命题大赛 湖北2026届高三数学下学期二轮复习阶段测试（人教A版必修第一册第五章-第六章三角函数、平面向量与解三角形）

**基本信息** 聚焦三角函数、平面向量与解三角形，融入原创向量题、《数书九章》文化情景及养殖收益应用，适配二轮专题复习，强化知识综合与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量数量积、解三角形、三角函数性质|如第3题以平行四边形为背景考查向量线性运算，体现几何直观| |多项选择|3/18|三角函数图像变换、三斜求积术|第11题结合《数书九章》文化情景，培养数学眼光与文化传承意识| |填空题|3/15|三角函数最值、测量距离应用|第13题通过测量河对岸距离，考查解三角形实际应用，发展应用意识| |解答题|5/77|解三角形综合、收益最值模型|第17题以养殖网箱收益为背景，构建三角函数模型求最值，强化数学思维与问题解决能力|

Sheet1 高三二轮复习大单元章节检测卷 三角函数、平面向量与解三角形 命题双向细目表 年级：高三 模块：人教版必修第一册 第五章（三角函数）、第六章（平面向量及其应用）考试时间：120 分钟 满分：150分 命题人：张显钊 （注：能力要求：Ⅰ 抽象概括 Ⅱ 推理论证 Ⅲ 运算求解 Ⅳ 空间想象 Ⅴ 数据处理 Ⅵ 应用与创新；核心素养：①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算 ⑥数据分析） 题号 题型 准确考试内容 分值 数学核心素养 了解 理解 掌握 运用 难度系数 平均分估算 1 单选题 平面向量数量积运算（已知向量模长求数量积，利用模长平方公式） 5 ⑤数学运算 √ 0.78 3.9 2 单选题 余弦定理直接应用（已知三角形三边求内角） 5 ⑤数学运算 √ 0.75 3.8 3 单选题 平面向量线性运算与三点共线（平行四边形中向量分解，求系数和） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.65 3.3 4 单选题 余弦函数的奇偶性与平移变换（已知平移后为偶函数求相位 φ） 5 ①数学抽象、⑤数学运算 √ 0.7 3.5 5 单选题 正弦函数的对称性与单调性综合（已知对称轴和单调区间求 ω） 5 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.55 2.8 6 单选题 角平分线定理与解三角形（已知两边及夹角求角平分线长度） 5 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.6 3 7 单选题 同角三角函数基本关系 + 向量垂直条件（已知三角函数关系求 λ） 5 ⑤数学运算 √ 0.52 2.6 8 单选题 三角函数 y=Asin (ωx+φ) 解析式求解（结合向量数量积条件） 5 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.4 2 9 多选题 同角三角函数关系、二倍角公式、诱导公式综合应用 6 ①数学抽象、⑤数学运算 √ 0.62 3.7 10 多选题 三角函数和差化积公式、图像变换与性质综合 6 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.58 3.5 11 多选题 正弦定理 + 三斜求积术（海伦公式）综合应用（创新情景题） 6 ③数学建模、⑤数学运算 √ 0.6 3.6 12 填空题 辅助角公式与三角函数最值（已知最大值点求正切值） 5 ⑤数学运算 √ 0.72 3.6 13 填空题 解三角形的实际应用（测量河对岸两点间距离） 5 ③数学建模、⑤数学运算 √ 0.65 3.3 14 填空题 三角函数图像与零点问题（结合导函数图像，求零点和） 5 ④直观想象、⑤数学运算 √ 0.45 2.3 15 解答题 平面向量数量积坐标运算 + 解三角形（判断三角形形状、求面积最大值） 13 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.55 7.2 16 解答题 正弦定理 + 余弦定理 + 角平分线综合（求角、求角平分线长度） 15 ②逻辑推理、⑤数学运算 √ 0.5 7.5 17 解答题 解三角形的实际应用（经济收益最值问题，三角函数求最值） 15 ③数学建模、⑤数学运算 √ 0.45 6.8 18 解答题 三角函数和差化积公式的证明与几何应用（外接圆背景） 17 ②逻辑推理、④直观想象 √ 0.38 6.5 19 解答题 解三角形综合压轴（求角、求三角形周长、面积最值） 17 ②逻辑推理、③数学建模、⑤数学运算 √ 0.3 5.1 $ 高三二轮复习大单元章节检测卷 三角函数、平面向量与解三角形 参考答案与解析 1、 单项选择题 答案速查 （本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 D A A A A D C C 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题．将平方，再将向量，的模代入求解即可. 【解答】 解：因为，所以，解得故选： 2.【答案】A  【解析】2解析在中，由余弦定理得，又，所以故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查平面向量基本定理的应用，属于中档题. 根据和三点共线，可得和，利用平面向量线性运算可用表示出，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【解答】 解：连接AF，AC， 三点共线，可设，则， ； 三点共线，可设，则， ； ，解得：， ，即故选： 4.【答案】A  【解析】解：为偶函数，的图象关于直线对称. ，，，故选： 5.【答案】A  【解析】解：函数图象关于对称，说明在时成立，解得：， 函数在上单调递增，说明在该区间内满足正弦函数的单调递增条件， 所以且， 则当时，，解得：，结合和，得到； 将代入原函数，得到，则故选： 6.【答案】D  【解析】解：在中，， 由余弦定理得， 所以，所以，则为直角三角形，所以， 如图所示，设，因为，可得，即，解得，所以故选： 7.【答案】C  【解析】7解析因为，，显然，，，均不为0，所以，即，所以，所以 因为向量m与向量n互相垂直，所以mn则，又，解得，2=10故选 8.【答案】C  【解析】8解析设函数的最小正周期是 由题图可知，则，所以， 所以， 由，得，Z，即，Z， 因为，所以，则. 又，则C0，，又，，5，， ，解得负根舍去，所以，所以故选 2、 多项选择题 答案速查（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9 10 11 ACD BC ABD 9.【答案】ACD  【解析】9解析对于 A，，又为锐角，则，则，即，所以，则的终边经过点，故A正确; 对于B，因为，所以，又为锐角，所以，则，则，故B错误; 对于C，，又，则，则，故C正确; 对于D，，故D正确.故选 10.【答案】BC  【解析】解：因为， 所以， 的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错误； 因为，所以是的图象的一条对称轴，故B正确； 当时，，所以的值域为，故C正确； 当时，，当时，单调递减， 当时，单调递增，在区间上不单调，故D错误.故选： 11.【答案】ABD  【解析】11解析在中，由及正弦定理，得， 设，，，则，解得，于是，， 对于A，的周长为，所以A正确; 对于B，由余弦定理得，而，则，，所以，所以B正确; 对于C，由正弦定理得外接圆的直径，即，所以C错误; 对于D，由，得，所以D正确.故选 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查诱导公式的应用，属于中档题. 根据公式得到，其中，再利用诱导公式即可得到答案. 【解答】解：，其中， 因为时，y最大，所以，，即， 则故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了解三角形的实际应用，属于基础题. 根据已知求出，，在中利用正弦定理求解．  【解答】 解：由已知画出图可得，为等腰直角三角形，所以， 由，知A、B、C、D四点共圆，所以，中，由正弦定理可得，解得.故答案为 . 14.【答案】  【解析】解：因为在区间上，两个函数图象均为正值，则原函数在区间上单调递增， 因此最大值为的函数图象是原函数的图象， 由及，得，解得， 于是，由，得，即，， 而，则，因此， 依题意，在上的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 观察图象知，，，所以故答案为： 四、解答题 （本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（满分13分）【答案】解：依题意 ，·········2分 又因为， 所以 ，， ，·········4分 在中，由余弦定理可得：， 将，代入得：， 解得， 此时， 故，时为直角三角形；·········6分 由余弦定理可得，·········8分 ， 即，当且仅当时取等号，·········10分 ，当且仅当时取等号，·········12分（取等条件给2分） 的面积最大值为 ·········13分 16.【答案】解：根据题意，中，因为，， 所以由正弦定理得：， 由余弦定理得：， 即，·········3分 又，所以·········7分 由余弦定理知，，·········10分 由知，，·········13分 即． ·········15分 【解析】本题考查正、余弦定理、三角形面积公式与同角三角函数关系式，考查逻辑推理能力和运算能力． 利用正弦定理将已知等式中的角化边，再结合余弦定理，得解； 由余弦定理知，可得，结合，即可解答． 17. 【答案】17.解在中，由余弦定理，得，即岸线上点A与点B之间的直线距离为千米. ·········5分 在中，， 则， ·········7分 . ·········9分 设两段网箱获得的经济总收益为y万元，则. ·········12分 因为0，，所以，所以， ·········14分 所以两段网箱获得的经济总收益最高为万元. ·········15分 18.【答案】18.证明由题意得，， ， ·········2分 两式相加得， ·········5分 由题意得，线段AB的中点M的坐标为，. 如图，过点M作垂直于x轴，交x轴于点，则， 在中，， 在中，， 所以，即 ·········10分 设，，，则，， 所以 ·········12分 在中，由正弦定理，得，所以 在中，由正弦定理，得，所以， 所以， ·········15分 由式，得 ·········17分 19.【答案】19.解因为，由正弦定理可得， 又，所以，则，又，所以 ·········2分 因为，由余弦定理可得，即， 由正弦定理可得， 所以， 则， 所以， 即，即，即， ·········4分 又0，，所以，所以，则 ·········5分 ①由可知， 因为，由正弦定理得，所以，， 在中，由余弦定理可得，则 ·········7分 因为，所以，因为，所以 所以，所以的周长为 ·········10分 ②设， 在中， 由正弦定理得，得， ·········12分 又在中，由正弦定理可得，得， 所以 ， ·········15分 所以当且仅当，即时，的面积取最小值，为 ·········17分 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三二轮复习大单元章节检测卷 三角函数、平面向量与解三角形 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：张显钊 ☆祝考试顺利☆ 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3. 非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上作答。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知向量，满足，，，则  A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2.在中，，，，则(    ) A. B. C. D. 3.如图，在平行四边形ABCD中，，与DF交于点设，，若，则    A. B. C. D. 4.已知函数，若为偶函数，则的值为    A. B. C. D. 5.若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则    A. B. C. D. 6.在中，，的平分线交BC于D，则     A. B. C. D. 7.（原创）已知，，若向量m与向量n互相垂直，则2(    ) A. B. C.10 D. 8.已知函数，，的部分图象如图所示，的图象与y轴交于点C，，，且，则(    ) A. 4 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9.已知为锐角，若，则下列说法正确的有(    ) A. 的终边经过点 B. C. D. 若，则 10.已知函数，则下列说法正确的是    A. 的图象可由的图象向右平移个单位得到 B. 是的图象的一条对称轴 C. ，的值域为 D. 在区间上单调 11.（创新情景题）《数书九章》是中国古代著名的数学著作，其中在“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实;一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是(    ) A. 的周长为 B. 三个内角A，B，C满足 C. 外接圆的半径为 D. 的中线CD的长为 三、填空题 12.在时取到最大值，则          . 13.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40m的C、D两点，测得，，，，则AB的距离是           14.已知函数及其导函数的图象如图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，且，则          . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.（13分）已知，，，a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，且 若，，判断的形状. 若，求的面积最大值. 16.（15分）在中，角，，的对边分别为，，，． 求； 若，，点在边上，且，求的长． 17.分某养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，AO，OB为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段，过上一点P按线段PA和PB修建养殖网箱，已知 求岸线上点A与点B之间的直线距离; 如果线段PA上的网箱每千米可获得2万元的经济收益，线段PB上的网箱每千米可获得4万元的经济收益.记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元? 18.分证明： 当时，利用所给图形证明中等式; 如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过点D作于点M，利用中等式，证明： 题图 题图 19.（原创题）分在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且， 求角C 已知，设M，N为线段AB上的两个动点靠近点，且 ①若，求的周长; ②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少? 高三年级数学试卷 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $