专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积4种常考题型总结-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期中真题分类汇编（新疆专用）

专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积 4种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体图形的直观图 题型03空间几何体的表面积 题型04空间几何体的体积 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2024春•米东区校级期中）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是　　 A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 2．（2024春•伊宁市期中）下列说法正确的是　　 A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 3．（2023春•巴楚县校级期中）如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是　　 A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 （多选）4．（2023秋•库尔勒市校级期中）下列命题错误的是　　 A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 5．（2023春•昌吉市校级期中）如图四个几何体中是棱锥的选项是　　 A． B． C． D． 6．（2022春•新和县校级期中）下列几何体中为棱柱的是　　 A． B． C． D． （多选）7．（2022春•和硕县校级期中）下列说法中错误的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 （多选）8．（2022春•喀什市校级期中）下列关于棱柱的说法正确的是　　 A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 ( 题型02 ) 立体图形的直观图 9．（2024春•博湖县校级期中）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是　　． A．12 B． C．6 D． 10．（2024春•米东区校级期中）如图，△是水平放置的在斜二测画法下的直观图．若，，，则的面积为　　 A．2 B． C．4 D． 11．（2024春•伊宁市期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 　　．（填序号） 12．（2023春•天山区校级期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于　　 A． B． C． D． 13．（2022春•和硕县校级期中）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为　　 A． B． C．8 D．4 14．（2024春•天山区校级期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 　　． 15．（2023春•巴楚县校级期中）已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 　　． 16．（2023春•喀什市校级期中）已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是　　 A．8 B． C．16 D． 17．（2023春•昌吉市校级期中）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为　　 A．， B．， C．， D．， 18．（2022春•米东区校级期中）如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 19．（2022春•乌鲁木齐期中）某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形（如图所示），，，则该平面图形的面积为　　 A．3 B．4 C． D． 20．（2022春•新市区校级期中）如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为△，若，，则的面积为　　 A．3 B． C． D． 21．（2022春•喀什市校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，，，则的面积是　　 A．6 B． C． D．12 22．（2022春•沙依巴克区校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，，，则的面积是　　 A．6 B．12 C．6 D． 23．（2022春•巴楚县校级期中）用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是　　． 24．（2024春•博湖县校级期中）用斜二测法画水平放置的的直观图，得到如图所示等腰直角△．已知点是斜边的中点，且，则的边上的高为　　 A．1 B．2 C． D． ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 25．（2024春•博湖县校级期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 26．（2024春•博湖县校级期中）已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积． 27．（2023春•巴楚县校级期中）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为 　　．（结果保留 28．（2022春•米东区校级期中）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4． （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角； （2）若圆锥中内接一个高为的圆柱．求圆柱的表面积． 29．（2022春•新市区校级期中）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为，，则　　． 30．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知圆锥的母线长是2，高是，则该圆锥的表面积是　　 A． B． C． D． 31．（2024秋•英吉沙县期中）已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 32．（2024春•克州期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径．若球的表面积为，则圆柱的表面积为　　 A． B． C． D． 33．（2022春•和硕县校级期中）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 34．（2022春•乌鲁木齐期中）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 35．（2022秋•塔城市校级期中）已知三棱锥中，，，，，三棱锥体积为，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 36．（2022秋•阿图什市校级期中）已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． ( 题型04 ) 空间几何体的体积 37．（2024春•博湖县校级期中）如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 38．（2024春•博湖县校级期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是　　 A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的侧面积为 D．正三棱锥的体积为 39．（2022春•乌鲁木齐期中）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 　　． 40．（2023春•昌吉市校级期中）将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为 　　． 41．（2022春•巴楚县校级期中）某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 42．（2022春•巴楚县校级期中）已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为　　 A． B． C． D． 43．（2022秋•疏附县期中）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 44．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为　　 A． B． C．36 D． （多选）1．（2024春•米东区校级期中）下列结论正确的是　　 A．在正方体中，直线与是异面直线 B．梯形的直观图仍是梯形 C．在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 （多选）2．（2023秋•库尔勒市校级期中）某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的侧面展开图的圆心角为 B．圆锥的体积为 C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8 D．圆锥轴截面的面积为 3．（2023春•喀什市校级期中）如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为 　　． 4．（2022春•沙依巴克区校级期中）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1容器中水面的高度是 　　． 5．（2022春•乌鲁木齐期中）在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 空间几何体的结构特征、直观图、表面积及体积 4种常考题型总结 题型概览 题型01空间几何体的结构特征 题型02立体图形的直观图 题型03空间几何体的表面积 题型04空间几何体的体积 ( 题型01 ) 空间几何体的结构特征 1．（2024春•米东区校级期中）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是　　 A．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台 D．棱台的各侧棱延长后必交于一点 【解析】有一个面是多边形，其余各面是三角形，若其余各面没有一个共同的顶点，则不是棱锥，选项错误； 两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，还要满足各侧棱的延长线交于一点，选项错误，选项正确； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分所围成的几何体叫做棱台，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了棱锥与棱台的定义与应用问题，是基础题． （多选）2．（2024春•伊宁市期中）下列说法正确的是　　 A．圆柱的所有母线长都相等 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【解析】对于，由圆柱的结构特征可知，圆柱的所有母线长都相等，故正确； 对于，由棱柱的结构特征可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故正确； 对于，底面是正多边形，且侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥，故错误； 对于，由棱台的定义可知，棱台的侧棱延长后必交于一点，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了简单几何体的结构特征，属于基础题． 3．（2023春•巴楚县校级期中）如图所示，在三棱台中，沿截去三棱锥，则剩余的部分是　　 A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体 【解析】如图所示， 三棱台中，沿截去三棱锥， 剩余部分是四棱锥． 故选：． 【点评】本题考查了空间几何体结构特征的应用问题，是基础题目． （多选）4．（2023秋•库尔勒市校级期中）下列命题错误的是　　 A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C．所有几何体的表面都能展开成平面图形 D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 【解析】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，故错； 用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故错； 球体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故错； 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故错． 故选：． 【点评】本题考查了柱、棱锥、棱台的定义及球的几何特点，属于基础题． 5．（2023春•昌吉市校级期中）如图四个几何体中是棱锥的选项是　　 A． B． C． D． 【解析】因为有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥． 所以正确． 故选：． 【点评】本题考查棱锥的结构特征的判断，定义的应用，是基础题． 6．（2022春•新和县校级期中）下列几何体中为棱柱的是　　 A． B． C． D． 【解析】根据棱柱的定义可知，棱柱有两个互相平行的平面，其余各面为平行四边形的多面体， 由图形可知没有互相平行的平面，不是多面体，的侧面不是平行四边形， 故选：． 【点评】本题考查了棱柱的结构特征，属于基础题． （多选）7．（2022春•和硕县校级期中）下列说法中错误的是　　 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 【解析】对于：如图所示： 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体， 例如两个倒扣的棱柱满足该条件，但是不叫棱柱，故错误； 对于：有两个面平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体，满足棱柱的定义，叫棱柱，故正确； 对于：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误； 对于：棱锥的侧面一定是三角形，而正四棱锥的侧棱长相等，所以正四棱锥的侧面一定是等腰三角形，故正确； 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：棱柱的定义，棱台的定义和棱锥的定义，主要考查学生对基础定义的理解，属于基础题． （多选）8．（2022春•喀什市校级期中）下列关于棱柱的说法正确的是　　 A．所有的棱柱两个底面都平行 B．所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻两个面的公共边互相平行 C．棱柱至少有五个面 D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 【解析】根据棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，可知，，正确， 面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，故正确， 对于，显然题中漏掉了“且该多面体的顶点都在这两个面上”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱住， 所以错误， 故选：． 【点评】本题主要考查了棱柱的结构特征，属于基础题． ( 题型02 ) 立体图形的直观图 9．（2024春•博湖县校级期中）如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是　　． A．12 B． C．6 D． 【解析】如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图， 其中，，则原图形是平行四边形，如图， ，， ，， 该原图形的面积为． 故选：． 【点评】本题考查原图形面积的求法，考查斜二测法、直观图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10．（2024春•米东区校级期中）如图，△是水平放置的在斜二测画法下的直观图．若，，，则的面积为　　 A．2 B． C．4 D． 【解析】根据题意，直观图△中，由于，，， 则△的面积， 故原图的面积． 故选：． 【点评】本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题． 11．（2024春•伊宁市期中）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的 　　．（填序号） 【解析】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为． 故符合条件的只有③． 故答案为：③． 【点评】本题主要考查斜二测画法，属于基础题． 12．（2023春•天山区校级期中）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰长为2，上底长为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于　　 A． B． C． D． 【解析】由已知用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图如下图： 则， 则把直观图还原为平面图形如下图： 这个平面图形的面积为． 故选：． 【点评】本题考查的知识点是斜二测画法，属于基础题． 13．（2022春•和硕县校级期中）如图所示，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为　　 A． B． C．8 D．4 【解析】由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度不变 与轴平行或重合的线段与轴平行或重合，其长度变成原来的一半， 正方形的对角线在的长度为， 如图，在平面图中四边形中， 对角线与轴重合，且其长度变为原来的2倍，即， 四边形中，，， 四边形的周长为： ． 故选：． 【点评】本题考查四边形的周长的求法，考查斜二测画法中线段长度的变化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 14．（2024春•天山区校级期中）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 　　． 【解析】根据题意，还原该平面图形的原图，如图： 易得该平面图形是直角梯形，其高为． 故答案为：． 【点评】本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题． 15．（2023春•巴楚县校级期中）已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为 　　． 【解析】正方形的边长为2，则正方形的面积为， 它的直观图面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面图形的直观图面积计算问题，是基础题． 16．（2023春•喀什市校级期中）已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为2的正方形，如图所示，则该平面图形的面积是　　 A．8 B． C．16 D． 【解析】根据题意，正方形的边长为2，其面积， 其该平面图形的面积， 故选：． 【点评】本题考查斜二测法画直观图，注意直观图和原图的面积关系，属于基础题． 17．（2023春•昌吉市校级期中）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长和面积分别为　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】由直观图还原得到原图形，如图， ，，， ，原图形的周长为， ． 故选：． 【点评】本题考查原平面图形的周长和面积的求法，考查斜二测法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．（2022春•米东区校级期中）如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为　　 A． B． C． D． 【解析】平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形， 平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1， 梯形的下底边长为， 平面图形的面积． 故选：． 【点评】本题考查了平面图形的直观图，熟练掌握斜二测画法的步骤与原则是解答本题的关键． 19．（2022春•乌鲁木齐期中）某水平放置的平面图形的斜二测直观图是梯形（如图所示），，，则该平面图形的面积为　　 A．3 B．4 C． D． 【解析】根据直观图还原平面图形，如下所示直角梯形即为所求： 在直观图中，根据其为等腰梯形，且，可得， 故原图中：，，， 故其面积． 故选：． 【点评】本题考查斜二测画法，考查学生的空间想象能力，属于中档题． 20．（2022春•新市区校级期中）如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为△，若，，则的面积为　　 A．3 B． C． D． 【解析】根据题意，根据“斜二测画法”原理，还原出，如图所示； 其中，，， 则的面积； 故选：． 【点评】本题考查斜二测画法中的面积计算，注意二测画法的步骤，属于基础题． 21．（2022春•喀什市校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，，，则的面积是　　 A．6 B． C． D．12 【解析】由直观图可知，是直角三角形，且，， 所以的面积是， 故选：． 【点评】本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题． 22．（2022春•沙依巴克区校级期中）如图，△是水平放置的的直观图，，，则的面积是　　 A．6 B．12 C．6 D． 【解析】△是水平放置的的直观图， 所以是直角三角形，且两条直角边长为6和4， 它的面积为． 故选：． 【点评】本题考查了斜二测法画直观图与面积的计算问题，是基础题． 23．（2022春•巴楚县校级期中）用斜二测画法画边长为2的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是　　． 【解析】如图△是边长为2的正三角形的直观图，则，为正三角形的高的一半，即， 则高， 三角形△的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查斜二测画法的应用，要求熟练掌握斜二测对应边长的对应关系，比较基础． 24．（2024春•博湖县校级期中）用斜二测法画水平放置的的直观图，得到如图所示等腰直角△．已知点是斜边的中点，且，则的边上的高为　　 A．1 B．2 C． D． 【解析】直观图是等腰直角△，，， ； 根据直观图平行于轴的长度变为原来的一半， 的高为． 故选：． 【点评】本题考查了平面图形的直观图应用问题，熟练掌握原图与直观图之间的关系是解题的关键． ( 题型03 ) 空间几何体的表面积 25．（2024春•博湖县校级期中）正四棱台两底面边长分别为2和4． （1）若侧棱长为，求棱台的表面积； （2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高． 【解析】（1）如图，设，分别为上，下底面的中心， 分别取，的中点，，连接，，，则为正四棱台的斜高， ， 则棱台的表面积． （2）两底面面积之和为， 正四棱台的侧面积为，解得， 正四棱台的高． 【点评】本题考查棱台的相关计算，属于中档题． 26．（2024春•博湖县校级期中）已知正三棱台（由正三棱锥截得的三棱台）的上、下底面边长分别为和，高为，求此正三棱台的表面积． 【解析】如图所示，画出正三棱台， 其中，为正三棱台上、下底面的中心，，分别为，的中点， 则为正三棱台的高，为侧面梯形的高，四边形为直角梯形， ，， 所以， 所以此三棱台的表面积：． 【点评】本题主要考查了棱台的结构特征，考查了棱台的表面积公式，属于中档题． 27．（2023春•巴楚县校级期中）若圆柱的高为10，底面积为，则这个圆柱的侧面积为 　　．（结果保留 【解析】设圆柱底面圆半径为，母线长为，根据已知可得，解得， 故底面圆周长为，则圆柱的侧面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查圆柱的侧面积公式，属于基础题． 28．（2022春•米东区校级期中）已知一个圆锥的底面半径为2，母线长为4． （1）求圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角； （2）若圆锥中内接一个高为的圆柱．求圆柱的表面积． 【解析】（1）圆锥的底面周长为， 设圆心角度数为，则，， 故圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角是； （2）由圆锥的底面半径为2，母线长为4，得， 由，可得，得． 则圆柱的表面积． 【点评】本题考查圆锥的展开图、考查圆柱表面积的求法，考查运算求解能力，是基础题． 29．（2022春•新市区校级期中）已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为，，则　　． 【解析】设圆柱与圆锥的半径均为，母线为， 故， 所以， 故答案为：2． 【点评】本题考查圆锥与圆柱的表面积，考查学生的运算能力，属于中档题． 30．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知圆锥的母线长是2，高是，则该圆锥的表面积是　　 A． B． C． D． 【解析】圆锥的底面半径， 该圆锥的表面积是． 故选：． 【点评】本题主要考查了圆锥的表面积公式，是基础题． 31．（2024秋•英吉沙县期中）已知某圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长为，由题意知，，解得， 所以圆锥侧面积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆的周长与圆锥侧面积公式应用问题，是基础题． 32．（2024春•克州期中）如图，圆柱的底面直径和高度都等于球的直径．若球的表面积为，则圆柱的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，设球的半径为， 由于球的表面积为，则有，解可得， 则圆柱的底面半径为，高， 其表面积． 故选：． 【点评】本题考查圆柱、球的位置关系，涉及圆柱的侧面积计算，属于基础题． 33．（2022春•和硕县校级期中）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示， 圆锥的轴截面是面积为4的等腰直角三角形，即，解得； 所以； 所以该圆锥的侧面展开图的面积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥轴截面与侧面展开图的面积计算问题，是基础题． 34．（2022春•乌鲁木齐期中）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2， 根据截面圆的周长可得，则， 由题意知，即， 该球的表面积为． 故选：． 【点评】本题考查了球的表面积的计算，属于基础题． 35．（2022秋•塔城市校级期中）已知三棱锥中，，，，，三棱锥体积为，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图，取中点，，，则，均为直角三角形， ，即点为三棱锥外接球球心，即为外接球半径， 又，故且为等边三角形， 又，所以三棱锥为正三棱锥， 作平面，垂足为，连接， 则为的外心， 设正三角形的边长为， 则， 即，外接球表面积为，故排除； ， ， ， ，故排除； 若，则，代入方程不成立，故排除； 若，则，代入方程成立，所以正确， 故选：． 【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，属于中档题． 36．（2022秋•阿图什市校级期中）已知点，，，在同一个球的球表面上，平面，，，，，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】因为平面，，可以扩充为长方体， ，，，， 则长方体的长、宽、高分别为：，，，可得，， 所以长方体体对角线长度为：， 则球的半径为， 所以球的表面积为． 故选：． 【点评】本题考查球表面积，借助了长方体的知识，考查空间想想能力，属于基础题． ( 题型04 ) 空间几何体的体积 37．（2024春•博湖县校级期中）如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体， 则该几何体为底面半径为3，高为4的圆柱，挖去底面半径为3，高为2的圆锥， 则该几何体的体积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥与圆柱的体积公式，属中档题． （多选）38．（2024春•博湖县校级期中）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是　　 A．正三棱锥高为3 B．正三棱锥的斜高为 C．正三棱锥的侧面积为 D．正三棱锥的体积为 【解析】如图，设正三棱锥为， 设为等边三角形的中心，为的中点，连接，，， 则为正三棱锥的高，为斜高， 又，故，故，选项正确． 而正三棱锥的体积为，侧面积为， 故选项正确，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查正三棱锥的性质，属中档题． 39．（2022春•乌鲁木齐期中）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 　　． 【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示： 该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，． 设底面圆的半径为，则有，解得． 这个圆锥的高为， 这个圆锥的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查空间几何体的表面展开图的应用，最小值的求法，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 40．（2023春•昌吉市校级期中）将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为 　　． 【解析】将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体是圆锥， 其中圆锥的底面圆半径为1，高为1， 所以将一个直角边长为1的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的体积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆锥体积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 41．（2022春•巴楚县校级期中）某圆锥的母线长为3，侧面积为，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长和底面半径分别为，，则，解得， 所以圆锥的高，则该圆锥的体积． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题． 42．（2022春•巴楚县校级期中）已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为，则这个圆台的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示， ，，， 过作，垂足为，则， ， 所以圆台的上底面半径为； 所以圆台的体积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆台体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 43．（2022秋•疏附县期中）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为， 由弧长公式可得，解得， 又，解得， 所以圆锥的高， 则该圆锥的体积为． 故选：． 【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥体积公式的应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 44．（2021秋•库尔勒市校级期中）已知一个圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为　　 A． B． C．36 D． 【解析】设圆锥底面半径，由侧面展开图是圆心角为的扇形， 得，则， 作圆锥的轴截面如图： 设圆锥的高为，则， 设该圆锥外接球的球心为，半径为，则， 即，解得． 故圆锥的外接球的体积为． 故选：． 【点评】本题考查弧长公式的应用，考查多面体外接球体积的求法，本题考查空间想象能力及计算的能力，是中档题． （多选）1．（2024春•米东区校级期中）下列结论正确的是　　 A．在正方体中，直线与是异面直线 B．梯形的直观图仍是梯形 C．在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形 D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 【解析】对于，如图所示： 平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过点的直线是异面直线，选项正确； 对于，根据斜二测画法可知，平行于轴或轴的直线在直观图中仍然平行于轴或轴，选项正确； 对于，如图所示： 四面体，它的每个面都是等边三角形，选项正确； 对于，如图所示： 平面平面，且其余各面都是平行四边形，但该几何体不是棱柱，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了立体几何中的基本概念应用问题，也考查了推理于判断能力，是中档题． （多选）2．（2023秋•库尔勒市校级期中）某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是　　 A．圆锥的侧面展开图的圆心角为 B．圆锥的体积为 C．过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为8 D．圆锥轴截面的面积为 【解析】选项，侧面展开图中，扇形的半径为4，弧长为，由弧长公式有圆心角为，说法正确． 选项，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，说法错误． 选项，在轴截面中，顶角的余弦值为，所以顶角为钝角． 所以当两条母线垂直时，截面的面积最大，为，说法正确． 选项，轴截面为腰为4，底为6的等腰三角形，所以面积为，说法错误． 故选：． 【点评】本题考查圆锥的结构特征，属于基础题． 3．（2023春•喀什市校级期中）如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为 　　． 【解析】由题意，计算该组合体的体积为 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了简单组合体的体积计算问题，是基础题． 4．（2022春•沙依巴克区校级期中）如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1容器中水面的高度是 　　． 【解析】正三棱柱的底面积为，图2中水的体积． ． 设图1中水面的高度为，则，得． 故答案为：． 【点评】本题考查棱柱的体积，考查学生的转化思想，空间想象能力，是中档题． 5．（2022春•乌鲁木齐期中）在三棱锥中，平面平面，，，，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为　　． 【解析】设的外心为，半径，三棱锥的外接球球心，半径， 过作的平行线，过作的平行线，两条直线交于， 因为平面平面，平面平面， ， 所以平面， 因为平面， 所以， 则四边形为矩形， 易得为中点， 中，由正弦定理得，， 所以， ， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积的求解，解题的关键是球心位置的确定及球的性质的应用，属于中档题． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$