复数的模等知识求得正确答案. 【详解】， 所以. 故选：A 3．C 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 4．B 【分析】根据的极值点、的零点相同列方程，由此求得. 【详解】， 由，得①， 对于， 由，得， 依题意，所以②， 由于函数的极值点与的零点完全相同， 对比①②可得. 故选：B 5．A 【分析】根据已知残差散点的分布图，结合一元线性回归模型中对随机误差的假定的含义，即可判断答案. 【详解】对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设； 对图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设. 故选：A. 6．C 【分析】根据，由两角和差的正弦公式化简，再利用商数关系化弦为切，结合已知即可得解. 【详解】 . 故选：C. 7．B 【分析】构造函数，，根据函数的单调性得到，构造函数，根据单调性得到，从而得到. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 所以， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 所以， 故选：B. 8. B 方法1：几何法，切线 设切点（x0,2eX0）,则y-2eX0 = 2eX0(x-x0) 求max 方法2：固定变量 为极大值点 方法3：必要性探路 令 当取到 此时，与的切线斜率相同 即可求导，则 下面只需验证： 即由，易得 9．ABD 【分析】设圆锥底面半径，然后得到底面面积和周长，从而表示出侧面面积，由题意建立方程解得底面半径.然后由母线和底面半径求出母线与底面夹角；由母线与底面夹角的正弦值求出圆锥的高，从而求出体积；由公式求出侧面面积；由侧面面积与以母线为半径的圆的面积关系得到侧面展开图是否是半圆. 【详解】设圆锥底面半径为， 则底面面积，底面周长， ∴侧面面积， 由题意得，即，即， 设该圆锥母线与底面所成角为，则，即，A选项正确； 则该圆锥的体积，B选项正确； 侧面面积，C选项错误； 侧面面积，所以该圆锥侧面展开图为半圆，D选项正确. 故选：ABD. 10．BCD 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 11．ACD 【分析】根据给定条件，利用－数列的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，， ，A正确； 对于B，若，则数列是数列，， 但，数列不是数列，B错误； 对于C，数列是数列，即存在正数，对于任意的， 有，即， 则 ，数列是－数列，C正确； 对于D，若数列是－数列，则存在正数，对任意的， 有，， 则， 同理，记，则有 ， ，因此数列也是数列，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握数列的定义. 12．12 【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式结合抛物线方程代入计算，即可得到的纵坐标，即可得到结果. 【详解】设，则，将坐标分别代入， 可得，即，所以， 由焦半径公式可得，， 由可得，即，所以， 所以， 又，则， ， 所以四边形的周长为. 故答案为： 13． 【分析】构造函数，确定其单调性，转换成，进而可求解； 【详解】设，则， 所以在上是增函数， 不等式可化为， 即，所以，解得. 故答案为： 14． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，四边形为平行四边形，从而得到，根据平面可得平面，从而得到需求证的面面垂直. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出及平面的法向量后可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取中点，由题意，， 又，故.（1分） 又，故， 所以四边形为平行四边形，则.（3分） 由平面，故平面， 又面，故平面平面. （6分） （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：，（8分） 故 设平面的法向量 而， 故，令，得（11分） 设所求角的大小为，则.（13分） 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先利用勾股定理求出 ，再利用余弦定理求出 ，利用同角三角函数基本关系式求出，最后利用两角差的正弦公式计算即可 （2）设 ，在与采用余弦定理与正弦定理，然后利用与的关系列出关于 的方程，解出 即可 【详解】（1），此时. 在中，，（2分） 又，故（4分） 所以 （7分） （2）设，在中，.（9分） 在中，，代入得：.（11分） 又，故.（13分） 即，解得：，所以.（15分） 17．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可； （2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解. 【详解】（1）依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，（2分） 所以，即，则， 所以椭圆的方程为.（4分） （2）因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则，        易得，则直线的方程为，（5分） ，则直线的方程为，（6分） 联立，解得，即，（8分） 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即，（10分） 又，则，， 所以 ，（14分） 又，即， 显然，与不重合，所以.（15分） 18．(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，根据题设的定义求； （2）根据定义可得，应用换元法及导数求右侧的最大值； （3）由题设有，应用分类讨论研究其符号，进而确定对应区间的单调性，结合零点存在性定理确定零点个数，即可证结论. 【详解】（1）由题设， 所以．（4分） （2）， 所以，（5分） 所以，（6分） 令，则， 设，则，（7分） 显然当时，单调递减， 所以，即的最大值为1， 所以的最大值．（9分） （3）由，所以， ①当时，因为，则， 所以在上单调递增，又， 所以在上仅有1个零点．（11分） ②设，则， 当时，单调递增，所以， 故当时，，，所以， 所以在上恒成立，在上无零点．（14分） ③当时，， 所以在上单调递减，又， 所以在上仅有1个零点． 综上所示，在区间上有且仅有2个零点．（17分） 19．(1)分布列见解析，数学期望为； (2)①；②. 【分析】（1）根据给定条件，求出的所有可能值，再求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答. （2）①按第次射出是空包弹和实弹求出对应的概率及空包弹数，进而求出即可；②利用构造法求出数列的通项公式作答. 【详解】（1）依题意，的所有可能取值为， ，， 所以的分布列为 0 1 2 … … 的数学期望， 显然， 两式相减得 ， 所以.（5分） （2）①第次射击后，包含两种情况：第次射出空包弹和第次射出实弹， 第次射击前，剩余空包弹的期望是， 若第次射出空包弹，则此时对应的概率为，因为射击后要填充一发空包弹，则此时空包弹的数量为， 若第次射出实弹，则此时对应的概率为，此时空包弹的数量为， 所以.（10分） ②当时，弹巢中有发空包弹，即， 由，得， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，而当时，满足上式， 所以.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $