命题大赛 湖北2026届高三数学下学期二轮复习阶段测试（人教版A版选择性必修第一册 函数与导数）

**基本信息** 聚焦函数与导数核心内容，通过原创情境（如教师用户增长模型、曼哈顿距离）与分层设计，强化数学思维（推理、运算）与创新应用能力，适配高三二轮专题突破需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|函数性质、导数应用、图像识别|第3题以用户增长为情境，考查指数函数模型应用| |多项选择|3/18|极值、恒成立问题、分段函数|第11题原创分段函数题，结合零点与最值考查逻辑推理| |填空题|3/15|函数求值、曲线交点、新定义|第14题“曼哈顿距离”新定义，检测数学语言表达能力| |解答题|5/77|单调性、零点、中值定理|第19题结合罗尔定理历史背景，考查数学思维严谨性与应用|

高三二轮复习大单元章节检测卷 函数与导数 参考答案与解析 一、单项选择题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D C C D D B 1.【答案】D  【解析】解：由题意，， 从而，解得 故选： 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查对数与对数运算，属于基础题. 由得，结合对数的运算可得，即可得结果. 【解答】 解：由得， 故选 3.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查利用指数函数模型解决实际问题，属于基础题. 根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果. 【解答】 解：由题设，可得， 所以，则， 故， 所以教师用户超过20000名至少经过12天. 故选：D 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查函数图象的识别，涉及函数的定义域、奇偶性的分析，属于基础题． 根据题意，先求出函数的定义域，排除AB；再分析函数的奇偶性，排除D，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，，有，解可得：且，即函数的定义域为且，排除 又由，知函数为偶函数，排除D， 故选 5.【答案】C  【解析】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，依题意可得： ，得， 因为，所以，所以， 所以圆柱的体积， 设， 则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以当，函数取到最大值， 此时， 即当时，圆柱的体积V取得最大值， 为； 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查分段函数的单调性，属于基础题. 分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【解答】 解：显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得 故选：D 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查利用导数比较大小. 构造函数，利用导数判断出其单调性，即可比较，构造函数，，即可比较，即可得解. 【解答】 解：，， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即，所以， 令， 则， 所以在上单调递减， 所以，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以，即， 综上所述， 故选： 8.【答案】B  【解析】8解析依题意可知， 所以，即， 因此，即， 所以可得，即是以4为周期的周期函数， 对于A，由分析可知，即A错误; 对于B，由，可知; 显然，所以f，所以，即B正确; 对于C，易知f，可得C错误; 对于D，显然，即D错误.故选 二、多项选择题 答案速查 9 10 11 ACD BCD ACD 9.【答案】ACD  【解析】9解析因为，所以 因为在R上是增函数，故，所以A符合题意; 当，时，显然符合，但是不成立，所以B不符合题意; 因为在R上是增函数，所以，所以C符合题意; 由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为R上的单调递增函数，由可得，故，所以D符合题意. 故选 10.【答案】BCD  【解析】解：对于A，当时，， 则，函数在R上单调递增， 此时不是的极值点，故A错误； 对于B，当时，， 则， 当时，， 则在区间上单调递减，故B正确； 对于C，因为， 所以令，可得，解得， 所以，解得， 所以， 则，符合题意. 设， 则 ， 同理可得， 因为，所以， 则成立，故C正确； 对于D，， 令，得或 ①当，即时，由A可得函数在R上单调递增， 则的解集为，符合题意； ②当，即时， 设， 由穿根法可得时，时， 所以的解集为，符合题意； ③当，即时， 令，得或，函数单调递增； 令，得，函数单调递减， 所以的极大值为，极小值为 ， 由穿根法得，要关于x的不等式的解集为， 则，即，解得 综上所述，，故D正确. 故选：BCD 11.【答案】ACD  【解析】11解析由题意可知，当，时，有，故A正确; 当，时，有， 又因为，所以有，故B错误; 当时， 当时，由于，，，，，所以， 作出分段函数和函数的大致图象如图. 由于，直线经过点，而函数的图象不经过点， 则由图象可得，它们只有5个交点，即在上恰有5个零点，故C正确; 根据当时，由于，，…， 要满足对N，在区间有最大值， 则只需要在上存在最大值， 即满足， 解得，故D正确. 故选 三、填空题 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的性质应用，涉及函数值的计算，属于基础题． 根据题意，由函数的解析式求出的表达式，分析可得，结合 的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，函数， 则， 则， 若， 则， 故答案为： 13.【答案】  【解析】13解析 令，得 令，，则 由，得当时，，单调递减;当时，，单调递增. 又，，曲线与在上有两个不同的交点等价于与有两个不同交点， 14.【答案】 ;   【解析】14解析设曲线上与直线平行的切线的切点坐标为， 则，解得，所以切点为，， 即切线方程为，即， 则的最小值为直线与直线间的距离， 即 设，， 则， 将看成关于的函数，则在或时，取得最小值， 当时，令， 则，令，解得， 当0，时，，函数单调递减， 当，时，，函数单调递增， 所以时，， 即 当时，则，令， 则，令，解得， 当，时，，则函数单调递减， 当，时，，则函数单调递增， 当时， 综上， 四、解答题 （完整解题过程） 15.【答案】解：当时，，的定义域为R， 当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，·········3分 所以在处取得极大值，也取得最大值，最大值为 ·········5分 ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，符合题意.·········7分 ②当时，，当时，，当时，， 所以在R上单调递减，此时无极值，不符合题意.·········9分 ③当时，令，解得，， 当时，，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为， 令，则， 设，则， 所以在上单调递增，则由，得， 即，所以·········11分 ④当时，当时，，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为，符合题意.故m的取值范围为  ·········13分 【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16. 【答案】解：当时，， ， ， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即；·········4分   的定义域为，    ， ⅰ若，则，所以在单调递减.  ·········6分  ⅱ若，则由得 当时，；当时， 所以在单调递减，在单调递增.  综上，当时，在上单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增.·········9分  ⅰ若，由知，至多有一个零点，不满足条件； ⅱ若，由知，当时， 取得最小值，最小值为·········11分  ①当时，由于，故只有一个零点，不满足条件； ②当时，由于，即，故没有零点，不满足条件； ·········13分  ③当时，，即， 又， 所以在上有一个零点， 设正整数满足，则，， 则， 因为，所以在上有一个零点， 所以若有两个零点，m的取值范围为 ·········15分  【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，函数的零点，属于较难题. 根据导数的几何意义求解即可； 对m进行分类讨论，结合导数与函数单调性的关系，得出答案； 对m进行分类讨论，研究各区间内函数零点的个数，得出答案. 17.【答案】解：当时，，， 曲线在处切线的斜率为， 又，切线方程为， 即曲线在处的切线方程为·········5分  若有两个零点，，则，， 得·········6分   ，令，则， 故，·········7分  则，·········8分  ，·········9分  令，则，·········10分  令，则，·········12分  在上单调递增， ，  ，则在上单调递增， ，，·········13分  故 ·········15分  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】18解，0，， ，，令，则 在区间0，上单调递增，在区间上单调递减， ·········4分  证明假设，都有 函数在区间上单调递减，必有Z 则，且，解得且，a无解，则假设不成立， 必然存在，使得 ········8分  解，，是以为周期的偶函数. 由进一步可得在区间0，上单调递增，在区间上单调递减，在区间，上单调递增，，由对称性和周期性可知 ·········10分  令， 当时，，此时， ·········13分  当时，由可知，，，使得， 此时 ·········15分  即，即 综上所述，b的最小值为 ·········17分    19.【答案】19证明，， ，在内处处可导， 又在上的图象是连续不断的曲线， 由罗尔定理，，使·········4分  证明，， ·········6分  设，则 ，·········7分  在内处处可导， 又在上的图象是连续不断的曲线，由罗尔定理，，使得， 在上单调递增， 存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得·········9分  解设， 则在内有零点， 设为的一个零点，且， ，又，， 由已知，在和上的图象都是连续不断的曲线， 又，·········11分  在及上分别处处可导. 由罗尔定理知，至少存在一个，使得，至少存在一个，使得，在上至少有两个不相等的实数根， 设，，则 ，， 当，即时，，在内单调递增， 在内至多有一个实根，不符合题意.·········13分  当，即时，，在内单调递减， 在内至多有一个实根，不符合题意. 当，即时， 由，得，且， 当0，时，，单调递减; 当，1时，，单调递增， 在上的最小值.·········15分  ， 在内至少有两个不等实根， 解得， 又，， 的取值范围是·········17分    第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二轮复习大单元章节检测卷 函数与导数 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张显钊 ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3. 非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作答。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知函数，则(    ) A. B. C. 1 D. 2 2.已知，则    A. B. C. D. 3.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中k为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为   参考数据： A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4.函数的大致图象可能是(    ) A. B. C. D. 5.已知某圆柱的表面积为，则该圆柱的体积的最大值为  A. B. C. D. 6.已知函数在R上单调递减，则a的取值范围是   A. B. C. D. 7.设，，，则下列关系正确的是    A. B. C. D. 8.已知定义域为R的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则下列选项正确的是(    ) A. B. C. f D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9.已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是(    ) A. B. C. D. 10.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 是的极值点 B. 当时，在区间上单调递减 C. 若恒成立，则 D. 若关于x的不等式的解集为，则 11原创题已知定义在R上的函数，当时，Z，且当时，，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 若，则 C. 若，则在上恰有5个零点 D. 若，在区间有最大值，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知函数，若，则          . 13.曲线与在上有两个不同的交点，则a的取值范围为           . 14.原创题在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为例如点，的“曼哈顿距离”为已知点M在直线上，点N在函数的图象上，则的最小值为           ，的最小值为            四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.已知函数 若，求的单调区间及最大值; 若存在极大值点，且极大值小于，求m的取值范围. 16.已知函数 当时，求曲线在点处的切线方程; 讨论的单调性; 若有两个零点，求m的取值范围. 17.已知函数， 当时，求曲线在处的切线方程; 若有两个零点，，且，证明： 18. 分课本改编题题 新高考Ⅰ，求函数在区间0，的最大值; 给定和R，证明：存在使得 设R，若存在使得对R恒成立，求b的最小值. 19.分山东泰安模拟法国数学家米歇尔罗尔于1691年在他所著的《方程的解法》中，提出了确定多项式方程的根的位置的一种方法，后人把它推广到是一般的可导函数的情形，最终发展为罗尔定理，即若函数在上的图象是连续不断的曲线，在内处处可导导函数存在，且，则至少存在一个实数，使得罗尔定理是三大微分中值定理之一，在数学、物理、工程和经济学等领域有着广泛的应用. 已知函数R的图象是连续不断的曲线，试用罗尔定理证明：，使 已知函数的图象是连续不断的曲线，设的导数为，，为图象上的两点，，直线AB的斜率为k，试用罗尔定理证明：存在唯一实数，使 若方程在内有解，求实数m的取值范围.的面积最小，最小面积是多少? 高三年级数学试卷 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 高三二轮复习大单元章节检测卷 函数与导数 命题双向细目表 年级：高三 模块：人教版 A 版选择性必修第一册 函数与导数考试时间：120 分钟 满分：150 分 命题人：张显钊 （注：能力要求：Ⅰ 抽象概括 Ⅱ 推理论证 Ⅲ 运算求解 Ⅳ 空间想象 Ⅴ 数据处理 Ⅵ 应用与创新；核心素养：①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析） 题号 题型 准确考试内容 分值 数学核心素养 了解 理解 掌握 运用 难度系数 平均分估算 1 单选题 导数的基本运算（常数导数与求导法则，代入求值） 5 ⑤数学运算 √ 0.75 3.8 2 单选题 对数的换底公式与运算性质（已知对数式求目标对数） 5 ⑤数学运算 √ 0.7 3.5 3 单选题 指数函数增长模型与对数运算（实际应用问题） 5 ③数学建模、⑤数学运算 √ 0.65 3.3 4 单选题 函数的图象识别（奇偶性、定义域、特殊点与单调性分析） 5 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.6 3 5 单选题 圆柱的表面积与体积公式，导数求最值（几何最值问题） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.55 2.8 6 单选题 分段函数的单调性（二次函数、指数与对数函数单调性综合） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.52 2.6 7 单选题 利用导数构造函数比较大小（三角函数、对数函数与分式比较） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.45 2.3 8 单选题 函数的奇偶性与周期性综合（推导周期并计算函数值） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.4 2 9 多选题 指数函数单调性与不等式恒成立（幂函数、构造函数比较大小） 6 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.62 3.7 10 多选题 导数与函数的极值、单调性及对称性（三次函数性质综合） 6 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.58 3.5 11 多选题 分段函数的缩放性质（零点个数、最值与参数范围） 6 ①数学抽象、②逻辑推理、④直观想象 √ 0.4 2.4 12 填空题 函数的奇偶性与对数运算（利用奇偶性求函数值） 5 ①数学抽象、⑤数学运算 √ 0.72 3.6 13 填空题 函数的零点与导数应用（两曲线交点问题转化为函数零点） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.65 3.3 14 填空题 导数的几何意义与曼哈顿距离（反函数性质与创新距离最值） 5 ③数学建模、④直观想象、⑤数学运算 √ 0.35 1.8 15 解答题 导数与函数的单调性、极值（含参极大值问题讨论） 13 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.55 7.2 16 解答题 导数的几何意义、单调性与零点问题（指数型函数含参讨论） 15 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.5 7.5 17 解答题 导数的几何意义与零点不等式证明（双零点比值型不等式） 15 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.45 6.8 18 解答题 三角恒等变换与导数求最值（2025 新高考 Ⅰ 卷改编） 17 ②逻辑推理、④直观想象、⑤数学运算 √ 0.38 6.5 19 解答题 罗尔定理的理解与应用（存在性证明与方程有解问题） 17 ①数学抽象、②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.3 5.1 $