云南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考试数学卷（四）

**基本信息** 本卷覆盖高考全部内容，通过新定义“拟像函数”、体质政策统计分析等设计，分层考查数学抽象、数据建模与创新应用能力，适配高二期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合、函数零点、新定义问题等|第3题以“拟像函数”创新定义，考查逻辑推理| |多项选择题|3/18|抛物线与圆、复数、独立事件概率|第11题结合检测器系统，考查数据分析| |填空题|3/15|双曲线、数列通项、圆的公切线|第14题通过公切线条数，考查空间想象| |解答题|5/77|三角、轨迹方程、立体几何、统计、导数|第18题融入体质政策情境，第19题证明数列不等式，体现数学建模与创新应用|

2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．5 7．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知抛物线与圆，设其交点为A，B，抛物线C的焦点为F，准线为l，下列结论正确的是（  ） A． B．直线AB经过焦点F C．原点O到直线AB的距离为1 D．抛物线C与圆M恰有4个公共点 10．已知复数（i为虚数单位），则正确的选项为（      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 11．某产品通过三个相互独立的检测器A，B，C判断是否异常.若产品实际异常，则每个检测器判断为“异常”的概率均为0.8；若产品实际正常，则每个检测器误判为“异常”的概率均为0.1.检测规则为：三个检测器中至少两个判断为“异常”，则系统最终判为“异常”.设产品实际异常的概率为p，系统最终判为“异常”的概率为P.下列说法正确的是（  ） A．若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为0.896 B．若产品实际正常，则系统最终误判为“异常”的概率为0.028 C． D．若，则在系统最终判为“异常”的条件下，该产品实际异常的概率为 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______． 13．设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．(13分)在△中，. (1)求； (2)若，且△的面积为，求的值. 16．（15分）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程； (2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 17．（15分）在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18．（17分）2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） (1)已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. (2)从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年云南省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：100分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算 【详解】集合，，则 2．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 3．设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（    ） A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】命题①可构造不含原点的点集作为反例．命题②中，利用中点落在单位圆盘内得到两个坐标均有界，再令图象上的点横坐标趋于正无穷，可推出． 【详解】对于命题①，构造点集 显然． 下证仍是关于点集的“拟像函数”． 任取图象上一点． 当时，取，因为所以点在的图象上． 此时的中点为，且，所以． 当时，，取，则在的图象上，且的中点为． 因此是关于点集的“拟像函数”，但，所以命题①是假命题． 对于命题②，设是关于点集的“拟像函数”． 当时，点在的图象上． 由定义，存在图象上一点，使得的中点在中． 于是 所以 由可得，因此当趋于正无穷时，趋于． 将不等式 两边同时除以，得 令趋于正无穷，得，所以．故命题②是真命题． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意可知，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以． 5．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求投影向量 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 6．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．5 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】根据，结合已知条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，把求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可． 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样， 已知，此时，与题意不符， 故数列是递减数列，即， 而，， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 时，， 下面分析最小值： 当时，，此时，即最小值必定大于等于； 当时，递减数列最小项，即，解得， 结合得，解得， 由于且为整数，故，则， 因为， 得，若，满足题干所有条件， 若，则，，，则， ，则，故， 结合为整数，，故， 则， 综上，的最小值为． 7．已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【详解】如图，将正四面体补成一个正方体，则正四面体的外接球与正方体的外接球相同， 设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，外接球的半径为， 由，解得， 所以正四面体的棱长为. 8．已知函数的最小正周期为，则在区间上的最小值为（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【详解】因为， 所以，解得，于是． 当时，． 余弦函数在该区间内单调递减，所以在上单调递增， 所以． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知抛物线与圆，设其交点为A，B，抛物线C的焦点为F，准线为l，下列结论正确的是（  ） A． B．直线AB经过焦点F C．原点O到直线AB的距离为1 D．抛物线C与圆M恰有4个公共点 【答案】ABC 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】直接计算出两曲线的交点及直线AB方程，即可逐一分析选项 【详解】选项A，抛物线为，圆为．由抛物线得，代入圆方程：．设，则． 化简得，即． 解得或（舍去）， 所以，． 两交点为，，因此，A正确； 选项B，抛物线焦点为，直线AB为，经过焦点F，B正确； 选项C，原点到直线的距离为1，C正确； 选项D，两曲线只有两个公共点，不是四个，D错误. 10．已知复数（i为虚数单位），则正确的选项为（      ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】化简复数，根据复数定义判断A；结合虚部定义判断B；根据复数与其共轭复数乘积等于模的平方的性质判断C；结合复数的模判断D. 【详解】， 选项A：共轭复数要求实部不变，虚部变号，因此的共轭复数为，A错误； 选项B：的虚部为，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 11．某产品通过三个相互独立的检测器A，B，C判断是否异常.若产品实际异常，则每个检测器判断为“异常”的概率均为0.8；若产品实际正常，则每个检测器误判为“异常”的概率均为0.1.检测规则为：三个检测器中至少两个判断为“异常”，则系统最终判为“异常”.设产品实际异常的概率为p，系统最终判为“异常”的概率为P.下列说法正确的是（  ） A．若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为0.896 B．若产品实际正常，则系统最终误判为“异常”的概率为0.028 C． D．若，则在系统最终判为“异常”的条件下，该产品实际异常的概率为 【答案】ABCD 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】利用独立重复事件的概率公式计算可判断ABC，利用条件概率公式计算可判断D. 【详解】若产品实际异常，则系统最终判为“异常”的概率为 ．故A正确. 若产品实际正常，则系统误判为“异常”的概率为 ．故B正确. 因此．故C正确. 当时，系统最终判为异常的概率为． 由条件概率公式，（实际异常系统判异常）．故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线：的焦距为，则其渐近线方程为______；离心率为______． 【答案】 【知识点】判断方程是否表示双曲线、求双曲线的焦距、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】先由方程表示双曲线可得，再根据焦距可得，进而由双曲线的方程可得渐近线方程及离心率. 【详解】由双曲线：，得，所以. 因为双曲线的焦距为，所以，得， 所以双曲线的方程为，因此双曲线的离心率， 双曲线的渐近线方程为. 13．设数列的前n项和为，已知，，，则通项公式______． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【详解】在数列中，由，得， 则，而，则， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 当时，，也满足此式， 所以． 14．已知圆：与圆：有且仅有三条公切线，则的值为__________． 【答案】 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的公切线条数 【详解】圆：的圆心为，半径， 与圆：的标准形式为， 圆心为，半径为，，即， 圆心距为：， 已知两圆有且仅有三条公切线，则两圆外切，则： ，故，即， 两边平方得，解得． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．在△中，. (1)求； (2)若，且△的面积为，求的值. 【答案】(1) (2) 2 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在△中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. （2）由及的面积为，得，解得， 因此，即为正三角形，所以. 16．在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程； (2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【知识点】轨迹问题——椭圆、求椭圆中的参数及范围、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由条件可得，结合椭圆的定义判断轨迹形状，位置，结合椭圆方法求结论； （2）（i）设直线方程为，，联立方程组求，求直线的方程和的坐标，（ii）结合（i）利用表示，利用换元法及二次函数性质求其范围. 【详解】（1）因为是圆上任意一点，点为线段的垂直平分线与半径的交点， 则,故， 又因为，则 所以的轨迹是以为两焦点，长轴长为4的椭圆， 即, 故的轨迹方程为. （2）（i）由已知直线与直线不重合， 设过的直线方程为，， 联立，化简得， 显然，且， 又因为，则直线的方程为，令，得， 将代入上式， 可得， 所以点的坐标为. （ii）由（i）得， 同理得，， 则 将代入， 化简得，， 故 令，则， ， 由，则， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. 17．在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． (1)当点是棱中点时，求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. (2)或． 【知识点】证明线面平行、已知线面角求其他量 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【详解】（1）略 （2）因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 18．2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：小时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 我们将每天综合体育活动时间不少于2小时的学生定义为“达标学生”，否则为“未达标学生”．（一周按7天进行计算） (1)已知小明同学是“达标学生”，求他每天综合体育活动时间不少于3小时的概率. (2)从活动时长在和的学生中，按频率的比例抽取5人进行座谈．若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 数学期望 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、超几何分布的均值 【分析】（1）先换算每周活动达标时长，确定对应事件，算出相关概率，代入条件概率公式求解结果. （2）依据区间频率比确定分层抽取人数，确定随机变量取值，用组合数计算各概率列出分布列，再计算数学期望. 【详解】（1）由题意，一周共7天，达标学生每周累计活动时长不少于小时. 每天活动时间不少于3小时对应每周时长不少于3小时. 设事件为“小明是达标学生”，事件为“小明每天活动时间不少于3小时”. 则：，. 根据条件概率公式，代入得. （2）活动时长在和的频率比为. 根据该比例抽取5人时，从中抽取5人，从中抽取5人. 随机变量的所有可能取值为，计算对应概率： ， ， ， 因此的分布列如上 X 0 1 2 P 数学期望：. 19．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：对于任意正整数，都有． 【答案】(1)当时，的递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2) (3)由（1）得，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，即. 当时，，即，得； 令，则； . 当时，显然成立， 当时，； ，； 综合可知. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先确定函数定义域为，再对求导，分和两种情况讨论导数正负，进而得到单调区间； （2）对恒成立，等价于在恒成立；构造函数，求的最大值，即可得到的取值范围； （3）利用（1）中时函数的单调性，得到，整理得；再令，对不等式进行累加，即可证得不等式. 【详解】（1）由，得函数的定义域为. . 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，得； 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增. 综上，当时，的递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，，得； ，. 对恒成立，等价于在恒成立. 令，则； 令，即，解得. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 当时，取得最大值，即； 在恒成立，，即的取值范围是. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $