空间几何体的结构训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以空间观念为核心，通过概念-表示-度量的逻辑链条系统梳理几何体结构，融合直观图画法与表面积体积计算，突出几何直观与推理意识的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|多面体/旋转体/直观图/表面积体积|结构特征归纳、斜二测画法步骤、度量公式推导|从定义到结构特征，再到直观表示与度量计算，形成完整认知链| |巩固练习|单选8/多选3/填空3/解答5|直观图面积转化、组合体体积计算、球的切接问题|覆盖高频考点，通过典例强化空间想象与逻辑推理，衔接数学文化（祖暅原理）|

空间几何体的结构 学校:___________姓名：___________班级：___________ 1、 思维导图 2、 知识清单 （1） 多面体 定义 图形 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 （2） 旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 （3） 直观图 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点. 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图面积是直观图面积的倍；②直观图面积是原图面积的倍. （4） 表面积和体积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 棱柱 (c为底面周长) 棱锥 (c为底面周长) 棱台 (分别为上、下底面周长) 圆柱 圆锥 圆台 球 3、 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆柱表面积的有关计算 【详解】由已知圆柱的底面半径为，高为， 则圆柱的表面积． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】根据水升高部分的体积就是球的体积可得结果. 【详解】金属球的体积为． 圆柱形水杯的底面积为． 水面上升高度为． 3．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 【答案】A 【知识点】锥体体积的有关计算 【详解】由题意，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 4．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用直观图与原图之间的面积关系求解即可. 【详解】由直观图可得， 则. 5．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此, 又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 6．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 7．（25-26高一下·湖南衡阳·期中）已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积. 【详解】如图所示，    设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合， 可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（），. 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由， 代入得：， 所以， 因此截面面积为：. 8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将沿旋转至与在一个平面，则当共线时，取得最小值，再利用余弦定理解即可. 【详解】如图，将沿旋转至与在一个平面， 当共线时，取得最小值， 在中，，则， 在中，， 在中，， 由余弦定理得， 所以， 即的最小值为. 二、多选题 9．（浙江省强基联盟2025-2026学年高二下学期6月题库数学试题）在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可能呈现出的几何形状有（     ） A．三角形 B．矩形 C．椭圆形 D．圆形 【答案】BCD 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【详解】当圆柱桶竖直放置时，水平面形状为圆形； 水平放置时，水平面为矩形； 倾斜放置时，水平面的形状为椭圆形或椭圆的一部分（需考虑水平面与圆柱上、下底面相交的各种情况）. 10．（2026·山东潍坊·三模）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．若正四面体的高为，则（     ） A．该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4 B．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．该勒洛四面体表面上的长度为 D．过，，三点的截面面积是 【答案】ABD 【知识点】正棱锥及其有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先根据正四面体的高，求出正四面体的棱长；对于A，分析勒洛四面体表面两点距离的最大情形，结合勒洛四面体的定义判断该最大值；对于B，该勒洛四面体能够容纳的最大球，即为该几何体的内切球，用棱长减去正四面体外接球的半径得到内切球半径；对于C，先确定所在的平面，再确定半径，圆心角，利用弧长公式计算弧长；对于D，过，，三点的截面是平面与三个球的交线围成的区域，根据围成的区域计算得到截面面积. 【详解】过点作平面，连接，，为正四面体的中心. 设正四面体的棱长为，则，； ，即正四面体的高； 由正四面体的高为，得，解得. ，.     在中，，即，解得. 根据勒洛四面体的定义，构成几何体的四个球的半径. 对于A，勒洛四面体是分别以正四面体的四个顶点，，，为球心，以4为半径的四个球的公共部分；勒洛四面体表面上距离最远的两点应该是正四面体的相对顶点（如和）之间的距离，即为正四面体的棱长；则该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4，故A正确. 对于B，该勒洛四面体能够容纳的最大球，即为该几何体的内切球.由于勒洛四面体具有正四面体的对称性，其内切球的球心与正四面体的中心重合，则内切球的半径. 由，，得，故B正确. 对于C，是球心为的球面与球心为的球面的交线的一部分，该交线位于过中点且垂直于的平面内，如图所示： 对应的圆心角为. 由正四面体棱长，得. 在中，，， ； . 的长度，故C错误. 对于D，过，，三点的截面是平面与三个球的交线围成的区域，如图所示： 则. 每个扇形对应的圆心角为，半径为4，则； ； ，故D正确. 11．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有（     ） A．当在线段上运动时，三棱锥体积为定值 B．当在线段上运动时，存在点使直线与的夹角为 C．当在底面内运动时，若，则轨迹长度为 D．当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为 【答案】ABD 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、立体几何中的轨迹问题 【详解】对于A，因为平行于平面，所以到平面的距离为定值， 又因为，所以为定值，A选项正确； 对于B，当在线段上运动时， 当点与点重合，直线与的夹角为， 当点与点重合，平面，平面，则， 直线与的夹角等于， 当点在线段上从运动到时，直线与的夹角从变化到， 所以存在点使直线与成角为，B选项正确； 对于C，当在底面内运动时，，在底面内的投影为， 所以， 为中点，连接与相交于点，则有， ，所以， 则点轨迹为线段，长度为，C选项错误； 对于D，三棱锥是棱长为的正四面体，为的中心，连接， 则平面，， 由，解得， 当在三角形内运动，且时，则， 轨迹是半径为的圆，位于内的部分， 又因为等边的边长为，其内切圆的半径， 如图所示，过点O作，可得点M为的中点，且， 可得，所以，则， 所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确. 三、填空题 12．（25-26高一下·全国·课堂例题）一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 【答案】 4 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】先由两底面周长之差求出上、下底面边长之差．在一个侧面等腰梯形中，侧棱、侧面梯形的高和半个底边差构成直角三角形，由勾股定理求侧棱长；再作过两底面中心和一组对应边中点的截面，利用侧面梯形的高、棱台的高和两底面边心距之差构成的直角三角形求棱台的高． 【详解】设正四棱台的下底面边长为 ，上底面边长为 ，其中 ． 由题意，得所以 先求侧棱长． 正四棱台的每个侧面都是等腰梯形． 如图，在一个侧面等腰梯形中，从上底边的一个端点向下底边作垂线，则垂足到同侧下底面顶点的距离为 设侧棱长为 ．侧面梯形的高为 ，由勾股定理，得 再求正四棱台的高． 设下、上底面的中心分别为 ，下、上底面一组对应边的中点分别为 ，正四棱台的高为 ． 过 作截面，则连接对应边中点的线段 就是侧面梯形的高，因此 又因为所以截面中水平方向的长度差为 由勾股定理，得 所以，该正四棱台的侧棱长为 ，高为 ． 13．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 【答案】 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【详解】由斜二测画法的性质可得，原图中，，， 所以， 因此周长. 14．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________． 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先计算△的面积与外接圆半径；利用外接球半径求球心到平面的距离；求到平面的最大距离，得到四面体体积的最大值. 【详解】因为 ，，由余弦定理得 ， 所以， 所以， 设△ABC 的外接圆半径，则， 设四面体的外接球球心为，△的外接圆圆心为，则平面， 由外接球半径，得 因为,所以，所以， 当四点共面时，到平面ABC的距离取得最大值， 过作平面ABC交于点,过作交于点， 则点到平面ABC的距离的最大值是，设, 则， 由，得即 由，所以， 所以，即，所以，解得，此时， 所以点到平面ABC的距离的最大值是， 所以四面体体积的最大值为 四、解答题 15．（25-26高一下·全国·课前预习）球、圆柱、圆锥、圆台分别是由什么图形旋转而成的？旋转轴分别是什么？ 【答案】球是半圆以直径为旋转轴，将半圆旋转一周而形成的面所围成的几何体； 圆柱是矩形以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体； 圆锥是直角三角形以一条直角边为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体； 圆台是直角梯形以垂直于底边的腰为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体. 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析、球的结构特征辨析、由平面图形旋转得旋转体 【详解】略 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）下面给出的是埃及金字塔、法国卢浮宫玻璃金字塔及锥形帐篷的图片，观察它们看上去都有哪些共同点？ 【答案】 都是由平面图形围成的，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点. 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【解析】略 17．（25-26高一下·全国·课堂例题）下图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状,并画出相应的图形. 【答案】底面为边长为的正六边形， 对角面为等腰三角形，， 侧面为等腰三角形，， 【知识点】由直观图还原几何图形 【分析】根据正六棱锥的结构特点确定底面，对角面、侧面的真实形状，再作对应的图形. 【详解】由已知正六棱柱的底面为正六边形，边长为， 由已知为等腰三角形，，， 为等腰三角形，，. 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）观察和思考图中的多面体:这些多面体各有什么特点？根据这些多面体的不同点和共同点能否再进一步分类？ 【答案】共同特点：都有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行； 分类：按底面边数可分为三棱柱（1）、四棱柱（2）（4）、五棱柱（5）、六棱柱（3） 或按侧棱与底面关系分为直棱柱（1）（2）（3）和斜棱柱（4）（5）. 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【解析】略 19．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，球体被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. (1)求正三棱锥A-BCD的体积： (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为的球缺的体积公式： (3)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积. 【答案】(1) (2)球缺的体积为 (3) 【知识点】锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】（1）先求出正三棱锥底面三角形的面积，再结合正三棱锥的高，利用三棱锥体积公式求解. （2）构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥，利用祖暅原理，推导球缺体积公式； （3）由可知点的轨迹是以为直径的球，进而求出平面截该球所得截面圆的半径，从而得到截面面积.根据（2）中推导的球缺体积公式，将所求较小部分体积转化为可求的几何体体积进行计算. 【详解】（1）已知正三棱锥各棱长均为，是正三角形. 可得. 因为点H是的中心，在正三角形中，. 在中，根据勾股定理， 根据三棱锥体积公式，可得. （2）对于半球，构造一个底面半径，高为的圆柱，在圆柱里挖去一个同底等高的圆锥，如图所示： 则在距离半球底面处，由勾股定理可知截面半径， 此截面面积， 对于上述圆柱挖圆锥的组合体，在距离底面处，圆柱截面面积是， 圆锥在该高度处截面半径为，其截面面积为， 所以组合体在该高度处截面面积 . 可见在任意相同高度处，半球和组合体的截面面积相等. 根据祖暅原理可知夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积相等， 所以当时，夹在半球底面和距离半球底面处的几何体体积为， 所以对于的球缺的体积为； （3）因为，所以点的轨迹是以为直径的球，球的半径. 设球心为，为中点， 为中心，，则到平面的距离. 所以，代入（2）中的体积公式得： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间几何体的结构 学校:___________姓名：___________班级：___________ 1、 思维导图 2、 知识清单 （1） 多面体 定义 图形 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 ①有两个面互相 ； ②各侧棱都互相 ，各侧面都是 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个 的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 ①上底面与下底面是互相 的相似多边形； ②侧面都是 ； ③侧棱 必交于一点 （2） 旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 ①圆柱有无数条母线，它们 且 ． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的 ，且长度 ． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是 ． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 ①圆台有无数条母线，且它们相等， 后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的 ． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体 或 一部分而成 （3） 直观图 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点. 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度 ， 平行于轴的线段，长度为原来的 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图面积是直观图面积的倍；②直观图面积是原图面积的倍. （4） 表面积和体积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 棱柱 (c为底面周长) 棱锥 (c为底面周长) 棱台 (分别为上、下底面周长) 圆柱 圆锥 圆台 球 三、巩固练习 一、单选题 1．已知圆柱的底面半径为，高为，则此圆柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．一个圆柱形水杯的底面半径为3，高为8．若向其中放入一个半径为2的实心金属球，且金属球完全浸没在水中，则水面上升的高度为（   ） A． B． C． D． 3．已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 4．如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 6．已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 7．已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8．直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可能呈现出的几何形状有（     ） A．三角形 B．矩形 C．椭圆形 D．圆形 10．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．若正四面体的高为，则（     ） A．该勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为4 B．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．该勒洛四面体表面上的长度为 D．过，，三点的截面面积是 11．已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有（     ） A．当在线段上运动时，三棱锥体积为定值 B．当在线段上运动时，存在点使直线与的夹角为 C．当在底面内运动时，若，则轨迹长度为 D．当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为 三、填空题 12．一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16，且其侧面梯形的高为，则该正四棱台的侧棱长为_______，高为____________. 13．如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为________． 14．已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________． 四、解答题 15．球、圆柱、圆锥、圆台分别是由什么图形旋转而成的？旋转轴分别是什么？ 16．下面给出的是埃及金字塔、法国卢浮宫玻璃金字塔及锥形帐篷的图片，观察它们看上去都有哪些共同点？ 17．下图是底面边长为3cm、高为6.5cm的正六棱锥的直观图，请指出底面、对角面、侧面的真实形状,并画出相应的图形. 18．观察和思考图中的多面体:这些多面体各有什么特点？根据这些多面体的不同点和共同点能否再进一步分类？ 19．南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理可以求解球缺的体积问题.如图2，球体被平面截下的一部分叫作球缺，截面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h.如图3，各棱长均为4的正三棱锥中，点H是的中心，是正三棱锥的高（垂直于底面任意一条直线）. (1)求正三棱锥A-BCD的体积： (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为的球缺的体积公式： (3)已知动点P在空间内运动，且，记点P围成的空间几何体为Ω.若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $